一類Wick-型隨機Gardner方程的精確解

吳大山，孫峪懷，杜玲禧

（四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,四川成都610066）

目前對于非線性偏微分方程的精確解的研究在學(xué)界已經(jīng)形成了一系列行之有效的方法,如tan函數(shù)展開法[1-2]、F-展開法[3].但是在實際應(yīng)用之中更多的是隨機現(xiàn)象, 所以在隨機環(huán)境之下研究隨機偏微分方程的精確解意義重大.荷蘭數(shù)學(xué)家Kotreweg和他的學(xué)生De Vries 在1895 年研究淺水波運動時, 建立了著名的淺水波方程并使用直接積分法求出淺水波方程[4-6]的孤立波解.淺水波一般形式為：

方程（1）稱為Kotreweg-DeVries（KdV）方程.1967年Gardner通過逆散射方法[7-9]求出了KdV方程的孤立波解.對于Gardner方程,其一般形式如下：

其中a(t),b(t),d(t),f(t),h(t)是關(guān)于時間t的函數(shù).文獻(xiàn)[10-12]也給出了Gardner方程的各種精確解.

文獻(xiàn)[13]給出了一類隨機KdV方程

在Kondratiev 分布空間S(-1)上的Wick 乘積對應(yīng)的Wick-型隨機KdV方程

的精確解. Waditi 通過反散射方法求出非線性隨機KdV 方程的精確解, 并建立了帶隨機擾動偏微分方程的理論基礎(chǔ). Holden 引入了白噪聲分析方法, 提出了Wick 型隨機偏微分方程[14-15], 在此基礎(chǔ)之上,Chen和Kim分別研究了隨機Kadomtsev-Petviashvili（MKP）方程和變系數(shù)廣義隨機Boussinesq方程.

本文運用Hermit變換和函數(shù)展開法[16-17]研究方程（2）在Kondratiev 分布空間S(-1)上的Wick 乘積之下對應(yīng)的Wick-型隨機Gardner方程

的精確解. 式中?是Kondratiev 分布空間上的Wick乘積, 是定義在S(-1)的白噪聲泛函, 且A0(t),A1(t), B0(t),B1(t),B2(t)均不等于零. Wick 型隨機Gardner 方程（5）常見于流體力學(xué)、等離子物理學(xué)和量子場論等領(lǐng)域, 是帶有隨機項和隨機系數(shù)的偏微分方程, 由于加入了隨機項, 求出的精確解是帶有白噪聲的泛函解, 也就是帶有隨機項的解. 因此,研究方程（5）具有重大的應(yīng)用意義.

1 預(yù)備知識

1.1 Wick-型乘積與Hermite變換

定義1[18]給定Φ ∈L2(u), 對于P ∈R,Sp：=Φ ∈L2(u), ‖ Φ＜+∞, 稱(S)1=?S-P為Kondratiev 測度空間函數(shù), u表示概率測度, Ca表示白噪聲泛函, (S)p是(S)-p的對偶, 稱S-1=?S-P為Kondratiev 分 布 空 間. 設(shè)F=aαHα) 和G=bβHβ)為給定Kondratiev 分布空間S-1中的兩個元, 且aα,bβ∈Rn, 則F 和G 的Wick 積 被 定 義 為:F ?G=aα,bβ)Hα+β，其 中Hα,Hβ為 白 噪 聲 函數(shù),(aα,bβ)為RN上的內(nèi)積.

定義2[18]當(dāng)F=(aαHα) ∈(S)-1, aα∈RN時, 定義F 的Hermite 變換F(z)=aαzα∈CN, 其中Z=(z1,z2,…)∈CN, zα=(…(…,|α|=|α1|+|α2|+…+|αn|+….

1.2 函數(shù)展開法

利用函數(shù)展開法求解非線性偏微分方程

的精確解,主要步驟如下：

步驟1:進(jìn)行行波變換

其中k,ω 為待定常數(shù), ξ0為任意常數(shù), 方程（3）就可轉(zhuǎn)化為只含行波變量ξ的常微分方程：

步驟2:假設(shè)方程（8）的解可表示為多項式形式:

其中G=G(ξ)滿足二階線性常微分方程

方程（9）和方程（10）中的a-m,…,a0,…,am,λ,μ為待定常數(shù).記u(ξ)的冪次為則最高階導(dǎo)數(shù)項和非線性項的次數(shù)分別為:

根據(jù)齊次平衡原則平衡（8）式中最高階導(dǎo)數(shù)項和非線性項.由方程（10）可知

步驟3: 將式（9）代入式（8）, 運用式（10）和式（9）合并相同冪次項, 方程（8）左端就變成一個多項式, 令該多項式的各階冪次的系數(shù)為零, 導(dǎo)出關(guān)于ai(i=-m,…,0,…,m),k,ω,λ,μ的代數(shù)方程.

步驟4: 求解步驟3 中建立的含ai(i=-m,…,0,…,m),k,ω,λ,μ 的代數(shù)方程, 解方程（10）,聯(lián)立式（8）-（11）,即可獲得方程（5）的行波解.

解常微分方程（10）得到通解G(ξ), 則可得到( G"(ξ)/G(ξ) ),其對應(yīng)有以下三種形式：

1.3 求解Wick型隨機偏微分方程的步驟

對于Wick型隨機偏微分方程

通過Hermite 變換, 由Wick 乘積變?yōu)槠胀ㄒ饬x下的乘積

其中u?是u 的Hermite 變換. 方程（14）通過Hermite變換得到隨機偏微分方程

其中Z1,Z2…為復(fù)數(shù). 通過函數(shù)展開法可找到式（12）的解.

引理1[19]假設(shè)存在有界開集,G ∈(R×R+)及 q ＞0, r ＞0，且 假 定 u(t,x,z),ut(t,x,z),ux(t,x,z)及uxxt(t,x,z)對(t,x,z)∈G×( )kq(r)一致有界, 對(t,x)∈G 連續(xù), z ∈kq(r). 由文獻(xiàn)[19]可 知, 存 在 U(t,x)∈S(-1)使 得 u(t,x,z)=u?(t,x)(z), 其中U(t,x)是對應(yīng)方程在空間S-1上的強解.

根據(jù)引理1的條件,使用Hermite變換的逆變換可得式（10）的精確解.

2 一類Wick-型變系數(shù)隨機Gardner 方程的精確解實例

對于Wick-型變系數(shù)隨機混合Gardner 方程（5）,利用Hermite變換由Wick型乘積化為普通乘積的形式為所對應(yīng)的偏微分方程:

其中A0(t),A1(t),B0(t),B1(t),B2(t)都是關(guān)于t 的函數(shù).

為簡便,記A0(t)=a(t),A1(t)=b(t),B0(t)=d(t),B1(t)=f(t),B2(t)=h(t),則式（16）化為

其中a(t),b(t),d(t),f(t),h(t)是關(guān)于t 的函數(shù). 假設(shè)方程（17）具有的解的形式為

計算u"(ε),u2(ε),u"(ε), 將式（18）代入式（17）,合并i=0,1,2,3,4)的相同次冪次項系數(shù),并令各冪次項系數(shù)為零, 得到關(guān)于a0(t),a1(t),C(t),k(t)的不定方程組

求解方程組（19）, 由a(t),b(t),f(t),h(t)以及ε,λ,K,μ表示出a1(t),c(t),k(t)得：

其中k(t)=k,ε=±1,k,a,b是任意常數(shù).

將方程組的解式（20）帶入到式（12）, 分類討論從而得到方程（17）的精確解:

情況一: 當(dāng)λ2-4μ=0 時可得方程（17）對應(yīng)的有理函數(shù)解為:

情況二: 當(dāng)λ2-4μ ＜0 時, 可得方程（17）對應(yīng)的有三角函數(shù)解為:

情況三: 當(dāng)λ2-4μ ＞0 時, 可得方程（17）對應(yīng)的有雙曲函數(shù)解為:

令u(t,x,z)為u(ε)的Hermite 逆變換, 由引理1可知:

①式（21）對應(yīng)的方程（3）的有理白噪聲泛函解為:

②式（22）對應(yīng)的方程（3）的三角白噪聲泛函解為：

③式（23）對應(yīng)的方程（3）的雙曲白噪聲泛函解為:

3 結(jié)語

本文利用Hermit 變換將Wick 型隨機Gardner方程轉(zhuǎn)化為偏微分方程, 同時利用函數(shù)展開法, 給出了有理函數(shù)解、三角函數(shù)解和雙曲函數(shù)解,然后利用Hermit 變換的逆變換將這些解轉(zhuǎn)化為Wick 型隨機Gardner 方程的對應(yīng)的泛函白噪聲解. 對于隨機方程（5）得到的解（24）（25）（26）,到目前為止在其他文獻(xiàn)之中還未曾出現(xiàn)過.下一步的工作可以繼續(xù)使用這種方法研究其它Wick-型隨機分?jǐn)?shù)階方程或方程組的精確解.