例析“數(shù)據(jù)分析”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué) 殷偉康

數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程.主要包括：收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、提取信息，然后構(gòu)建模型對信息進行分析、合理推斷，最終獲得結(jié)論，解決問題.數(shù)據(jù)分析是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，其已經(jīng)深入到現(xiàn)代社會生活和科學(xué)研究的各個方面.在數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠提升數(shù)據(jù)處理的能力，增強基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)思考問題的習(xí)慣，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的數(shù)學(xué)活動的基本經(jīng)驗.

在當(dāng)下的互聯(lián)網(wǎng)時代，人們無論是在工作還是生活中都受到大量數(shù)據(jù)信息的影響和沖擊.其實，我們已經(jīng)進入了大數(shù)據(jù)時代，所涉及的數(shù)據(jù)不僅包括通過記錄、調(diào)查和實驗所獲得的相關(guān)數(shù)據(jù)，還包括通過互聯(lián)網(wǎng)、文本、聲音、圖像、視頻等數(shù)字化得到的數(shù)據(jù).因此，數(shù)據(jù)處理和分析能力便自然而然地成為當(dāng)代人的核心素養(yǎng).新一輪數(shù)學(xué)課程改革順應(yīng)了時代變化的需求，新頒布的高中數(shù)學(xué)課程標準首次把“數(shù)據(jù)分析”列為數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)之一，并且在高中教材中突出了數(shù)據(jù)處理的內(nèi)容.

一、案例分析

案例（一）：直線斜率的概念

問題1：直線是平面內(nèi)最常見的幾何圖形，確定直線的要素有哪些？

生：兩點確定一條直線.如過點P（1，1），Q（3，5）確定一條直線.

問題2：直線的特征是什么？

生：“直”.

問題3：當(dāng)點怎樣運動時可以保持形成的軌跡圖形是“直”的？

生：比如點P向右平移1個單位，要保持“直”，需要再向上平移兩個單位；比如點P再向右平移兩個單位，要保持“直”，需要再向上平移四個單位.

請同學(xué)們試試看，從直線上的任意一點出發(fā)，在點運動的過程中怎樣保持直線的“直”，記錄如下數(shù)據(jù)：（Δy、Δx分別表示點運動過程中縱坐標、橫坐標的增量）

問題4：從以上的數(shù)據(jù)中，你能發(fā)現(xiàn)什么？

（讓學(xué)生思考：在點運動的過程中，Δy，Δx都是變量，不變的是什么呢？）

問題5：對這個結(jié)論，能否結(jié)合圖形給予證明？

生：可以從相似三角形的相似比進行證明.

如圖1，過點P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2）的直線l的斜率為

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過觀察與實驗，收集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，歸納出：點在保持形成的軌跡圖形是“直”的移動的過程中，Δx，Δy都是變量，但比值這一代數(shù)量始終保持不變，最終形成直線斜率的定義；同時也揭示了隱性知識（方法）：研究解析幾何的基本方法——坐標法.

案例（二）：兩角差余弦公式

問題1：我們在初中時就知道，由此我們能否得到cos30°，若不能，則cos（45°-30°）等于什么？即cos（α-β）等于什么？

設(shè)計意圖：把學(xué)生熟知的數(shù)學(xué)知識作為背景素材，創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)學(xué)生的認知沖突與疑惑，喚起學(xué)生解決問題的興趣與探究的熱情，從而引入課題.

問題2：（學(xué)生活動）我們大膽設(shè)想：cos（α-β）的值與α，β的三角函數(shù)值有著密切的關(guān)系，從特殊角出發(fā)，請用計算器探索：

（1）cos（45°-30°）與cos45°，cos30°，sin45°，sin30°的關(guān)系；

（2）cos（60°-45°）與cos60°，cos45°，sin60°，sin45°的關(guān)系；

（3）cos（60°-30°）與cos60°，cos30°，sin60°，sin30°的關(guān)系.

問題3：從上面幾組數(shù)據(jù)分析，你能否發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律？猜想cos（α-β）的結(jié)果.

生：cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°，我認為下述等式也可以

cos（45°-30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°，這兩個等式到底哪個更合理呢？

通過對第（2）組的數(shù)據(jù)分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)同樣也有這兩種情況出現(xiàn).再通過對第（3）組的數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)cos（60°-30°）=cos60°cos30°+sin60°sin30°，由此猜想cos（α-β）合理的表達式為cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)實驗、數(shù)據(jù)分析，建立初步的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生自主探索、大膽猜想、驗證結(jié)果并不斷修正和改進，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)公式的過程，并體驗數(shù)學(xué)公式源于特殊到一般，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

問題4：如何證明猜想cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ呢？觀察其公式的結(jié)構(gòu)要素，聯(lián)想此猜想結(jié)論與哪個公式相似？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想，α，β的終邊與單位圓的交點分別為A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），同時發(fā)現(xiàn)猜想結(jié)論的右邊與向量數(shù)量積公式的坐標表示相似，進而可得O■→A·O■→B=（cosα，sinα）·（cosβ，sinβ）=cosαcosβ+sinαsinβ，又從向量數(shù)量積定義出發(fā)，得O■→A·O■→B=cos（αβ），從而證明猜想結(jié)論的正確性.憑借直觀想象，構(gòu)造單位圓模型，利用向量數(shù)量積推導(dǎo)兩角差余弦公式自然水到渠成.

案例（三）：基本不等式

情境引入：紙牌游戲（用紙牌玩比大小），教師和學(xué)生乙每人三張紙牌（如學(xué)生乙2，6，7，教師1，2，3），各任選其中一張比大小，不是直接比較這兩張紙牌上的數(shù)字大小，而是按以下游戲規(guī)則：將師、生各選的一張紙牌上的數(shù)字大小分別記為a，b，再選定后比較大?。ㄈ鐚W(xué)生乙選教師選

在整個游戲過程中，學(xué)生乙剛開始充滿信心，偶爾動筆計算，充滿期待，最后主動認輸.學(xué)生在實際抽取后獲得的大量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過分析，猜想出重要結(jié)論（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立）.

設(shè)計意圖：誘導(dǎo)學(xué)生從多角度、多方位進行思考，探究證明猜想結(jié)論的方法.由于比較法在學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性時接觸過，所以學(xué)生最容易聯(lián)想到用此法進行證明.引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論出發(fā)，探究其發(fā)生的原因及變化情況，即運用“執(zhí)果索因”的證法——分析法進行證明.由此，學(xué)生自然會生成“由因索果”的證明方法——綜合法.

二、教學(xué)反思

為了增強應(yīng)用性和時代感，在教學(xué)中可以利用信息技術(shù)、互聯(lián)網(wǎng)等途徑收集數(shù)據(jù)，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去關(guān)注、分析和解釋環(huán)保、人口、金融、軍事、體育等社會熱點問題，從而提高學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)據(jù)分析觀念”和數(shù)學(xué)信息素養(yǎng)，同時激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用和創(chuàng)新意識.

1.經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程，讓學(xué)生學(xué)會猜想，培育數(shù)據(jù)分析觀念

史寧中教授認為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念的難點在于如何創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動，來體現(xiàn)數(shù)據(jù)的獲得、分析、處理進而作出決策的全過程.因此，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動，為學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的獲得、分析和處理進而作出猜想、合理決策提供充分的條件和時機，使學(xué)生能夠在處理數(shù)據(jù)的過程中感受、理解和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念并實現(xiàn)培育數(shù)據(jù)分析觀念的目標.案例（一）通過提出“當(dāng)點怎樣運動時可以保持直線的‘直’”問題，誘發(fā)學(xué)生深入思考.引導(dǎo)學(xué)生通過實驗、思索，逐步地認識到點在移動的過程中，Δy，Δx都是變量，但依據(jù)數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的整體特征：比值這一代數(shù)量始終保持不變.也就是說，通過把直線上一個點到另外一個點的平移進行分解，發(fā)現(xiàn)這兩個平移變量的比值始終為一個常數(shù)，從而得出直線斜率的概念.這種情境創(chuàng)設(shè)方式既貼近學(xué)生思維“最近發(fā)展區(qū)”，又讓人耳目一新，而且還有效滲透坐標思想（幾何問題代數(shù)化），培育數(shù)據(jù)分析觀念.

2.掌握數(shù)據(jù)分析的技能，讓學(xué)生學(xué)會選擇，積累數(shù)據(jù)分析經(jīng)驗

喻平教授認為數(shù)據(jù)分析技能分為三級水平表現(xiàn)為：（1）能夠掌握基本的數(shù)據(jù)處理工具；（2）能夠利用常規(guī)方法分析現(xiàn)實情境與學(xué)科情境中的數(shù)據(jù)；（3）能夠構(gòu)建模型分析數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)分析技能是培育數(shù)據(jù)分析觀念的基礎(chǔ).僅有數(shù)據(jù)分析觀念，缺乏數(shù)據(jù)分析基本技能，就無法獲得真實有效的數(shù)據(jù)進而無法對數(shù)據(jù)做出準確的分析和合理的猜想與決策.因而，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題的背景選擇合適的方法進行數(shù)據(jù)的整理、描述和分析，有效地從數(shù)據(jù)中獲取信息，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，合理猜想公式，最終發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律.如在案例（二）中，首先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進行數(shù)據(jù)分析，探索cos（α-β）的值與α，β的三角函數(shù)值之間的線性關(guān)系，并對數(shù)據(jù)中的信息進行有效的分析和推斷，猜想兩角差余弦公式，最終通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，促使知識的形成過程自然生成.通過數(shù)據(jù)分析活動，可以提高學(xué)生基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識，積累數(shù)據(jù)分析的活動經(jīng)驗.

3.感悟數(shù)據(jù)分析的魅力，讓學(xué)生學(xué)會思考，培育數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)

孫宏安認為數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)使我們能從整體上反映和分析事物的數(shù)量特征，考察事物的本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律，以此進行有依據(jù)的判斷，從而做出正確的決策.教師要創(chuàng)造性地使用教材，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)數(shù)據(jù)分析活動，讓學(xué)生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、依據(jù)數(shù)據(jù)進行合理猜想、決策的全過程，感悟數(shù)據(jù)分析的獨特魅力.通過數(shù)據(jù)分析活動，提升學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)分析思考問題的習(xí)慣，積累基于數(shù)據(jù)分析探索問題本質(zhì)、聯(lián)系和規(guī)律的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.案例（三）中“紙牌游戲”的情境引入，生動有趣、引人入勝、言簡意賅、誘導(dǎo)思考，通過數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)“基本不等式”這一新型的數(shù)學(xué)模型，再引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多方位進行有效思維，展開聯(lián)想，探究對數(shù)學(xué)模型（基本不等式）證明的方法.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生自主探究，通過數(shù)學(xué)實驗收集、整理和分析數(shù)據(jù)，并根據(jù)數(shù)據(jù)作出合理猜想，進而用數(shù)據(jù)來驗證猜想，讓學(xué)生經(jīng)歷研究數(shù)學(xué)問題的一般過程，從而形成研究數(shù)學(xué)問題的基本方法，培育學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).