不同損失下Poisson-Lomax分布參數(shù)的Bayes估計(jì)

劉 華

（荊楚理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，湖北荊門448000）

Poisson-Lomax 分布是新近提出的一種具有良好應(yīng)用前景的壽命分布，是Lomax分布的推廣，國內(nèi)對(duì)這個(gè)分布的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)進(jìn)行研究的學(xué)者比較少.文獻(xiàn)[1]研究了該分布的密度函數(shù)與危險(xiǎn)函數(shù)，給出了各階矩和順序統(tǒng)計(jì)量以及完全樣本情形下參數(shù)的極大似然估計(jì)和區(qū)間估計(jì)；文獻(xiàn)[2]研究了定數(shù)截尾情形下Poisson-Lomax 分布的Bayes 估計(jì)，并給出了該分布在Linex 損失函數(shù)和刻度平方損失函數(shù)下參數(shù)的Bayes 估計(jì). 很多學(xué)者[3-10]研究了在不同損失函數(shù)下其他分布參數(shù)的Bayes 估計(jì)，然而關(guān)于全樣本下Poisson-Lomax 分布參數(shù)的Bayes 估計(jì)尚未見到，本文給出該分布在不同損失下Poisson-Lomax 分布參數(shù)α的Bayes估計(jì)，并進(jìn)行數(shù)值模擬進(jìn)行比較.

Poisson-Lomax 分布的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為：

下面討論P(yáng)oisson-Lomax 分布中當(dāng)λ,β 已知時(shí)參數(shù)α 的極大似然估計(jì)和在不同損失函數(shù)下的Bayes估計(jì).

1 Poisson-Lomax 分布參數(shù)α 的極大似然估計(jì)

設(shè)X1,X2,…,Xn為來自Poisson-Lomax 分布的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，x1,x2,…,xn為其觀察值，記x=(x1,x2,…,xn)，根據(jù)文獻(xiàn)[11]，樣本x 的似然函數(shù)和對(duì)數(shù)似然函數(shù)分別為：

該方程的解即Poisson-Lomax 分布參數(shù)α 的極大似然估計(jì)，記為. 上式是非線性方程，不易求解，可以采用迭代法求其數(shù)值解. 為了表達(dá)式的簡潔，記hi=1+βxi，從而有

2 無信息先驗(yàn)下Poisson-Lomax 分布參數(shù)α 的Bayes 估計(jì)

在貝葉斯統(tǒng)計(jì)中，參數(shù)α是隨機(jī)變量，需要選擇一個(gè)合適的先驗(yàn)分布，常用無信息的先驗(yàn)分布和共軛先驗(yàn)分布，現(xiàn)取α的先驗(yàn)分布為廣義的均勻分布：π(α)=1，α ∈(0,+∞)，則α的后驗(yàn)密度函數(shù)為：

在統(tǒng)計(jì)決策問題中，由于損失函數(shù)選取的不同，往往使統(tǒng)計(jì)決策的優(yōu)劣程度發(fā)生變化，下面將在幾類不同的損失函數(shù)下，給出參數(shù)α的貝葉斯估計(jì).

定 理1在 刻 度 平 方 損 失 函 數(shù)L(α,α?)=下，其中k 為非負(fù)的整數(shù)，若取α 的先驗(yàn)分布為廣義均勻分布，則Poisson-Lomax分布參數(shù)α的Bayes估計(jì)為

證明：對(duì)參數(shù)α 求后驗(yàn)期望，得到后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為：

α?2E(α-k|x)-2α?E(α1-k|x)+E(α2-k|x)

兩邊對(duì)α?求一階偏導(dǎo)并令其偏導(dǎo)為0，即

故Poisson-Lomax分布參數(shù)α的Bayes估計(jì)為

當(dāng)k=0時(shí)就是平方損失函數(shù)，此時(shí)參數(shù)α的貝葉斯估計(jì)為后驗(yàn)分布的均值[11]，因此

定 理 2在 熵 損 失 函 數(shù) L(α,α?)=下，若取α 的先驗(yàn)分布為廣義均勻分布，則Poisson-Lomax分布參數(shù)α的Bayes估計(jì)為：

證明：對(duì)參數(shù)α求后驗(yàn)期望，得到后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)

兩邊對(duì)α?求一階偏導(dǎo)數(shù)并令其偏導(dǎo)為0，得

則Poisson-Lomax分布的參數(shù)α的Bayes估計(jì)為：

定 理3在 對(duì) 稱 熵 損 失 函 數(shù)L(α,α?)=下，若取α 的先驗(yàn)分布為廣義均勻分布，則Poisson-Lomax分布參數(shù)α的Bayes估計(jì)為：

證明：對(duì)參數(shù)α求后驗(yàn)期望，得到后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)

兩邊對(duì)α?求一階偏導(dǎo)并令其偏導(dǎo)數(shù)為0，得

再由定理1和定理2中的結(jié)論知：

定理4在Linex 損失函數(shù)L(α,α?)=ec(α-α?)-c(α-α?)-1 (c ∈R,c ≠0)下，若取α 的先驗(yàn)分布為廣義均勻分布，則Poisson-Lomax 分布參數(shù)α 的Bayes估計(jì)為：

證明：對(duì)參數(shù)α同時(shí)求后驗(yàn)期望，得到后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)

兩邊對(duì)α?求一階偏導(dǎo)并令其偏導(dǎo)數(shù)為0，得

3 數(shù)值模擬分析

由文獻(xiàn)[1]知，Poisson-Lomax 分布的分位數(shù)函數(shù)為：

當(dāng)λ、β 已知時(shí)，對(duì)參數(shù)α 求極大似然估計(jì)α?MLS及各種損失函數(shù)下的Bayes估計(jì)的步驟如下：

（1）產(chǎn)生一組容量為n的服從U(0,1)的相互獨(dú)立的隨機(jī)樣本U1,U2,…,Un.

（2）給 定α=2,β=1,λ=5 的 值，令Xi=Q(Ui)(i=1,2,…,n)，則X1,X2,…,Xn是 服 從Poisson-Loma 分布的隨機(jī)樣本，即X1,X2,…,Xn～F(x;2,1,5).

（3）計(jì)算α 的極大似然估計(jì)，以及在平方損失下、刻度平方損失下、熵?fù)p失下、對(duì)稱熵?fù)p失下、Linex 損失下的貝葉斯估計(jì)值，分別記為：α?MLS,α?BS,α?BK,α?BE,α?BSE,α?BL. 由于積分不易直接求得，記m(z;n,hi)=zn（其 中hi=1+βxi），由大數(shù)定律知，當(dāng)N →∞，m(z;n,hi)dz，zi～exp(1) (i=1,2,…,N)，其中取N=10000，把上式近似估計(jì)值代入α估計(jì)表示式.

（4）重復(fù)上述過程1000 次，計(jì)算出各個(gè)估計(jì)值的均值（MEAN）、標(biāo)準(zhǔn)誤差（SE）、均方誤差（MSE）.

由此，給定α=2,β=1,λ=5 時(shí)，Poisson-Lomax 分布隨機(jī)數(shù)樣本推斷的參數(shù)α 的估計(jì)結(jié)果在MATLAB中計(jì)算所得如表1所示.

表1 α=2時(shí)估計(jì)結(jié)果比較（其它參數(shù)的取值為k=2，c=2）

表1中數(shù)值模擬結(jié)果表明：

（1）隨著n變大，極大似然估計(jì)的均方誤差MSE越小，說明了估計(jì)的精度在提高，SE越來越來小，說明了極大似然估計(jì)隨著樣本量的增加，樣本的代表性越來越好，符合極大似然估計(jì)對(duì)大樣本的要求，同時(shí)估計(jì)值也隨著n的增加越接近真值.

（2）在各種損失函數(shù)下的參數(shù)α的Bayes估計(jì)的MSE整體都比較小，且估計(jì)值比較接近真值2，說明了α的先驗(yàn)分布選取比較合適；隨著樣本量的增加，SE越來越來小，樣本的代表性也越來越好；當(dāng)n=5時(shí)選擇對(duì)稱熵?fù)p失下的Bayes估計(jì)效果最好；當(dāng)n=10 時(shí)，選擇Linex 損失下（此時(shí)c=2）Bayes 估計(jì)效果最好；n=50 時(shí)，選擇刻度平方損失下（此時(shí)k=2）Bayes估計(jì)效果最好.

（3）整體來看，參數(shù)α 的Bayes 估計(jì)在小樣本下精度和代表性要優(yōu)于極大似然估計(jì)，隨著樣本量的增加，極大似然的估計(jì)效果越來越好.