數(shù)學(xué)理解：在師生的有效對(duì)話中綻放精彩*

☉北京理工大學(xué)附屬中學(xué) 何拓程

以學(xué)生為主體，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展是新課改的重要理念，高中數(shù)學(xué)的新課程教學(xué)，倡導(dǎo)師生互動(dòng)、合作交流的教學(xué)方式，課堂中師生的有效對(duì)話受到了老師們的高度關(guān)注，成為了一個(gè)熱門話題.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與理解緊密聯(lián)系，理解體現(xiàn)著學(xué)習(xí)的內(nèi)涵，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果又反映了理解的程度.促進(jìn)學(xué)生理解是數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)特性，數(shù)學(xué)教學(xué)中的矛盾和活動(dòng)均是以學(xué)生理解知識(shí)為中心構(gòu)建，并借助外顯的行為表現(xiàn)的.由于數(shù)學(xué)是一門思維科學(xué)，因此數(shù)學(xué)教學(xué)是思維活動(dòng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)課堂是動(dòng)態(tài)的思維場(chǎng)，通過(guò)對(duì)話能促進(jìn)師生、生生之間的思維交流，數(shù)學(xué)課堂也因?yàn)閷?duì)話變得更加生動(dòng)活潑而富有靈氣.這無(wú)疑是數(shù)學(xué)理解的過(guò)程.［1］著名的教育家葉瀾教授說(shuō)過(guò)：教學(xué)的本質(zhì)意義是交往與對(duì)話.通過(guò)對(duì)話，師生的心靈距離才能拉近；通過(guò)對(duì)話，教師才能實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生真正有效的引導(dǎo)；通過(guò)對(duì)話，學(xué)生的個(gè)性才會(huì)有彰顯的平臺(tái)……因此，數(shù)學(xué)理解只有在師生的有效對(duì)話中才能綻放精彩.

一、在師生的有效對(duì)話中營(yíng)造氛圍啟動(dòng)探究

蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：“老師應(yīng)該想辦法使學(xué)生產(chǎn)生高昂的情緒，否則腦力勞動(dòng)就會(huì)帶來(lái)疲倦.沒有歡欣鼓舞的心情，沒有學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)也就成了負(fù)擔(dān).”因此，每一堂課都要注意調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣，開拓學(xué)生的思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，并借助于情感傳導(dǎo)，把學(xué)生引到無(wú)比瑰麗的知識(shí)世界.教師要善于運(yùn)用多種方法創(chuàng)設(shè)情境、營(yíng)造氛圍，讓師生共同融入到和諧的情境之中，以激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望，敢于說(shuō)出自己的想法，樂于表達(dá)自己的心聲，讓探究學(xué)習(xí)活動(dòng)在師生的有效對(duì)話中自然、順暢地展開，從而使數(shù)學(xué)理解有一個(gè)美麗的開端.

案例1“三角函數(shù)的周期性”一課的教學(xué)片斷

師（觀看教室前面墻壁上貼的“課程表”，故意發(fā)出驚訝的聲音）：一學(xué)期有二十多周，一百五十多天，為什么這個(gè)“課程表”只列出了五天的課程？

生1：從星期一到星期五，每周的課程都是一樣的，即重復(fù)出現(xiàn)，所以只要列出星期一到星期五這五天的課程表，就可以知道這學(xué)期每一天的課程了.

師：很好！大家說(shuō)，這種規(guī)律反映的是一個(gè)怎樣的現(xiàn)象？

生（眾）：周期現(xiàn)象.

師：在我們的經(jīng)驗(yàn)中，此類現(xiàn)象多嗎？

生2：很多啊，除“課程表”外，還有日出日落、月圓月缺、潮漲潮落、寒來(lái)暑往，等等，都呈現(xiàn)出這種周期性.

師：生2說(shuō)得太好了，在自然界和我們的日常生活中，周期現(xiàn)象是大量存在的，那么，在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大家有接觸過(guò)周期現(xiàn)象嗎？

生3：有！正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的函數(shù)值都是會(huì)重復(fù)出現(xiàn)的，它們都具有周期性.

師：非常好！正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都具有周期性，稱之為周期函數(shù).這節(jié)課，我們就來(lái)研究三角函數(shù)的周期性.你們知道，什么叫函數(shù)的周期性嗎？怎樣的函數(shù)叫周期函數(shù)呢？

生4：函數(shù)值能重復(fù)出現(xiàn)的函數(shù)叫周期函數(shù).

師：能把它作為周期函數(shù)的定義嗎？

生（眾）：這只是粗略的文字語(yǔ)言，表述不夠精確.

師：先來(lái)看正弦函數(shù)f（x）=sinx，因?yàn)閒（x+2π）=sin（x+2π）=sinx=f（x），所以當(dāng)自變量x每增加2π時(shí)，正弦函數(shù)的函數(shù)值就會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，因此正弦函數(shù)是周期函數(shù)，周期是2π.你能仿照上面的過(guò)程對(duì)余弦函數(shù)是周期函數(shù)來(lái)加以說(shuō)明嗎？

生5：余弦函數(shù)f（x）=cosx，因?yàn)閒（x+2π）=cos（x+2π）=cosx=f（x），所以當(dāng)自變量x每增加2π時(shí)，余弦函數(shù)的函數(shù)值就會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，因此余弦函數(shù)是周期函數(shù)，周期是2π.

師：很好，下面我們就來(lái)研究三角函數(shù)的周期性（板書課題）.

……

數(shù)學(xué)理解并非空中樓閣，它是數(shù)學(xué)教學(xué)真正的核心目標(biāo).在教學(xué)活動(dòng)中，所有教師都以自己的方式努力構(gòu)建起學(xué)生的理解，而不僅僅是信息的獲得和事實(shí)的記憶.因此，有效對(duì)話必須建立在學(xué)生現(xiàn)實(shí)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)和理解能力上，教師需要充分認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，并以此為基點(diǎn)設(shè)計(jì)情境對(duì)話.教師的職能不僅僅是傳遞和訓(xùn)導(dǎo)，而是要更多地去激勵(lì)與幫助；師生之間的關(guān)系不僅是以知識(shí)傳遞為紐帶，更是以情感交流為紐帶；教師的作用不再是去填滿倉(cāng)庫(kù)，而是要點(diǎn)燃火炬.學(xué)生學(xué)習(xí)的靈感既要在靜如止水的深思中產(chǎn)生，更要在寬松的情景中、積極的發(fā)言中和相互的辯論中突然閃現(xiàn).在上述案例中，執(zhí)教者以一個(gè)學(xué)生非常熟悉的“課程表”作為問題情境展開教學(xué)對(duì)話，通過(guò)師生的對(duì)話幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自然界中大量存在的周期現(xiàn)象，自然流暢地過(guò)渡到將要學(xué)習(xí)的周期函數(shù)，進(jìn)而提出研究函數(shù)的周期性這一話題，把學(xué)生帶進(jìn)函數(shù)周期性的探究活動(dòng)中來(lái)，有效地調(diào)動(dòng)了學(xué)生課堂參與的熱情，為學(xué)生的探究學(xué)習(xí)營(yíng)造出輕松愉悅、自然和諧的氛圍，從而開啟了數(shù)學(xué)理解之門.

二、在師生的有效對(duì)話中經(jīng)歷過(guò)程完善認(rèn)知

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)不是知識(shí)由外到內(nèi)的簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)移，而是通過(guò)新經(jīng)驗(yàn)與原有生活知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的相互作用來(lái)充實(shí)、豐富和改造自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)理解正是基于這樣的認(rèn)識(shí)，通過(guò)對(duì)話教學(xué)進(jìn)行信息的交流互動(dòng)，使知識(shí)增值、價(jià)值提升，從而建構(gòu)出新的理解.因此，為使教學(xué)真正有效，就必須給學(xué)生充足的思考和對(duì)話的時(shí)間，讓學(xué)生在師生的有效對(duì)話中經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，建構(gòu)起對(duì)新知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解，使他們成為課堂學(xué)習(xí)的主人.從而使學(xué)生在有效對(duì)話的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的積淀、人文的浸潤(rùn)、智慧的構(gòu)筑和心靈的溝通.同時(shí)也達(dá)到增進(jìn)數(shù)學(xué)理解的目的.

案例2“直線的斜率”一課的教學(xué)片斷

師：同學(xué)們研究過(guò)直線嗎？

生（眾）：在初中平面幾何中學(xué)習(xí)過(guò)直線，還有一次函數(shù)y=kx+b的圖象是直線.

師：很好！直線是大家熟悉的圖形，請(qǐng)思考：確定一條直線需要哪些條件？

生1：兩點(diǎn)確定一條直線.

師：還有其他確定直線的方法嗎？小時(shí)侯玩過(guò)蹺蹺板游戲吧？

生2：噢，我知道了，一個(gè)點(diǎn)和直線的方向也能確定一條直線.

師：點(diǎn)可以用它的坐標(biāo)來(lái)表示，那么方向用什么刻畫呢？大家見過(guò)斜拉橋，其拉索可以看成是一條條方向不同的直線，對(duì)于橋面而言，它們的傾斜程度不同.那么，怎樣來(lái)刻畫直線的傾斜程度呢？

學(xué)生討論，總結(jié)出傾斜程度和高度與寬度的比即坡度有關(guān).

師：如果任意給出一條直線，你能判斷出它的傾斜程度嗎？以直線AB為例，已知兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），你能用它們的坐標(biāo)來(lái)刻畫其傾斜程度嗎？

生3：x1=x2時(shí)怎么辦呢？點(diǎn)A和點(diǎn)B是隨意取的嗎？

師：生3提出了兩個(gè)很有思考價(jià)值的問題，同學(xué)們思考一下該怎樣解決這兩個(gè)問題呢？

生4：當(dāng)x1=x2時(shí)，上面的式子無(wú)意義，這表明：直線與x軸垂直時(shí)，其斜率不存在.

師：很好，也就是說(shuō)，只有當(dāng)x1≠x2時(shí)，即直線不與x軸垂直時(shí)，其斜率才存在.對(duì)生3的第二個(gè)問題，應(yīng)該怎么解決呢？

生5：如果把A、B兩點(diǎn)沿直線方向分別移動(dòng)到A1和B1點(diǎn)，那么由A1、B1兩點(diǎn)確定的直線斜率沒有發(fā)生變化，這說(shuō)明點(diǎn)A和點(diǎn)B可以隨意取.

師：很好，現(xiàn)在同學(xué)們能給出直線斜率的定義嗎？

……

數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系十分緊密，任何新知識(shí)都因某種需要而產(chǎn)生，或者是在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸和擴(kuò)展，所以都有著發(fā)生、形成和發(fā)展的過(guò)程.如果壓縮掉這一過(guò)程，就知識(shí)教知識(shí)，那么學(xué)生只能學(xué)到零散、孤立的知識(shí)，只能知其然而不能知其所以然，只能完成知識(shí)的簡(jiǎn)單積累，而不能使原有的知識(shí)得到擴(kuò)充和改造，以實(shí)現(xiàn)對(duì)新知識(shí)的有效建構(gòu)和深層理解.［2］本案例中，執(zhí)教者精心設(shè)計(jì)了一系列問題，從確定直線的條件、直線的方向與直線的傾斜程度的關(guān)系、用坡度刻畫直線的傾斜程度等入手，運(yùn)用師生對(duì)話的方式，讓學(xué)生在師生的平等交流和愉快對(duì)話中經(jīng)歷了直線斜率概念的形成過(guò)程，在直線的斜率與相關(guān)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)上建構(gòu)起對(duì)直線斜率概念的認(rèn)識(shí)，深化了對(duì)直線斜率概念的理解，完善了認(rèn)知，取得了數(shù)學(xué)理解的效果.

三、在師生的有效對(duì)話中探索規(guī)律啟迪思維

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）中指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展的過(guò)程.”［3］對(duì)學(xué)生而言，對(duì)話意味著心態(tài)的開放、主體性的凸現(xiàn)以及創(chuàng)造性的解放；對(duì)教師而言，對(duì)話意味著上課不僅要傳授知識(shí)，而且要分享理解；對(duì)教學(xué)而言，對(duì)話意味著參與，即學(xué)生、數(shù)學(xué)教材、教師之間進(jìn)行一次次真情地交流.數(shù)學(xué)理解的過(guò)程正是學(xué)生的心理矛盾和問題意識(shí)產(chǎn)生和解決的過(guò)程.啟發(fā)學(xué)生大膽質(zhì)疑、認(rèn)真思考、積極探索，讓學(xué)生探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、發(fā)表見解，使學(xué)生在對(duì)話的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)思維碰撞，并學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，完成對(duì)知識(shí)、思想和方法的領(lǐng)悟與理解，從而更好地促進(jìn)學(xué)生的技能提升和思維發(fā)展.

案例3“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”一課的教學(xué)片斷

師：在古印度，有個(gè)名叫西薩的人，發(fā)明了國(guó)際象棋，當(dāng)時(shí)的印度國(guó)王大為贊賞，對(duì)他說(shuō)：我可以滿足你的任何要求.西薩說(shuō)：請(qǐng)給我棋盤的64個(gè)方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格.國(guó)王令宮廷數(shù)學(xué)家計(jì)算，結(jié)果出來(lái)后，國(guó)王大吃一驚.為什么呢？

師：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生寫出麥粒的總數(shù)：1+2+22+23+…+263.

師：你們知道這些麥子究竟有多少嗎？

（帶著這樣的問題，學(xué)生會(huì)動(dòng)手算起來(lái)，他們想到用計(jì)算器依次算出各項(xiàng)的值，然后再求和.教師對(duì)他們的思路給予肯定后，接著提問.）

師：1，2，22，23，…，263是什么數(shù)列？有何特征？應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢？

生1：是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，要求的就是這個(gè)等比數(shù)列的前64項(xiàng)的和.

師：很好！設(shè)S64=1+2+22+23+…+263，記為（1）式，注意觀察每一項(xiàng)的特征，有何聯(lián)系？

生2：后一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍.

師：如果我們把每一項(xiàng)都乘以2，就變成了它的后一項(xiàng)，即（1）式兩邊同乘以2，則有2S64=2+22+23+…+263+264，記為（2）式.比較（1）、（2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（經(jīng)過(guò)比較、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式中有許多相同的項(xiàng)，把兩式相減，相同的項(xiàng)就消去了，得到：S64=264-1.）

師：這種方法叫做錯(cuò)位相減法.為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？

生3：2是公比，乘以2后可以消去中間項(xiàng).

師：非常好！我們能否將這個(gè)問題一般化呢？

生4：可以的.設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，運(yùn)用上面的方法，可以求出前n項(xiàng)和Sn.

師：怎么求？試試看.

（這里，讓學(xué)生自主完成，并喊一名學(xué)生上黑板進(jìn)行板書，然后對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo).在學(xué)生推導(dǎo)完成后，進(jìn)行交流.）

對(duì)不對(duì)？這里的q能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？q=1時(shí)是什么數(shù)列？此時(shí)Sn為多少？

（引導(dǎo)學(xué)生對(duì)q進(jìn)行分類討論，得出公式，同時(shí)為后面的例題教學(xué)打下基礎(chǔ).）

……

在推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的教學(xué)過(guò)程中，不少老師舍不得花時(shí)間讓學(xué)生思考和交流，只是急急忙忙地拋出“錯(cuò)位相減法”，快速地推導(dǎo)出公式，然后進(jìn)行大量的有關(guān)公式的應(yīng)用訓(xùn)練，這樣做有悖于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：由求和想到相加，這是合乎邏輯、順理成章的事，為什么要相減呢？因?yàn)閿?shù)學(xué)理解是在對(duì)研究對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系深刻了解的基礎(chǔ)上得到的解決問題的具體方法，這些方法不是老師告訴學(xué)生的，而是要讓學(xué)生自己體會(huì)出來(lái)的.上述案例的教學(xué)處理，教師營(yíng)造了一個(gè)讓學(xué)生主動(dòng)觀察、積極思考的氛圍，留出了足夠的時(shí)間給學(xué)生探索，讓學(xué)生交流，同時(shí)，教師從學(xué)生的思維角度預(yù)設(shè)出相應(yīng)的問題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生在思考中形成認(rèn)識(shí)、產(chǎn)生頓悟，在師生的合作交流中明確規(guī)律，獲取方法.在這里，師生的有效對(duì)話引領(lǐng)了學(xué)生的思考，激發(fā)了學(xué)生的熱情，啟迪了學(xué)生的思維，從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)理解.