例談全國(guó)卷Ⅰ（理科）中的數(shù)列問(wèn)題

☉湖北省荊門市第一中學(xué) 王韻萱

全國(guó)卷Ⅰ歷年的高考試題中數(shù)列題目出現(xiàn)的情況一般有兩種：一是選擇題和填空題各一道，分值10分；二是只有一道解答題，分值12分.從題目難度上來(lái)看，數(shù)列解答題一般難度都不是太大，即便是選擇題和填空題也一般為中檔題，當(dāng)然有時(shí)數(shù)列題目偶爾也會(huì)出現(xiàn)在選擇題或者填空題的最后一題，題目較難.接下來(lái)筆者就以新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ歷年的高考試題為例來(lái)分析一下這些題目的解決方法.

一般我們將數(shù)列問(wèn)題分為兩大類：有通項(xiàng)式類和無(wú)通項(xiàng)式類.

一、無(wú)通項(xiàng)式類

無(wú)通項(xiàng)式類問(wèn)題中的通項(xiàng)公式一般難以求出或根本不能求出，這時(shí)候就需要我們對(duì)題干中的已知條件進(jìn)行一些適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換進(jìn)而來(lái)得到問(wèn)題的答案，這類問(wèn)題一般出現(xiàn)的概率比較小.而此類問(wèn)題解題的關(guān)鍵在于怎樣將題干中的已知條件通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換一步步化為我們所求的目標(biāo)，下面通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)說(shuō)明.

例1（2009年新課標(biāo)理科卷Ⅰ，第14題）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為sn，若s9=72，則a2+a4+a9=______.

解析：這道題目?jī)H知道數(shù)列的前9項(xiàng)和，也就是說(shuō)只知道a5=8，通過(guò)觀察所求式子，不難發(fā)現(xiàn)a2+a4+a9=3a5，即所求答案為24.

例2（2012年新課標(biāo)理科卷Ⅰ，第16題）數(shù)列{an}滿足an+1+（-1）nan=2n-1，則{an}的前60項(xiàng)和為_(kāi)_____.

解析：看到（-1）n這一項(xiàng)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可以想到將n分奇偶來(lái)求解.

可得出奇數(shù)項(xiàng)和為15×2=30，偶數(shù)項(xiàng)和為8（1+3+5+…+29）=1800，即前60項(xiàng)和為1830.

二、有通項(xiàng)式類

有通項(xiàng)式類的數(shù)列題目比較多，一般來(lái)說(shuō)難度與跨度都比較大，通常在解答題中為中檔題，選擇題和填空題有個(gè)別難題.通過(guò)以下幾個(gè)例題來(lái)說(shuō)明這一類題目的解題方法和解題思路.

例3（2012年新課標(biāo)理科卷Ⅰ，第5題）已知{an}為等比數(shù)列，a4+a7=2，a5a6=-8，則a1+a10=（ ）.

解析：等比數(shù)列已知兩個(gè)條件，則一般通過(guò)這兩個(gè)條件可求出通項(xiàng).通過(guò)觀察a5a6=-8可化作a4a7=-8，又a4+a7=2，則可以解出a1+a10=a4q-3+a7q3=-7.故選D.

例4（2016年理科卷Ⅰ，第3題）已知等差數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和為27，a10=8，則a100=（ ）.

解析：這道題目屬于比較容易的數(shù)列題，由題明顯可以得到a5=3，由a10=8可以得到通項(xiàng)an=n-2，則a100=98.故選C.

例5（2017年理科卷Ⅰ，第12題）已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，在接下來(lái)三項(xiàng)是20，21，22，以此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，那么N為（ ）.

解析：通過(guò)題目可以找到規(guī)律.第m組有m項(xiàng)，分別為20，21，22，…，2m-1.

第m組的和為2m-1，前m組的和為2m+1-m-2，

由于N＞100，則，則m≥14，

若要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，設(shè)，則項(xiàng)的和2k-1應(yīng)與-2-m互為相反數(shù)，即2k-m-3=0，由m≥14，則k≥5.k=5時(shí)，m=29，此時(shí)

故選A.

例6（2018年理科卷Ⅰ，第14題）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn=2an+1，則S6=______.

解析：這道題很明顯可以求出通項(xiàng)，

再將n=1代入原式可得a1=-1，

接下來(lái)我們來(lái)說(shuō)一說(shuō)有關(guān)數(shù)列題目的解答題，如果高考中數(shù)列題目出現(xiàn)在解答題上，就一定出現(xiàn)在第17題的位置上.第17題作為解答題的第一道題目，一般不會(huì)太難，而且通常會(huì)有兩問(wèn)，第一問(wèn)根據(jù)已知條件求數(shù)列的通項(xiàng)公式，第二問(wèn)根據(jù)已知條件求數(shù)列的前n項(xiàng)和，解題方法一般也很固定，只要按照正常的解題步驟一步步規(guī)范解答就沒(méi)有任何問(wèn)題.

例7（2015年理科卷Ⅰ，第17題）Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3.

（1）求{an}的通項(xiàng)公式.

解析：（1）當(dāng)Sn和an同時(shí)出現(xiàn)在一個(gè)等式中時(shí)，一般利用an=Sn-Sn-1（n≥2）來(lái)進(jìn)行求解.

兩式相減整理可得（an+an-1）（an-an-1-2）=0.

由于an＞0可得（an-an-1-2）=0，即an-an-1=2.

令題目中等式的n=1，可得a1=3.

所以{an}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an=2n+1.

設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和

例8（2014年理科卷Ⅰ，第17題）已知數(shù)列{an}的前

n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ為常數(shù)，

（1）證明：an+2-an=λ.

（2）是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由.

解析：（1）與上題一樣有Sn和an同時(shí)出現(xiàn)在一個(gè)等式中，利用an=Sn-Sn-1來(lái)進(jìn)行求解.

由an≠0可得，an+2-an=λ.

（2）假設(shè)存在λ，使得{an}為等差數(shù)列，則將n=2代入題目中等式可得a2=λ-1，a3=λ+1，a3-a2=2，要使{an}為等差數(shù)列，則a2-a1=λ-2=2，即λ=4，此時(shí)an=2n-1為等差數(shù)列.

歷年來(lái)的理科卷Ⅰ中數(shù)列題目必定會(huì)出現(xiàn)，出現(xiàn)的方式可能是一道選擇題外加一道填空題，也可能是第17題.這些題目的難度一般不是很大.在歷年的理科卷Ⅰ中，只有2012年和2017年這兩年的高考題的數(shù)列題目分別出現(xiàn)在第16題和第12題的位置上，難度較大.做數(shù)列題目的關(guān)鍵在于如何根據(jù)題干中的已知條件厘清思路，明確這道題是否需要求出其通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，如果需要求出其通項(xiàng)公式，就需要觀察題干中給出的已知條件，思考要用什么方法求其通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.如果不需要求出其通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，就需要思考其轉(zhuǎn)化的方式，必要時(shí)可使用公式進(jìn)行一些適當(dāng)?shù)淖冃?

總之，高考中的數(shù)列題目一般難度不會(huì)太大，解題方法和思路一般也不會(huì)超出我們所學(xué)的常用的幾種基本方法，其關(guān)鍵之處在于規(guī)范細(xì)致.做題時(shí)一定要看清題干中給出的已知條件和所要解決的問(wèn)題，認(rèn)真審題，細(xì)心解題，規(guī)范答題，相信在以后的高考中遇到數(shù)列題目我們都能迎刃而解.