化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用

摘? 要：高中數(shù)學(xué)是一門對學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維能力都要求較高的學(xué)科，許多學(xué)生在高中數(shù)學(xué)的日常學(xué)習(xí)過程中習(xí)慣于使用直接的方式去解答復(fù)雜的題目，導(dǎo)致大量時間和精力被浪費(fèi)，這些學(xué)生所欠缺的便是數(shù)學(xué)化歸思想?；瘹w思想是數(shù)學(xué)思想中較為基礎(chǔ)的思想，教師培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，不僅能讓學(xué)生學(xué)會將復(fù)雜的數(shù)學(xué)函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成較為簡單的數(shù)學(xué)問題，還有利于對學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)?；诖?，本文探討教師如何在高中數(shù)學(xué)的函數(shù)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸思想。

關(guān)鍵詞：化歸思想;高中數(shù)學(xué);函數(shù)學(xué)習(xí)

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-624X（2019）42-0038-02

引 言

高中函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn)，復(fù)雜的函數(shù)問題一直是學(xué)生提升數(shù)學(xué)水平的攔路虎?；瘹w思想著重將復(fù)合性未知問題分解轉(zhuǎn)化為多個簡單的已知問題，以此降低解題的難度，是學(xué)生解決高中函數(shù)問題的重要工具。從實(shí)踐研究中可以得知，如果學(xué)生在學(xué)習(xí)中掌握并會運(yùn)用化歸思想，那么大多數(shù)復(fù)雜的函數(shù)問題都能夠在轉(zhuǎn)化后以較為簡單的方式來解決。因此，教師在進(jìn)行函數(shù)教學(xué)時，應(yīng)當(dāng)注重對學(xué)生進(jìn)行化歸思想的培養(yǎng)，并且引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中正確而靈活地運(yùn)用化歸思想。

一、運(yùn)用化歸思想將未知問題化歸為已知問題

將數(shù)學(xué)問題中的未知問題化歸為學(xué)生已知的問題，是化歸思想最基礎(chǔ)的運(yùn)用方式，也是解決復(fù)雜函數(shù)問題的重要方式。高中數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)并不是孤島式分布的，而是如同互聯(lián)網(wǎng)的每個用戶一般，看似獨(dú)立，實(shí)際卻互相聯(lián)系，只有這樣才能進(jìn)行資源共享，以互幫互助的形式解決彼此的困難。在高中數(shù)學(xué)函數(shù)的教學(xué)過程中，學(xué)生往往會遇見一些看似復(fù)雜和新穎的題目，這些題目將多種函數(shù)形式結(jié)合在一起，往往令學(xué)生無從下手。但學(xué)生只要運(yùn)用化歸的思想，將復(fù)雜的東西化歸成簡潔的題型，解題方式便一目了然。

例如，在教學(xué)完“指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)”之后，教師可以使用這樣的題目培養(yǎng)學(xué)生遇見復(fù)雜問題時的化歸意識。例如，已知f（）=，求f（t）。在數(shù)學(xué)中，教師一般會用t代替x，在設(shè)計(jì)題目時，教師便可以使用這個常識作暗示，發(fā)散學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生自行領(lǐng)悟化歸思想的使用方式。但在實(shí)踐中，大部分學(xué)生是難以想到這樣的方法的，教師便需要在學(xué)生思考之后對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)：“同學(xué)們，原題看起來較為復(fù)雜，如果用t=x2-1代入原式，那么這道題不就化歸為我們較為熟悉的一元二次方程問題了嗎？”在學(xué)生嘗試化歸解題之后，教師再展示完整的化歸過程與結(jié)果，并且對換元部分的取值范圍重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)。

二、使用題根轉(zhuǎn)化法降低題目難度

高中數(shù)學(xué)中大部分的復(fù)雜函數(shù)問題都是由簡單的函數(shù)復(fù)雜化然后變形產(chǎn)生的，這些問題看似沒有聯(lián)系，但是具備相同的題根[1]。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生掌握并學(xué)會正確運(yùn)用題根轉(zhuǎn)化法，通過題根轉(zhuǎn)化法的應(yīng)用，學(xué)生可以降低題目的復(fù)雜程度，快速且正確地求出正確的答案。同時，題根的存在也意味著變形題目以及多種解法的存在，教師教導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用題根轉(zhuǎn)化法，同樣也是在培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的解題思維，在教學(xué)之后，學(xué)生能夠輕松自如地面對一個由題根衍生出的數(shù)學(xué)函數(shù)題型。

以不等式的問題為例，如題：|t2-5t+5|<1，這是一道簡單的絕對值不等式題目，但在此基礎(chǔ)上，教師可以通過對這道題進(jìn)行局部代換，將這道題目復(fù)雜化，并以此訓(xùn)練學(xué)生的題根轉(zhuǎn)化的意識和能力。例如，教師可以將不等式右邊的常數(shù)換為代數(shù)式，如題：|t2-2t-6|<3t，這題并不難，思路依舊是將|f（t）|g（t）f（t）>g（t）或f（t）<-g（t）這樣就在去掉絕對值后化歸為學(xué)生熟悉的一元一次或者一元二次不等式組。當(dāng)學(xué)生學(xué)會這種難度的題型變化后，教師再逐步深化題目的復(fù)雜程度，將原題轉(zhuǎn)變成含兩個絕對值的不等式，如題：|t-2|+|t+3|>5，之后還可以將其轉(zhuǎn)變?yōu)楹瑓⒔^對值不等式。

三、運(yùn)用化歸思想化復(fù)雜問題為簡單問題

高中復(fù)雜的函數(shù)問題中，既有多個知識點(diǎn)結(jié)合的無直接解題法或者難以直接解題的問題，也有將單一知識點(diǎn)復(fù)雜化的問題，前一種問題可以使用化歸思想將未知化為已知，同理，后一種問題可以使用化歸思想將復(fù)雜化為簡單。在面對單一知識點(diǎn)的復(fù)雜函數(shù)問題時，由于靈活思維能力和抽象思維能力的不足，學(xué)生對這些問題往往會有一種陌生感，感覺無從下手。而教師需要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸思想，找出恰當(dāng)?shù)慕忸}思路，以更簡單的方式求解出答案。

以復(fù)雜的不等式證明題為例，教師為學(xué)生設(shè)置講解例題：設(shè)|m|≤1，f（t）=mt2+t+m，求證當(dāng)|t|≤1時，|f（t）|≤。當(dāng)遇見這個問題時，學(xué)生會下意識地認(rèn)為可能是運(yùn)用不等式的相關(guān)性質(zhì)或者是二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來解題，在解題過程中，學(xué)生逐漸意識到問題的復(fù)雜性，最后陷入僵局。當(dāng)學(xué)生思路枯竭時，教師可逐步為學(xué)生做出引導(dǎo)，提示學(xué)生將表面上的二次函數(shù)問題簡化。部分學(xué)生在教師點(diǎn)撥后能夠快速解題，而當(dāng)剩下的學(xué)生也進(jìn)行了足夠的思考后，教師便可以開始為全體學(xué)生展示化歸思想的解題思路。教師將原題化簡為g（m）=（t2+1）m+t，然后再結(jié)合題設(shè)條件，快速解決問題，并根據(jù)此題總結(jié)將明面上的二次函數(shù)問題化簡為一次函數(shù)問題的方法。

四、化數(shù)歸形，解決難題

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)化歸思想中重要的組成部分，在函數(shù)問題的求解中，將抽象知識化為直觀的圖像，不僅有助于降低解題的難度，也能夠提示學(xué)生注意未知數(shù)的取值范圍，防止學(xué)生因?yàn)槿≈祮栴}解題失敗。因此，在進(jìn)行函數(shù)的教學(xué)時，教師可以在完成相關(guān)章節(jié)的教學(xué)后，設(shè)置復(fù)合型的題目，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握數(shù)形結(jié)合解題的方法。

以三角函數(shù)的復(fù)合型題目為例，教師為學(xué)生設(shè)置題目為求的最小值。本題無法使用不等式的相關(guān)解題方法求最值解題，而是需要學(xué)生化簡原題，并且作出相應(yīng)的圖像，結(jié)合圖像以斜率公式解決問題。教師首先將原式簡化為，然后由斜率計(jì)算公式計(jì)算出動點(diǎn)B（2sina，sin2a）。當(dāng)求出動點(diǎn)之后，便可以依據(jù){，得到y(tǒng)=。當(dāng)演示到這一步時，教師便可以讓學(xué)生自行畫圖，并思考之后的解題思路，并且教師可到學(xué)生中檢查學(xué)生是否能夠消化剛才的內(nèi)容。當(dāng)然，最終的最小值便是動點(diǎn)與一次方程定點(diǎn)A所連直線的斜率。通過這道例題的教學(xué)，教師不僅能培養(yǎng)學(xué)生面對復(fù)雜問題時運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的意識，還能夠讓學(xué)生將函數(shù)、三角函數(shù)等多個章節(jié)的知識點(diǎn)聯(lián)系起來，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。

結(jié) 語

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)的相關(guān)問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，而化歸思想能夠有效地提升學(xué)生對函數(shù)問題的學(xué)習(xí)和解答能力。在日常的教學(xué)過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握化歸思想在不同類型函數(shù)題目中的應(yīng)用方式，讓學(xué)生在面對復(fù)雜和高難度的函數(shù)問題時，能夠及時使用化歸思想，將無從下手的題目化歸為簡單、直觀、熟悉的題型，然后正確且迅速地解題。

[參考文獻(xiàn)]

吳進(jìn).化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（01）：75-77.

作者簡介：金鑫（1989.10—），男，江蘇阜寧人，本科學(xué)歷，中學(xué)二級教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。