發(fā)展高中生數(shù)學(xué)高階思維的幾點(diǎn)思考

☉重慶市江津中學(xué)校 蘭 勇

很多教師往往會(huì)將大量的習(xí)題訓(xùn)練當(dāng)作數(shù)學(xué)高效學(xué)習(xí)的重要途徑，但實(shí)際上，問題解決過程中的思維才是數(shù)學(xué)高效教學(xué)必須重點(diǎn)關(guān)注的，高效的思維方式才是教師在課堂教學(xué)中應(yīng)該始終關(guān)注的.

一、注重思維的深刻性

就題解題只是學(xué)生在認(rèn)識(shí)問題的初級(jí)階段的思維變現(xiàn)，學(xué)生對問題形成深刻的理解才是教師高效教學(xué)應(yīng)該追求的，學(xué)生對問題的理解能夠達(dá)到由此及彼、由表及里直至去粗取精、去偽存真的境界才能說明學(xué)生對問題真正理解了.

例1將函數(shù)的圖像向左平移φ個(gè)單位，所得的圖像對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則φ的最小正值是______.

分析：將函數(shù)的圖像向左平移φ個(gè)單位，得求φ的最小正值.

方法1：偶函數(shù)的對稱軸為x=0，即y軸，把x=0代入得或2，則或-1，故，所以φ的最小正值為

方法2：由題意為偶函數(shù)，故有恒等 式化 簡 得.因?yàn)閟inx不恒為0，因此0，故，以下同上.

方法3：直接作函數(shù)的圖像，如圖1，觀察圖像可知，將圖像向左平移個(gè)單位長度即可.

圖1

問題圓滿解決，那么此題是否還有更值得思考的地方呢？函數(shù)圖像的上下移動(dòng)其實(shí)就是函數(shù)值的改變，圖像的形狀、單調(diào)區(qū)間等并沒有發(fā)生變化，所以，將函數(shù)y=視為考查對象就可以了.

二、注重思維的簡潔性

透過復(fù)雜的現(xiàn)象進(jìn)行本質(zhì)的把握能令解題者更好地抓住主要矛盾并做到思維上的刪繁就簡.

例2函數(shù)f（x）=|x2-4|+x2+kx（x∈R）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-2），則k的取值范圍為______.

分析：有的學(xué)生往往受導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)單調(diào)性的思維定勢的影響會(huì)聯(lián)想到用導(dǎo)數(shù)來解決本題，那么解決此題必須這樣嗎？首先，去絕對值符號(hào)可得

所得分段函數(shù)由一次函數(shù)與二次函數(shù)組成，那么，此處要用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來解決嗎？

其次，“函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-2）”這一條件又應(yīng)該怎樣理解呢？將題目理解為如下意思是否可以：已知（-∞，-2）為函數(shù)f（x）=|x2-4|+x2+kx（x∈R）的單調(diào)區(qū)間，k的取值范圍如何？答案是否定的，原題想表達(dá)的是（-∞，-2）為函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，且函數(shù)f（x）只在這一區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù).結(jié)合函數(shù)圖像可知，對稱軸在［-2，2］之間，于是且k＞0，解得0＜

突破“復(fù)雜”的重圍并讓思維變得簡潔是思維的高級(jí)階段，“簡單”與“復(fù)雜”的對比往往更具有價(jià)值.

三、注重思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

思維的嚴(yán)謹(jǐn)性表現(xiàn)在學(xué)生對知識(shí)的“知其所以然”上.

例3已知函數(shù)若對于任意的x1∈R均存在x2∈R，并令g（x2）=f（x1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.

分析：g（x）=sin4x-cos4x=-cos2x∈［-1，1］.由條件易知函數(shù)f（x）的值域應(yīng)為函數(shù)g（x）值域的子集.f（x）的定義域?yàn)镽，因此接下來應(yīng)求函數(shù)f（x）的值域.

思路1：對x進(jìn)行分類討論.

當(dāng)x=0或a=0時(shí)，f（x）=0.

當(dāng)x＞0時(shí)

若a＞0，則

若a＜0，則

當(dāng)x＜0時(shí)

若a＞0，則

若a＜0，則

思路2：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí).

這兩種思路相對于這樣一道中等水平的填空題來說較費(fèi)筆墨.觀察函數(shù)f（x）解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并聯(lián)想基本不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R）的加強(qiáng)形式a2+b2≥2|a||b|（a，b∈R），可以這樣求解函數(shù)f（x）的值域：

若a=0或x=0，則f（x）=0，符合題意；

當(dāng)a≠0且x≠0時(shí)

顯而易見，此種思路更加簡潔而高效.由此可見，思維變得嚴(yán)謹(jǐn)不僅能對自己解題中的思維過程進(jìn)行充分的認(rèn)識(shí)，還能使解題者根據(jù)問題的要求及時(shí)調(diào)整思維的方向與解題的手段，當(dāng)然，解題者的主動(dòng)反饋是這一過程中必不可少的.

四、注重思維的敏捷性

不被情景性的暗示所左右、不迷信權(quán)威并敢于向權(quán)威提出質(zhì)疑是思維敏捷性、獨(dú)立性的表現(xiàn).數(shù)學(xué)思維的敏捷性更多地表現(xiàn)在運(yùn)算環(huán)節(jié)與推理過程的縮減上，與概括性緊密關(guān)聯(lián)的敏捷性又在概括與推理的“立即”上有所展現(xiàn).

跳出一般的解題框架并結(jié)合問題的條件、結(jié)論、背景提出自己獨(dú)創(chuàng)的見解是解題者思維敏捷性的表現(xiàn)，一般來說，想象力豐富的學(xué)生往往更容易獲得獨(dú)創(chuàng)性的解法.

例4已知函數(shù)，則以下結(jié)論不正確的是______.

（1）?x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立；

（2）?m∈（0，1），使方程|f（x）|=m有兩個(gè)不等實(shí)根；

（3）?x1，x2∈R，若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）；

（4）?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上有三個(gè)零點(diǎn).

分析：很多題目中往往具有看似比較簡單的情境，解題者往往也會(huì)因?yàn)榍榫车暮唵味`以為這是一道簡單題，思維與解法往往也就因此誤入歧途了.對于命題（1），似乎只要聯(lián)想奇偶性的定義就可以順利解決，那么從數(shù)的角度進(jìn)行推理論證是否也可以解決下面的命題呢？

顯然不行.對下面三個(gè)命題進(jìn)行仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，利用圖像判斷的意味還是相當(dāng)明顯的，因此，若將函數(shù)的圖像作出就可以順利解決問題了，如圖2所示.

總之，高中數(shù)學(xué)教師可以借助問題來指導(dǎo)學(xué)生，使學(xué)生的思維能夠在由此及彼、由表及里的思考中變得更為深刻，在刪繁就簡、把握本質(zhì)的解題中變得更為簡潔，在知其所以然的探索中變得更為嚴(yán)謹(jǐn)，在觸類旁通的推理與論證中變得更為敏捷，只有令學(xué)生的思維方式變得更加靈活才能保障數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高效性.W