一道樣本的數(shù)字特征與頻率分布直方圖的交匯問題

■徐春生

題目海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的舊,新網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品產(chǎn)量(單位：kg),其舊、新網(wǎng)箱養(yǎng)殖法的頻率分布直方圖分別如圖1、圖2所示。

圖1

圖2

根據(jù)頻率分布直方圖,下列說法正確的是( )。

①新網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計值;②新網(wǎng)箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值;③新網(wǎng)箱產(chǎn)量的平均數(shù)的估計值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量的平均數(shù)的估計值;④新網(wǎng)箱頻率最高組的總產(chǎn)量的估計值接近舊網(wǎng)箱頻率最高組的總產(chǎn)量的估計值的兩倍。

A.①②③ B.②③④

C.①③④ D.①④

解：舊網(wǎng)箱產(chǎn)量的平均數(shù)=27.5×0.06+32.5×0.07+37.5×0.12+42.5×0.17+47.5×0.2+52.5×0.16+57.5×0.1+62.5×0.06+67.5×0.06=47.1,舊網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差=(27.5-47.1)2×0.06+(32.5-47.1)2×0.07+(37.5-47.1)2×0.12+(42.5-47.1)2×0.17+(47.5-47.1)2×0.2+(52.5-47.1)2×0.16+(57.5-47.1)2×0.1+(62.5-47.1)2×0.06+(67.5-47.1)2×0.06=107.34。新網(wǎng)箱產(chǎn)量的平均數(shù)37.5×0.02+42.5×0.1+47.5×0.22+52.5×0.34+57.5×0.23+62.5×0.05+67.5×0.04=52.35,新網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差=(37.5-52.35)2×0.02+(42.5-52.35)2×0.1+(47.5-52.35)2×0.22+(52.5-52.35)2×0.34+(57.5-52.35)2×0.23+(62.5-52.35)2×0.05+(67.5-52.35)2×0.04=39.7275。因為＜＜,所以新網(wǎng)箱產(chǎn)量的平均數(shù)的估計值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量的平均數(shù)的估計值,新網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計值低于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計值,①錯誤,③正確。舊養(yǎng)殖法中,前4組的頻率之和為(0.012+0.014+0.024+0.034)×5=0.42,第5組的頻率為0.04×5=0.2,因此舊網(wǎng)箱產(chǎn)量的中位數(shù)在第5組[45,50]之間。新養(yǎng)殖法中,前3組的頻率之和為(0.004+0.02+0.044)×5=0.34,第4組的頻率為0.068×5=0.34,因此新網(wǎng)箱產(chǎn)量的中位數(shù)在第4組[50,55]之間。所以新網(wǎng)箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值,②正確。舊網(wǎng)箱頻率最高組的總產(chǎn)量的估計值為47.5×100×0.2=950,新網(wǎng)箱頻率最高組的總產(chǎn)量的估計值為52.5×100×0.34=1785,所以新網(wǎng)箱頻率最高組的總產(chǎn)量的估計值接近舊網(wǎng)箱頻率最高組的總產(chǎn)量的估計值的兩倍,④正確。應選B。

評析：在頻率分布直方圖中,最高的矩形底邊中點的橫坐標為眾數(shù);中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積之和是相等的;平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,它等于頻率分布直方圖中每個矩形的面積乘以矩形底邊中點的橫坐標之和。