基于GARCH-CVaR的股指期貨套期保值模型的實(shí)證分析

張瑞穩(wěn)，趙沁怡

（中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 管理學(xué)院，合肥 230046）

0 引言

股指期貨作為重要金融衍生品的推出結(jié)束了中國(guó)資本市場(chǎng)沒(méi)有做空的歷史，完善了資本市場(chǎng)同時(shí)，也擴(kuò)大投資者的投資選擇。不過(guò)，股指期貨屬于金融衍生品，設(shè)計(jì)相對(duì)復(fù)雜，作為普通的投資者需要掌握一定的專(zhuān)業(yè)知識(shí)才能進(jìn)行投資。其中，股指期貨套期保值頭寸的設(shè)定成為未來(lái)投資者較為關(guān)心的問(wèn)題。目前有不少文獻(xiàn)開(kāi)展了這方面的研究[1-4]。本文在分析傳統(tǒng)套期保值理論基礎(chǔ)上，結(jié)合馬柯維茨的現(xiàn)代投資組合理論，以歷史數(shù)據(jù)模擬法計(jì)算最小風(fēng)險(xiǎn)套期保值比率。主要采用的方法有OLS最小二乘回歸模型估計(jì)方法、雙變量向量自回歸模型估計(jì)方法以及基于協(xié)整關(guān)系的誤差修正模型估計(jì)方法，并對(duì)套期保值的有效性進(jìn)行評(píng)價(jià)。

1GARCH-CVaR動(dòng)態(tài)模型的構(gòu)建

本文主要考慮股指期貨對(duì)給定投資組合的最優(yōu)套期保值比率的確定，因此，考慮雙變量的GARCH模型。雙變量GARCH模型有兩個(gè)條件均值方程和三個(gè)條件方差方程。簡(jiǎn)單的雙變量GARCH(1,1)模型的條件方差方程如下：

這里假定誤差序列服從正態(tài)分布，并且兩誤差序列的相關(guān)系數(shù)為常數(shù)。式（1）三個(gè)條件方差方程中，一個(gè)是兩序列間的條件協(xié)方差矩陣，另外兩個(gè)是兩序列的條件方差方程。對(duì)于GARCH模型中的參數(shù)通常采用極大似然估計(jì)，通過(guò)構(gòu)造對(duì)數(shù)似然函數(shù)，同時(shí)擇優(yōu)利用NR遺傳算法、BHHH方法等數(shù)值方法進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)最大似然估計(jì)出GARCH模型中的參數(shù)。

根據(jù)CVaR定義，CVaRα(x)為組合x(chóng)的損失f(x，y)超過(guò)VaRα(x)的期望值。有：

損益函數(shù)由f(x，r)=-(x1r1+x2r2+…+xnrn)=-xTr給出，x=(x1，x2，…，xn)T表示在n種資產(chǎn)上的資金分配情況，r=(r1.r2，…，rn)T，ri表示第i種資產(chǎn)的市場(chǎng)收益率。套期保值投資組合的方差為：

那么，套期保值投資組合的CVaR可表示為：

式（4）中,p(r)為資產(chǎn)組合收益率的密度函數(shù)。

假設(shè)套期保值資產(chǎn)組合收益率服從正態(tài)分布，采用資產(chǎn)組合的CVaR作為目標(biāo)函數(shù)，并通過(guò)最小化CVaR目標(biāo)函數(shù)來(lái)確定在一定置信水平下的最優(yōu)套期比。則在置信水平α下和給定的時(shí)間τ內(nèi)，最優(yōu)套期保值策略的目標(biāo)函數(shù)為使式（4）最小化，有：

上式成立的條件相關(guān)系數(shù)ρ滿足-1≤ρ≤1，因此顯然有1-ρ2≥0。以確定最優(yōu)套期保值比率：

式（6）中：σs為Rs的標(biāo)準(zhǔn)差；σf為Rf的標(biāo)準(zhǔn)差；σsf為Rs和Rf的協(xié)方差；Zα為在置信水平α下的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)。

2 實(shí)證分析

傳統(tǒng)的套期保值比率的計(jì)算方法有最小二乘（OLS）回歸模型估計(jì)法、B-VAR雙變量向量自回歸模型方法等，本文基于協(xié)整關(guān)系的誤差修正模型方法，通過(guò)對(duì)VaR和CVaR的股指期貨套期保值組合模型求最小值，利用各模型逐一計(jì)算套期保值比率，并對(duì)其有效性進(jìn)行分析評(píng)價(jià)。

2.1 數(shù)據(jù)的選取與處理

本文從滬深市場(chǎng)選擇90只流通市值較大的股票，選取的數(shù)據(jù)為2015年1月6日至2017年12月26日共147周的周收盤(pán)價(jià)，所選樣本數(shù)據(jù)行業(yè)分布均勻。分別計(jì)算90只股票的收益率，按流通股份做權(quán)數(shù)構(gòu)建投資組合，并計(jì)算組合146周的收益率。滬深300股指期貨數(shù)據(jù)同樣選取2015年1月6日至2017年12月26日的周收盤(pán)價(jià)，計(jì)算其收益率，描述性統(tǒng)計(jì)如表1所示?，F(xiàn)貨投資組合的收益率波動(dòng)與期貨指數(shù)收益率波動(dòng)走勢(shì)基本一致，收益率波動(dòng)曲線圖由于篇幅不再贅述。

表1 股票組合與滬深300股指期貨收益率的描述性統(tǒng)計(jì)

古典時(shí)間序列分析方法往往假設(shè)樣本序列具有同方差、無(wú)序列相關(guān)并且服從正態(tài)分布。如果樣本序列違背這些假定的話，就需要采用其他的分析方法。因此，為了達(dá)到模型的應(yīng)用條件，需要對(duì)現(xiàn)貨和期貨收益率序列進(jìn)行相關(guān)的假設(shè)檢驗(yàn)。

本文采用序列的自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)以及Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)的序列相關(guān)性，得出殘差序列的自相關(guān)和偏相關(guān)系數(shù)，以及Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，接受原假設(shè)，即殘差不存在序列相關(guān)。通過(guò)計(jì)算數(shù)據(jù)序列的峰度和偏度，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)序列也基本滿足正態(tài)分布。

采用單位根檢驗(yàn)對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。對(duì)滬深300股指期貨收益率、滬深90只股票組合收益率分別進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，采用常用的PP檢驗(yàn)方法。若序列存在高階滯后相關(guān)，這就不符合擾動(dòng)項(xiàng)是獨(dú)立同分布的假設(shè)，則不能采用該檢驗(yàn)方法。統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。

表2 股票組合和滬深300期貨收益率的單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

由表3可以看出，股票組合收益率和滬深300期貨收益率的一階截?cái)鄿髏統(tǒng)計(jì)量小于置信水平1%的臨界值，則接受原假設(shè)，即股票組合收益率和滬深300期貨收益率序列只存在唯一的單位根。

異方差與協(xié)整檢驗(yàn)則通過(guò)ARCH LM方法檢驗(yàn)殘差平方序列。統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果表明殘差序列的自相關(guān)系數(shù)不為0，偏相關(guān)系數(shù)也不為0，且Q統(tǒng)計(jì)量顯著。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明殘差序列存在一定的ARCH效應(yīng)。另外，利用協(xié)整檢驗(yàn)以識(shí)別自變量和因變量之間是否存在協(xié)整關(guān)系。統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3所示。

表3 股票組合和滬深300期貨收益率的協(xié)整關(guān)系檢驗(yàn)結(jié)果

顯然，t-統(tǒng)計(jì)量小于1%置信水平的臨界值，接受原假設(shè)，殘差序列只存在唯一的單位根，也就是說(shuō)，股票組合收益率和滬深300期貨收益率序列之間存在協(xié)整效應(yīng)。

由以上的檢驗(yàn)可以看出：股票組合收益率和滬深300期貨收益率序列不存在序列自相關(guān)性；殘差序列存在異方差性，即ARCH效應(yīng)，可采用ARCH類(lèi)模型對(duì)收益率序列進(jìn)行估計(jì)；股票組合收益率和滬深300期貨收益率序列之間存在協(xié)整效應(yīng)。

2.2 套期保值最優(yōu)套頭比的計(jì)算

上文對(duì)股票組合收益率序列和滬深300期貨收益率序列分別進(jìn)行了一系列的檢驗(yàn)，接下來(lái)在此基礎(chǔ)上用GARCH-VaR和GARCH-CVaR模型分別計(jì)算其套頭比，并對(duì)其進(jìn)行有效性評(píng)價(jià)。

2.2.1 結(jié)果分析

由上文的檢驗(yàn)結(jié)果可知，股票組合收益率序列和滬深300期貨收益率序列不存在自相關(guān)性，殘差序列存在ARCH效應(yīng)，因此采用GARCH（1,1）-CVaR動(dòng)態(tài)模型分析收益的波動(dòng)性和條件風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)于誤差服從正態(tài)分布的GARCH(1,1)模型，其對(duì)數(shù)似然函數(shù)用極大似然法對(duì)式進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。結(jié)果如下頁(yè)表4和表5所示。

表4 股票組合收益率GARCH(1,1)模型估計(jì)結(jié)果

表5 滬深300期貨收益率GARCH(1,1)模型估計(jì)結(jié)果

同時(shí)，還可算出兩誤差項(xiàng)的條件相關(guān)系數(shù)ρ=0.830563，相關(guān)性程度很高。成熟的期貨市場(chǎng)如美國(guó)S&P500指數(shù)和相應(yīng)的股指期貨之間的相關(guān)系數(shù)可以達(dá)到0.9以上，接近1。這里，90只行業(yè)重倉(cāng)股組合和滬深300期貨之間的相關(guān)系數(shù)比較高，說(shuō)明股票指數(shù)期貨市場(chǎng)的投資能夠很好地規(guī)避股票現(xiàn)貨市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)，選擇適當(dāng)?shù)奶灼诒Ｖ的Ｐ蛯⑻岣咭?guī)避風(fēng)險(xiǎn)的效果。

根據(jù)上文的檢驗(yàn)和估計(jì)，得到股票組合及滬深300期貨收益率的期望收益、方差和標(biāo)準(zhǔn)差之后，計(jì)算VaR、CVaR最優(yōu)套期保值比率。套期保值區(qū)間設(shè)置為1，不同的置信水平α=0.5～0.99。表6給出不同置信水平下的VaR和CVaR套期保值比。

表6 不同置信水平α下的VaR和CVaR套期保值比

按照經(jīng)典的MV模型計(jì)算最優(yōu)套期保值比。從表6中可以看出，當(dāng)置信水平α增加時(shí)，VaR套期保值比和CVaR套期保值比也隨之增加；α趨近于1時(shí)，VaR套期保值比和CVaR套期保值比趨近于MV套期保值比。數(shù)據(jù)顯示，隨著α的增加，VaR套期保值比變化較大，特別是交易數(shù)據(jù)缺失、流動(dòng)性較差時(shí)，VaR估計(jì)的準(zhǔn)確性下降。相比之下，CVaR克服了VaR的缺點(diǎn)，結(jié)果較穩(wěn)定，對(duì)于市場(chǎng)出現(xiàn)極端情況時(shí)的處理效果比較好。從總體趨勢(shì)來(lái)看，條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR與VaR的變化趨勢(shì)基本趨同，但由于本身是一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度工具，其取值始終比后者偏大。特別是在市場(chǎng)劇烈波動(dòng)期間，在尾部發(fā)生小概率事件時(shí)，其可能的期望損失比VaR大很多。在可能出現(xiàn)的極端事件中，VaR進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度易導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)低估，且隨著風(fēng)險(xiǎn)越大，VaR值被低估越明顯。所以用更加客觀的CVaR方法度量風(fēng)險(xiǎn)，更符合風(fēng)險(xiǎn)管理的謹(jǐn)慎性原則。

2.2.2 套期保值有效性評(píng)價(jià)

在傳統(tǒng)的套期保值有效性的測(cè)度方法中，或多或少都存在一定的不足，本文套期保值目標(biāo)在鎖定投資收益，規(guī)避投資風(fēng)險(xiǎn)，為理性投資者投資提供服務(wù)。有實(shí)證研究使用Ederington測(cè)度方法有一定的相對(duì)優(yōu)勢(shì)，因此本文采用Ederington測(cè)度方法作為套期保值有效性測(cè)度方法，對(duì)以上四種模型的套期保值有效性進(jìn)行評(píng)價(jià)。公式，Var(U)表示沒(méi)有采用套期保值交易實(shí)現(xiàn)收益的方差（風(fēng)險(xiǎn)）。將不同方法得到的套頭比分別代入套期保值投資組合方差的計(jì)算公式中 ，計(jì) 算 出 不 同 模 型 的Var(H)，進(jìn)而得出不同的HeEderington，結(jié)果如表7所示。

表7 幾種模型套期保值有效性評(píng)價(jià)

由表7可以看出，基于CVaR極小化的套期保值方法規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的有效性比其他幾種模型要好，而基于VaR極小化的套期保值方法規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的有效性較低，原因可以從以下幾個(gè)方面考慮：一是本文采用股票組合收益作為現(xiàn)貨，滬深300期貨收益作為期貨，交易量小、流動(dòng)性弱，不能很好地反映現(xiàn)貨市場(chǎng)和期貨市場(chǎng)的市場(chǎng)價(jià)格；二是股指期貨定價(jià)的準(zhǔn)確性也會(huì)影響套期保值效果，國(guó)內(nèi)市場(chǎng)缺乏大量的套利商，使得股指期貨的交易價(jià)格可能較大地偏離股指期貨的內(nèi)在價(jià)值，造成價(jià)差偏大；三是僅選取三年間股票收盤(pán)價(jià)及滬深300期貨收盤(pán)價(jià)，數(shù)據(jù)量有限，而以上模型估計(jì)套期保值比率的準(zhǔn)確性均依賴(lài)于大的樣本集合。

3 結(jié)論

本文利用GARCH（1,1）-VaR模型分析了套期保值效率與組合風(fēng)險(xiǎn)控制，通過(guò)樣本數(shù)據(jù)研究結(jié)果顯示，當(dāng)收益序列滿足正態(tài)分布時(shí)，VaR和CVaR度量風(fēng)險(xiǎn)是基本相同的。相對(duì)于VaR，CVaR是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量，可用于整體資產(chǎn)組合優(yōu)化中，因此GARCH-CVaR模型具有更好的實(shí)用價(jià)值。通過(guò)Ederington測(cè)度方法對(duì)五種模型計(jì)算得到的套期保值比進(jìn)行有效性評(píng)價(jià)，可得出CVaR模型能夠很好地規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，這里Ederington測(cè)度方法僅考慮風(fēng)險(xiǎn)而沒(méi)有考慮收益因素。