數(shù)形結(jié)合在小學數(shù)學教學中的應(yīng)用

摘?要：數(shù)形結(jié)合的思想是小學數(shù)學學習中一種重要的思想方法和理解數(shù)學、學好數(shù)學的有效手段。數(shù)形結(jié)合的兩個要點是“以形示數(shù)”和“由形到數(shù)”，通過這兩個要點達到數(shù)形結(jié)合的目的，為小學生的解決數(shù)學問題、形成數(shù)學意識、發(fā)展數(shù)學思維而服務(wù)，從而產(chǎn)生長期穩(wěn)固的作用于學生的數(shù)學學習生涯，使抽象的問題具體化、復(fù)雜的問題簡單化，從而達到提高學生數(shù)學素養(yǎng)和高效數(shù)學學習的目的。

關(guān)鍵詞：小學數(shù)學;數(shù)形結(jié)合;以形示數(shù);由形到數(shù)

一、 前言

小學是一個人認知世界的第一個正式、法定的階段，也是開始系統(tǒng)學習數(shù)學階段。在2001年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》中，提出“學生能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識以及基本的數(shù)學思想方法和必要的應(yīng)用技能?！?011年出臺的《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》在總目標中提出“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學學習，學生能獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗?！钡捎谛W生的思維深度存在一定的局限性，因此，利用“數(shù)”與“形”的優(yōu)勢互補，使學生改變關(guān)注問題的表述和形式轉(zhuǎn)向問題的內(nèi)在含義，從而實現(xiàn)了抽象與形象思維的有機結(jié)合。

數(shù)形結(jié)合的兩個要點是“以形示數(shù)”和“由形到數(shù)”?！耙孕问緮?shù)”是用簡單的圖形表示數(shù)字問題，“由形到數(shù)”是推廣問題，使用純數(shù)學表達。數(shù)形結(jié)合思想具有的教育價值：一是促進了小學生對于數(shù)學知識的學習，二是發(fā)展小學生解決實際數(shù)學問題的能力，三是促進了學生觀察能力、直覺思維、形象思維、創(chuàng)造性思維等多種能力的提升。

二、 數(shù)形結(jié)合教學的理論依據(jù)

數(shù)學來源于生活同時應(yīng)用于生活，因此數(shù)學學習的目的是為了解決生活中的實際問題。如果讓小學生只進行單純“數(shù)學”知識的學習而完全脫離實際，既背離了數(shù)學學習的初衷，也會讓數(shù)學學習變得晦澀、枯燥甚至是乏味。同樣只是利用“圖形”的方法去解決數(shù)學問題，而沒有用理論去抽象和拔高相應(yīng)的理論，也無法使學生完全掌握相應(yīng)的知識，更無法在實際生活中對數(shù)學的應(yīng)用做到順手拈來。

故數(shù)學教學必需要做到兩個層次——“以形示數(shù)”和“由形到數(shù)”。第一個層次是“以形示數(shù)”，用“形”來助力解決“數(shù)”，借助形，認識數(shù)、運算數(shù)、整理數(shù)。發(fā)現(xiàn)數(shù)的規(guī)律，理清數(shù)量關(guān)系，解決數(shù)的問題，使得理論知識做到有的放矢，做到數(shù)學應(yīng)用到生活的具體方面。第二個層次是“由形到數(shù)”，運用數(shù)學符號和數(shù)學語言，使得相應(yīng)的應(yīng)用擴寬。從而認識和測量圖形，進而生動描述圖形的位置和運動過程，促進空間觀念形成，使得具體問題在理論上的推廣，服務(wù)于更多方面，激發(fā)學生的學習樂趣與激情。

三、 數(shù)形結(jié)合的幾個例子

（一） 兩位數(shù)乘法問題

三年級人教版對兩位數(shù)乘兩位數(shù)的標準數(shù)學解法是列豎式計算法。例如23乘以26，國內(nèi)教學的解法通常是運用列豎式計算，可以算出結(jié)果是598。（具體運算如圖1.1）。而國外有一種解法是通過畫線法，分別畫出2，3，2，6的四組線，分別表示2、3和2、6，然后將它們的交叉點分為三個部分，分別代表個位、十位、百位，清點各部分交點的數(shù)目后進行累加，便能得到最后的答案為598。（具體運算如圖1，2）。

國外的這種乘法解法相較于國內(nèi)的列豎式計算解法而言有兩個優(yōu)點：一是學生不需要背誦九九乘法表;二是僅需要了解多位數(shù)加法的運算?？梢园l(fā)現(xiàn)，運用畫線法，只需要掌握簡單的基本知識，小學生就能夠輕松地解出23乘以26這類較為復(fù)雜的計算題。

（二） 奇數(shù)數(shù)列求和問題

舉一個奇數(shù)數(shù)列相加求和的例子，例如計算1+3+5+7+9+11+13，這個數(shù)列的和。面對該類問題時，由于小學生尚未涉及數(shù)列的相關(guān)知識，教師在教學時可以通過數(shù)形結(jié)合的方式來提點，即以小球表示數(shù)字，再將小球依數(shù)列規(guī)律擺放成正方形，最后利用正方形的面積等于邊長的平方這一定理，巧妙地將計算題轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形，求出該數(shù)列的和。

（三） 集合問題

人教版小學數(shù)學三年級上冊中有關(guān)于集合的例題：已知參加跳繩比賽的同學有楊明、陳東、劉紅、李芳、王愛華、馬超、丁旭、趙軍、徐強，參加踢毽比賽的同學有劉紅、于麗、周曉、楊明、朱小東、李芳、陶偉、盧強，請問參加這兩項比賽的共有多少人？解決該問題時，小學生容易被復(fù)雜的信息量所困擾，解題時往往會直接累加來得到結(jié)果。因此可以通過繪制韋恩圖的方式，清楚地觀察出重復(fù)的學生數(shù)，使學生能夠直觀地理解重疊部分的意義并得知計算時要減去重復(fù)的學生的個數(shù)，進而得出參加兩項比賽的總?cè)藬?shù)。

（四） 植樹問題

植樹問題對小學生而言是十分抽象的，“兩端都栽”“只栽一端”“兩端都不栽”這幾種植樹的方式常常讓小學生暈頭轉(zhuǎn)向，分不清要用哪個計算公式，導(dǎo)致結(jié)果的錯誤。而通過直觀的“畫線段圖”的方式可以讓學生直觀地明晰題意。例如：同學們要在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（只栽一端），一共要栽多少棵樹？可引導(dǎo)學生通過畫線段圖的方式作答，畫一段來代表20米的線段，再等比例地在原線段上標出代表5米的線段，便能直觀地得出答案，即可得到要栽樹的數(shù)目。

四、 “以形示數(shù)”的意義

對于小學生而言，單純講數(shù)學理論太過于抽象晦澀，難以理解;且如果數(shù)學里只有無窮的公式和算理算法，那么就太過于枯燥。通過“以形示數(shù)”的方式，可以讓學生通過觀察圖形、觸摸圖形、繪制圖形等活動，有效地參與到數(shù)學課堂中，全身心地進行愉悅的數(shù)學學習，進而充分激發(fā)起學生學習數(shù)學的興趣，產(chǎn)生學習熱情。此外，“以形示數(shù)”的方式將抽象的數(shù)學知識直接形象地展示在學生的眼前，將復(fù)雜問題簡單化，能夠有效地引導(dǎo)學生理解掌握知識，避免了煩瑣的記誦過程。在數(shù)與形的轉(zhuǎn)化過程中，也能起到培養(yǎng)鍛煉學生的抽象思維能力和邏輯思維能力的重要作用，為學生以后的數(shù)學學習生活打下堅實的基礎(chǔ)。

五、 “由形到數(shù)”的推廣

如果僅僅使用圖形來解決數(shù)學問題是快樂的，但也是煩瑣的。例如：畫線法計算乘法結(jié)果，需要耗費很多時間畫線與清點交叉點。圖形法解奇數(shù)數(shù)列求和問題需要畫足夠多的圓圈來求解得到結(jié)果。同時隨著問題中的人數(shù)、物體的數(shù)目等信息量逐漸增多，通過具體的圖形來解決問題也變得越來越復(fù)雜，顯得浪費時間，并不符合解決數(shù)學題目的實際需求。這時候教師就需要將教學的精力集中于“由形到數(shù)”的轉(zhuǎn)換。那么如何完成“由形到數(shù)”的推廣呢？

首先，讓學生明確圖形方法的局限，知形不足。要讓學生明白總是依賴圖形解決問題并不適用于所有情況，了解使用數(shù)學中的公式、定理解決數(shù)學問題的必要性?！耙孕问緮?shù)”一般來說有幾個不足：一是解題需要繪制大量圖形，浪費了大量的時間、精力;二是解題的正確性也依賴于學生的繪圖能力，如果繪圖過程中出現(xiàn)偏差，很可能得不到正確的答案;三是即使畫出正確的圖形，計數(shù)的過程也是煩瑣的。如畫線法計算乘法結(jié)果，如果交點過多，學生在計算的過程中很容易產(chǎn)生混亂。這些不足也反映出“由形到數(shù)”的必要性。但對于孩子們來說，可能它們很難理解其中的不足，因此在教學中首先要強調(diào)繪圖法的局限性，通過實例讓學生切身體會到繪圖法的缺陷，從而激發(fā)學生進行“由形到數(shù)”學習過程的心理。例如《植樹問題》這一課時，若要在全長為100米的小路邊植樹，通過畫部分線段圖的方法，讓學生明白此方法會十分浪費時間，操作起來過于煩瑣。借此引出“復(fù)雜問題簡單化，探索規(guī)律”的解決問題的方法，推動學生“由形到數(shù)”。

其次，引導(dǎo)學生仔細觀察具體的圖形，由形悟數(shù)。小學生的思維正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，直觀的“形”對于他們而言是充滿樂趣的而且是可以理解的。通過認真觀察具體的圖形，他們可以慢慢從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)規(guī)律，從而完成“由形到數(shù)”的推廣。例如在《集合問題》中，通過觀察韋恩圖，學生能夠明白“重復(fù)”的意思，摸索出在解決此類問題的時候需要將重復(fù)的數(shù)量排除的數(shù)學規(guī)律。在《植樹問題》中，通過觀察線段圖，學生能夠明白在不同的情況下都需要先計算出間隔數(shù)，然后在此基礎(chǔ)上根據(jù)實際的情況進行加減1，進而得到所需要的樹苗數(shù)。除此之外，復(fù)雜的行程問題、雞兔同籠問題等都可以通過觀察具體的“形”，悟出“數(shù)”的規(guī)律。

六、 總結(jié)

綜上，數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的思想方法將貫穿于整個小學數(shù)學學習過程中。巧妙地將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來，通過“由形示數(shù)”和“由形到數(shù)”兩個環(huán)節(jié)，讓直觀的圖形與奧妙的數(shù)學和諧相融，幫助學生建立數(shù)學的概念，理解相關(guān)的理論，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的思維，使得學生能夠更加高效、順利地進行數(shù)學學習，奠定持續(xù)學習數(shù)學的基礎(chǔ)。

參考文獻：

[1]教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）[M].北京：北京師范大學出版社，2001.

[2]教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]汪渭芳.“數(shù)形結(jié)合”天地寬——數(shù)形結(jié)合思想在小學數(shù)學教學中的滲透與應(yīng)用[J].小學教學參考，2010（17）：30-31.

[4]鄒貴德.淺議小學數(shù)學教學中“數(shù)形結(jié)合”思想的運用[J].讀與寫（教育教學刊），2015，12（12）：74.

作者簡介：

鄭廣成，福建省廈門市，福建福州教育學院附屬第三小學。