不可忽視的“定義域”

☉蘇州外國語學校 孫龍華

函數貫穿于整個高中數學教學，在函數的定義域、對應法則和值域這三大要素中，定義域是函數的基礎，我們在解決函數問題時，應首先考慮函數的定義域.一般而言，函數的定義域并不難求，正因如此，許多學生在解決函數問題時，往往會忽視對函數定義域的求解，從而解錯函數問題，而且這種忽略定義域的粗心大意的壞習慣，會給他們今后函數的學習帶來很大的隱患.本文結合幾類學生錯解的函數題目，談談定義域在函數問題中的重要性.

一、“判斷同一函數”中的定義域

例1判斷下列函數是否為同一函數：

學生錯解：①因為所以（fx）與g（x）為同一函數.②因為，所以（fx）與g（x）為同一函數.

錯因分析：學生錯解過程中忽視了對函數f（x）的定義域的求解，這樣在對函數f（x）解析式變形時，沒有實施等價轉化，導致錯解.

解：①因為x+1≥0且x-1≥0，x≥1，所以f（x）的定義域為［1，+∞），又x2-1≥0，所以x≥1或x≤-1，g（x）的定義域為x∈（-∞，-1］∪［1，+∞）.因為f（x）與g（x）定義域不同，故f（x）與g（x）不是同一函數.

②同理，f（x）定義域為（-∞，1）∪（1，+∞），g（x）的定義域為R，定義域不同，故f（x）與g（x）不是同一函數.

點評：判斷兩個函數是否為同一函數時，必須要對這兩個函數的定義域、解析式和值域進行判斷，這三個要素都相同的函數，才是同一函數.當然，由于定義域、解析式相同的函數，其值域肯定相同，所以一般我們只需判斷函數的定義域和解析式是否相同即可.本例中學生忽視了對定義域的求解，所以誤認為是同一函數.

二、“求解析式”中的定義域

例2若，求（fx）的解析式.

學生錯解：令，則x=（t-1）2，代入原式有（ft）=（t-1）2+2（t-1），所以f（t）=t2-1，故f（x）=x2-1.

錯因分析：換元法是求函數解析式的最基本的方法之一，本題學生采用了換元法來求函數f（x）的解析式，其思路是正確的，但是學生在換元的時候，沒有注意到新元的取值范圍，即函數f（t）=t2-1的定義域，導致出現了錯誤.

解法1：（換元法）令，則x=（t-1）2且t≥1，代入原式有f（t）=（t-1）2+2（t-1），其中t≥1，整理得，故

解法2：（配湊法）因為又有，故

點評：我們在求函數解析式時，經常會用到換元法，換元時，一定不能忘記新元的取值范圍.因為兩個函數即使解析式相同，倘若定義域不同，那么這兩個也是不同的函數.

三、“求值域”中的定義域

例3求函數的值域.

學生錯解：令，則x=t2+1，故原函數可化為y=t2+1+t，即，所以函數的值域為

錯因分析：此題學生的解題思路是正確的，問題出在換元之后的新函數y的定義域上，學生在換元的時候，忽視了新元t的取值范圍，這就導致轉化之后的新函數y=t2+t+1的定義域錯誤，從而導致了錯誤.

解：令則x=t2+1且t≥0，則原函數可化為y=，易知函數y在區(qū)間［0，+∞）上為單調增函數，所以當t=0時，函數y有最小值為y=1，所以函數的值域為

點評：函數的定義域決定了函數的值域，所以當我們求函數值域的時候，應首先考慮函數的定義域，而換元法求值域，其本質是利用換元法求函數的解析式，只不過在換元時切不可忘記對新元取值范圍的討論.

四、“判斷奇偶性”中的定義域

例4判斷函數的奇偶性.

學生錯解：因為，所以函數為偶函數.

錯因分析：學生對函數奇偶性的定義掌握得不夠清晰，偶函數的定義：設函數y=f（x）的定義域為A，如果對任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么稱函數f（x）是偶函數，通過對偶函數定義的分析，我們發(fā)現若x∈A，則必有-x∈A，因此偶函數的定義域關于原點對稱，這是判斷偶函數的前提條件，而這位學生并沒有對函數的定義域加以求解，從而導致了錯解.

解：因為1-x2≥0且x2-1≥0，所以x∈{1，-1}，f（x）的定義域關于原點對稱，此時，函數可化為f（x）=0，滿足f（-x）=f（x）=-f（x），故函數f（x）既是奇函數又是偶函數.

點評：由函數奇偶性的定義，我們不難發(fā)現，判斷一個函數的奇偶性要從兩個方面去入手：①定義域是否關于原點對稱；②f（-x）與f（x）的關系.另外，求解出定義域之后，要重新考查函數解析式是否可以化簡，然后再去判斷，萬萬不能不考慮定義域，而直接去判斷f（-x）與f（x）的關系，這樣極易帶來錯誤的判斷.

五、“單調性”中的定義域

例5求函數y=log2（x2-2x-3）的單調增區(qū)間.

學生錯解：函數y=log2（x2-2x-3）可以看成由函數y=log2t與t=x2-2x-3復合而成，因為函數t=x2-2x-3在區(qū)間（-∞，1）上為單調減函數，在區(qū)間（1，+∞）上為單調增函數，且函數y=log2t為定義域上的單調增函數，故根據復合函數的同增異減的原則，原函數y=log2（x2-2x-3）的單調增區(qū)間為（1，+∞）.

錯因分析：因為函數t=x2-2x-3是嵌入到對數函數y=log2t中的真數位置，故要滿足t=x2-2x-3＞0，實際上也就是要先求函數y=log2（x2-2x-3）的定義域，而學生并沒有這么做.

解：先求出函數y=log2（x2-2x-3）的定義域，即解不等式x2-2x-3＞0，得到x＜-1或x＞3，所以函數y=log2（x2-2x-3）的定義域為{x|x＜-1或x＞3}，此外，函數y=log2（x2-2x-3）可以看成由函數y=log2t與t=x2-2x-3復合而成，因為函數t=x2-2x-3在區(qū)間（-∞，1）上為單調減函數，在區(qū)間（1，+∞）上為單調增函數，且函數y=log2t為定義域上的單調增函數，故根據復合函數的同增異減的原則，再結合{x|x＜-1或x＞3}，得原函數y=log2（x2-2x-3）的單調增區(qū)間為（3，+∞）.

點評：因為函數的單調區(qū)間是函數定義域的子區(qū)間，所以求任何一個函數的單調區(qū)間時，都需要先求出這個函數的定義域，特別是在求與對數函數復合的復合函數的單調區(qū)間時，學生更容易忽視對定義域的考慮，這點必須強調.

六、“解不等式”中的定義域

例6求不等式的解集.

學生錯解：因為，所以又因為對數函數為單調遞減函數，所以，所以，所以不等式的解集為

錯因分析：由于對數函數的定義域為x∈（0，+∞），所以中應有2-x＞0，即x＜2，學生并沒有注意到這一限制.

解：因為，所以又因為對數函數為單調遞減函數，所以不等式的解集為

點評：求解與對數函數相關的不等式時，不要忘記真數大于0這個限制條件，否則容易造成錯解.

函數的三大要素：定義域、對應法則、值域，定義域作為我們研究函數問題時碰到的第一個問題，也是最基礎的問題，它直接影響著后續(xù)我們對函數解析式、值域以及函數的圖像與性質的研究，函數的定義域是解決所有函數問題時都必須優(yōu)先考慮的先決條件，因此，我們教師要教育學生在學習函數時一定要養(yǎng)成優(yōu)先考慮函數定義域的習慣，這樣才不至于在函數的后續(xù)學習中犯有關定義域方面的低級錯誤，當然，隨著函數學習的不斷深入，學生一定會有越來越深刻的體會.W