例談“一題一課”與高三復習教學*
——以解三角形為例

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(回浦中學,浙江 臨海 317000)

根據(jù)統(tǒng)計，三角函數(shù)每年考查的題量和分值都較為穩(wěn)定，一般為一個大題加一兩個小題，分值在20分左右，而解三角形是其中必考的一個知識點.在考查知識點的同時也考查了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法.復習時，如果我們能細心揣摩用好高考真題，一方面可以減輕學生的課業(yè)負擔和節(jié)約教育成本[1]，另一方面對學生理解和鞏固知識以及訓練和培養(yǎng)解題能力都具有一定的幫助[2].

圖1

1 真題呈現(xiàn)

(2018年浙江省數(shù)學高考試題第13題)

學生基本上能很快作出解答，在△ABC中，由正弦定理得

即

在△ABC中，由余弦定理得

a2=b2+c2-2bccosA,

即

解得c=3或c=-1(舍去).

熟練應用正弦定理和余弦定理是解題的關(guān)鍵，在學生獨立完成該題后思考：

思考1以上考題考了哪些知識點？請一一列舉出具體內(nèi)容.

思考2三角形6個元素，知道其中幾個元素，求另外幾個元素，還有哪些類型？一般可用什么定理求解？

2 變式探究

探究1改變真題的所求.

1)求△ABC的面積;

2)判斷該三角形的形狀(銳角三角形、直角三

角形、鈍角三角形);

3)求邊BC上的中線長.

設計意圖本變式改變了真題的所求.通過本題的解答，讓學生進一步體會解三角形中相應知識點的應用，為后面的變式作好鋪墊.

探究2改變真題的條件.

思路1(邊化角) 利用正弦定理得

2cosA(sinCcosB+sinBcosC)=sinA,

即

2cosAsin(B+C)=sinA,

從而

2cosAsinA=sinA,

思路2(角化邊) 利用余弦定理得

即

b2+c2-a2=bc,

思路3(向量投影) 其實ccosB+bcosC是向量投影概念的應用，即

ccosB+bcosC=a，

從而

2cosA·a=a，

設計意圖變式2是讓學生體會如何根據(jù)已知條件實現(xiàn)邊角的靈活轉(zhuǎn)化.對一道題而言，是選擇“邊化角”還是“角化邊”，不可以一概而論，有時兩者皆可，有時只能一種才可解決.在該環(huán)節(jié)中，還可以繼續(xù)改變a的取值，進而求三角形解的個數(shù).

探究3改變真題的條件或所求.

思路探求利用方程思想得到方程組

利用整體思想可求出b+c=5.

思路1(邊) 由余弦定理得

a2=b2+c2-2bccosA,

即

7=b2+c2-bc,

利用基本不等式可得

從而

又由三角形兩邊之和大于第三邊可得

思路2(角) 由正弦定理得

即

思路3(形) 如圖2,點N為BC的中垂線與△ABC外接圓的交點，以B,C為焦點、點N到BC的距離為短半軸長畫一個橢圓，BA的延長線交橢圓于點M，聯(lián)結(jié)MC.當點A運動時，

當此類題目出現(xiàn)在選擇、填空題時，從形的角度可以很快解決.

思路1(邊) 因為

7=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，

所以

0

思路2(角)bc= 2RsinB×2RsinC=

圖3

思路1(邊) 由7=b2+c2-bc可知

b2+c2=7+bc,

又由變式3可知

0

進而得到b2+c2的取值范圍是(7,14].

思路2(角) 由7=b2+c2-bc可知

b2+c2=7+bc，

又由變式3可知

從而

圖4

思路3(形) 如圖4，D為BC中點，當點A在運動時，因為|AD|≤|AO|+|OD|,所以當點A運動到點N時，中線AD最長.由平行四邊形對角線的平方和等于各邊的平方和可知

(2AD)2+a2=2(b2+c2).

變式4～6都可以從“邊”“角”“形”這3個角度解決.但是若將△ABC改為銳角三角形，從邊的角度思考就不好控制了，此時只要化成角B的三角函數(shù)，再確定好角B的取值范圍即可求出函數(shù)的值域.當然若是出現(xiàn)在選擇、填空題時，從形的角度出發(fā)，結(jié)合臨界位置就能很快求得取值范圍.

3 高考鏈接

(2011年全國數(shù)學高考理科試題第16題)

(2014年全國數(shù)學高考卷Ⅰ理科試題第16題)

4 反思感悟

通過這節(jié)課的復習，學生們收獲比較大，從多個角度思考問題，感受到了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法的滲透.我們在求解過程中也發(fā)現(xiàn)：從“邊”的角度思考有時問題解決很輕松，但是不具備通用性，而從“角”的思路出發(fā)，雖然有時解題比較繁瑣，用到了三角恒等變換中的變角、降冪、輔助角公式等，但是具有通用性.因此在“一題多解”時，一方面讓學生理解觸發(fā)各種不同解法的出發(fā)點，另一方面是讓他們體會一題多解，更重要的是學會判斷、甄別在這些方法中哪些方法是最優(yōu)的、為什么最優(yōu).通過這樣的環(huán)節(jié)，學生形成優(yōu)化的解題思路，既能通過一題多解鍛煉思維，又能迅速找到最優(yōu)解法.