試析建模思想在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用

摘 要：數(shù)學(xué)建模思想在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用，有利于學(xué)生利用數(shù)學(xué)原理解決問(wèn)題，是提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的有效方法。隨著教育改革的持續(xù)推進(jìn)，對(duì)于建模思想在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用的重視程度不斷提高，通過(guò)建模思想，如何幫助學(xué)生提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與技能求解的能力是現(xiàn)階段初中數(shù)學(xué)教師關(guān)心與研究的重點(diǎn)問(wèn)題。本文主要分析解答建模思想在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用的相關(guān)問(wèn)題，通過(guò)大量初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例的闡述，希望能夠更加直觀清晰的表達(dá)觀點(diǎn)，發(fā)揮參考與借鑒的作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;建模思想;初中數(shù)學(xué);復(fù)習(xí)應(yīng)用

在建模思想的引導(dǎo)下，學(xué)生在進(jìn)行初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)能夠?qū)㈩}目與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，采用具體的事物特征或數(shù)量關(guān)系幫助鞏固學(xué)習(xí)成果，加深數(shù)學(xué)理解，完成作業(yè)題目。養(yǎng)成運(yùn)用建模思想的習(xí)慣，學(xué)生的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)將變得高效、生動(dòng)，不僅能提高學(xué)習(xí)效果，更能實(shí)現(xiàn)認(rèn)知、邏輯、思考等素質(zhì)能力的綜合提高。

一、 數(shù)學(xué)建模的主要步驟

數(shù)學(xué)建模本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，是一種進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)的典型思考方式，通過(guò)將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，再運(yùn)用數(shù)學(xué)方法完成模型求解，從而驗(yàn)證模型是否具備合理性，在這一過(guò)程中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解將加深，創(chuàng)造能力與實(shí)踐能力將提高。一般情況下，數(shù)學(xué)建模需要七個(gè)步驟，具體分析如下：

模型準(zhǔn)備：了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確問(wèn)題的實(shí)際意義，掌握問(wèn)題的相關(guān)信息，將問(wèn)題內(nèi)容轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用準(zhǔn)確語(yǔ)言描述數(shù)學(xué)問(wèn)題。

模型假設(shè)：找準(zhǔn)建模對(duì)象特征，明確數(shù)學(xué)建模目的，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題內(nèi)容，提出合理數(shù)學(xué)假設(shè)。

模型建立：在合理數(shù)學(xué)假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用數(shù)學(xué)工具建立各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，完成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的建立。

模型求解：利用模型相關(guān)的數(shù)學(xué)信息與數(shù)據(jù)資料，對(duì)所有參數(shù)進(jìn)行計(jì)算解答。

模型分析：綜合利用數(shù)學(xué)邏輯及方法，對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算解答而得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)合理性的分析。

模型檢驗(yàn)：將模型分析結(jié)果與實(shí)際情況進(jìn)行比對(duì)，以判斷結(jié)果是否具備合理性、科學(xué)性與適用性。

模型應(yīng)用：根據(jù)模型準(zhǔn)備與假設(shè)時(shí)的目的，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。

二、 數(shù)學(xué)建模的主要作用

首先，通過(guò)數(shù)學(xué)建模，能夠?qū)?shù)學(xué)與其他學(xué)科進(jìn)行聯(lián)系，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的強(qiáng)大功能與應(yīng)用價(jià)值，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。

其次，通過(guò)數(shù)學(xué)建模，能夠鍛煉學(xué)生的綜合能力，這些能力主要包括想象力、邏輯思維能力、數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力、問(wèn)題提煉能力、合作交流能力等。

再次，通過(guò)數(shù)學(xué)建模，學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)能夠獲得主動(dòng)性，能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)與題目?jī)?nèi)容與實(shí)際相結(jié)合，甚至能夠引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)社會(huì)活動(dòng)建立數(shù)學(xué)模型，符合現(xiàn)階段素質(zhì)教育的具體要求，有利于初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的提升。

最后，通過(guò)數(shù)學(xué)建模，能夠使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本方法，從而去完成數(shù)學(xué)建模的實(shí)施與操作，能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深遠(yuǎn)意義與學(xué)科價(jià)值。

三、 建模思想在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模是極為常見(jiàn)、常用的思維方法與解題方式，由此可見(jiàn)，建模思想應(yīng)是學(xué)生在進(jìn)行初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)最應(yīng)該強(qiáng)化練習(xí)，力求掌握的數(shù)學(xué)方法。初中數(shù)學(xué)所包括的典型數(shù)學(xué)模型包括方程、不等式、函數(shù)、幾何、圖表等，下文將舉例分析建模思想在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用。具體內(nèi)容如下：

（一） 方程建模

方程建模是最為基本的數(shù)學(xué)模型，其主要是利用數(shù)量的相等關(guān)系解決一些問(wèn)題，在解決工程問(wèn)題、銷售問(wèn)題、利率問(wèn)題等問(wèn)題時(shí)，方程建模的準(zhǔn)確性、清晰性、邏輯性特點(diǎn)凸顯，實(shí)際應(yīng)用具有良好效果。

例題1 某水庫(kù)計(jì)劃修建一條橫截面為梯形的輸水渠道，已知橫截面面積為4.05m2，上口寬比渠底寬1.4m，渠深比渠底寬小0.5m。求渠道的上口寬與渠深分別是多少。

分析：聯(lián)系實(shí)際生活，問(wèn)題本身屬于工程問(wèn)題，在建模思想的引導(dǎo)下可嘗試使用方程建模予以解決，運(yùn)用到的數(shù)學(xué)知識(shí)還主要涉及梯形面積的計(jì)算公式。

解：假設(shè)渠底寬為x，則上口寬即為x+1.4，渠深即為x-0.5，已知梯形橫截面面積為4.05m2，利用梯形面積計(jì)算公式建立方程，即為

[x+（x+1.4）]（x-0.5）2=4.05

解得x1=2，x2=-2.2，x2不合題意所以舍去，得出渠底寬為2m。

答：上口寬為2+1.4=3.4m，渠深為2-0.5=1.5m。

例題1是比較簡(jiǎn)單的方程建模，還有一些問(wèn)題需要利用方程組建模進(jìn)行解答，比如“雞兔同籠”的問(wèn)題。

例題2 買四只雞、六只兔時(shí)，一共需要花費(fèi)48元，而當(dāng)買三只雞、五只兔時(shí)，一共需要花費(fèi)38元。問(wèn)雞和兔的單價(jià)分別是多少？

分析：“雞兔同籠”問(wèn)題是古代一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但是利用建模思想就可以輕松解答，進(jìn)行方程組建模的關(guān)鍵就是題干中的兩組等量關(guān)系。

解：假設(shè)雞的單價(jià)為x元，兔的單價(jià)為y元，則建立方程組模型如下

4x+6y=483x+5y=38

解得

x=6y=4

答：雞的單價(jià)為6元，兔的單價(jià)為4元。

（二） 不等式建模

等量關(guān)系存在的同時(shí)，不等量關(guān)系也具有普遍性，尤其是在分配問(wèn)題、營(yíng)銷問(wèn)題、統(tǒng)籌問(wèn)題等問(wèn)題上，不等量關(guān)系比等量關(guān)系存在的可能性更大，在遇到這一類問(wèn)題時(shí)，就需要利用不等式建模，對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行解決。

例題3 某校組織學(xué)生春游，有若干名學(xué)生，準(zhǔn)備了若干輛校車，如果每輛校車坐4名學(xué)生，則余下18名學(xué)生沒(méi)有車可坐;如果每輛車坐6名學(xué)生，則有一輛車坐不滿。問(wèn)一共有多少名學(xué)生和多少輛校車？

分析：通過(guò)閱讀題干，提煉信息，可以發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)不等量數(shù)量關(guān)系，由此可建立不等式模型，考慮實(shí)際情況中學(xué)生與校車只可能為正數(shù)和整數(shù)，則可以確定合理答案。

解：假設(shè)該校安排校車x輛，則有（4x+18）名學(xué)生，可建立不等式方程如下

（4x+18）-6（x-1）>0（4x+18）-6（x-1）<6

解得

9

∵校車數(shù)為正整數(shù)

∴x=10或者x=11

當(dāng)x=10時(shí)，4x+18=58;當(dāng)x=11時(shí)，4x+18=62

答：該校一共有學(xué)生58名，安排校車10輛;或者有學(xué)生62名，安排校車11輛。

（三） 函數(shù)建模

函數(shù)的本質(zhì)是事物之間的廣泛聯(lián)系，是量與量之間的依存關(guān)系，包含數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律，常見(jiàn)的如解決成本問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、優(yōu)化問(wèn)題等問(wèn)題都可以利用函數(shù)建模予以解決。在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，函數(shù)建模的相關(guān)運(yùn)用占有較為關(guān)鍵的位置，通過(guò)函數(shù)建模，著力培養(yǎng)學(xué)生用函數(shù)看待、解釋、解決問(wèn)題的思維習(xí)慣及應(yīng)用能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維意識(shí)的提高。

例題4 某省濕地公園面積12萬(wàn)公頃，規(guī)劃今后10年每年擴(kuò)建面積相同，約為0.61到0.62萬(wàn)公頃。請(qǐng)預(yù)估6年后該省濕地公園總面積為多少萬(wàn)公頃。

解：假設(shè)P為該省今后10年每年擴(kuò)建的公頃數(shù)，根據(jù)題意0.61≤P≤0.62，用S表示6年后該省濕地公園總面積（單位：萬(wàn)公頃），則S=6P+12。

根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)，一次項(xiàng)系數(shù)k=6>0，所以S會(huì)隨P的增大而增大。

∵0.61≤P≤0.62

∴6×0.61+12≤S≤6×0.62+12，即15.66≤S≤15.72

答：6年后該省濕地公園總面積將在15.66萬(wàn)公頃和15.72萬(wàn)公頃之間。

例題4是比較簡(jiǎn)單的一次函數(shù)建模，較為復(fù)雜的一次函數(shù)建模還可利用等式方程建模、不等式方程建模等進(jìn)行問(wèn)題的解決。

（四） 圖表建模

圖表建模的最大優(yōu)勢(shì)是通過(guò)條理清晰，直觀明確的方式將數(shù)學(xué)信息進(jìn)行梳理列舉，按照不同的類型將數(shù)學(xué)信息進(jìn)行排列，以方便對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決，而且利用圖表不容易遺漏關(guān)鍵信息。利用圖表建?？梢詫?duì)頻率、分類、統(tǒng)計(jì)等問(wèn)題進(jìn)行有效解決，在實(shí)際的應(yīng)用當(dāng)中具有普遍性。特別是在研究工作以及論文寫作當(dāng)中，圖表具有不可忽視的作用，其有利于發(fā)現(xiàn)各種變量之間的關(guān)系，生動(dòng)、形象地使復(fù)雜和抽象的問(wèn)題變的直觀、清晰，可以代替大量的復(fù)雜的文字說(shuō)明，節(jié)省篇幅。

例題5 人類有A、B、O和AB四種血型。在學(xué)校組織的一次體檢中，一班的血型檢測(cè)結(jié)果是在40名學(xué)生當(dāng)中，A型16人，B型5人，O型有45%，剩余都是AB型。二班的血型檢測(cè)結(jié)果是在45名學(xué)生當(dāng)中，A型有40%，AB型2人，O型20人，剩余都是B型。請(qǐng)制作能說(shuō)明一班和二班血型統(tǒng)計(jì)情況的圖表。

解：要想繪制能說(shuō)明一班和二班的血型統(tǒng)計(jì)情況的圖表，要先確認(rèn)一班和二班的每種血型的人數(shù)，那么現(xiàn)在未知的就是一班的O型和AB型，二班的A型和B型。

根據(jù)題目信息，先確認(rèn)一班的O型和AB型。

∵一班的O型占一班人數(shù)的45%

∴O型人數(shù)為40×45%=18人，為此AB型人數(shù)為40-16-5-18=1人

再確認(rèn)二班的A型和B型。

∵二班的A型占二班人數(shù)的40%

∴A型人數(shù)為45×40%=18人，為此B型人數(shù)為45-18-2-20=5人

一班和二班人數(shù)確認(rèn)后，即可進(jìn)行血型統(tǒng)計(jì)表的繪制。

通過(guò)例題5，可以明確地看出如何進(jìn)行圖表建模，首要問(wèn)題是利用數(shù)學(xué)方法處理題目中的量與量之間的關(guān)系，由此將繪制圖表中所涉及的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行全部確認(rèn)，最終完成圖表的繪制。

四、 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，建模思想是初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中常見(jiàn)且必要的數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題，有利于使學(xué)生掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的方法，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的提高，熱情的增加，理解的加深?；诖耍踔袛?shù)學(xué)教師在安排相關(guān)復(fù)習(xí)任務(wù)時(shí)，應(yīng)選擇與實(shí)際生活情況有所貼近的學(xué)習(xí)資料，并大力鼓勵(lì)學(xué)生們運(yùn)用建模思想去思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，并且在平時(shí)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，教師也應(yīng)該有意識(shí)的加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的授課，幫助學(xué)生樹(shù)立關(guān)于建模思想的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)與理解。

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作者簡(jiǎn)介：童紀(jì)江，浙江省余姚市，浙江省余姚市姚江中學(xué)。