分類討論思想在初中數(shù)學解題教學中的有效運用

摘 要：初中數(shù)學教學是初中階段教學科目中的重要組成部分，學生通過學習數(shù)學知識，可以不斷增強自主思考的能力，學生的創(chuàng)新能力也會得到相應的強化。但是，初中數(shù)學的知識有難度、抽象性較強，很多學生即便在課堂中認真學習，在課后解題時，也會遇到較多的困難。對于初中數(shù)學解題教學，教師如果無法選擇科學的教學思想，就無法應用高效的教學方法，這樣就無法保證解題教學的質量。

關鍵詞：分類討論思想;初中數(shù)學;解題

中圖分類號：G427文獻標識碼：A? 文章編號：2095-624X（2019）39-0033-02

引言

初中數(shù)學解題教學主要是針對學生在學習數(shù)學過程當中遇到的疑難問題進行分析、講解，在幫助學生解決問題的同時，增強學生學習數(shù)學的能力。在初中數(shù)學解題教學當中，分類討論思想是一種常用也較為重要的教學思想，更是一種高效的解題方式。分類討論思想可以將初中數(shù)學中的難點知識化整為零、積零為整，也能幫助學生掌握初中數(shù)學學習中問題的內在規(guī)律，并掌握相應的解題方法，做到舉一反三和“以不變應萬變”，最終提高解題教學的質量[1]。

一、在應用題解題中的應用

應用題是初中數(shù)學教學當中的重點內容之一，但是很多應用題的難度較大，且題目很靈活，很多學生在解應用題的過程當中就會出現(xiàn)一些無法順利解決的問題。而教師在進行應用題解題教學的時候，就可以積極應用分類討論的思想。

如有一道數(shù)學應用題：一家家具廠主要生產(chǎn)的產(chǎn)品是椅子和桌子，一把椅子的市場價格為40元，一張桌子的市場價格為200元，家具廠為了提高這個月的銷售額，現(xiàn)在為消費者推出了兩種不同的購買方案。第一種方案是消費者買一張桌子，廠家贈送一把椅子;第二種方案是椅子、桌子的銷售價都按照定價的90%進行打折銷售，消費者在購買的時候不能同時選擇兩種方案。如果一個消費者想要購買20張桌子和若干把椅子，那么他需要選擇什么樣的購買方式才最為劃算？

在解這道應用題的時候，由于題目當中沒有直接給出這位消費者需要購買多少把椅子，所以，在選擇購買方案的時候難度較大，筆者在為學生進行示范解題的時候，選擇了分類討論的思想，具體解決方法如下：假設這名消費者所要購買的椅子為x把，第一種方案就是200×20+（x-20）×40，結果就是3200+40x元，那么第二種方案就是（40x+200×20）×90%，結果就是3600+36x元，這時我們可以將y設定為3200+40x元減掉3600+36x元。如果y>0，那么4x-400>0，即為x>100，所以第二種購買方案更為劃算。而如果y的值為0，那么兩種方案的結果是一樣的。而如果y<0，那么4x-400<0，x的取值就在20和100之間，這時選擇廠家提出的第一種購買方案更為劃算。也就是說，如果這名消費者要買的椅子多于20把但是少于100把，可以選擇第一種方案，而如果所要購買的椅子超過100把，則可以選擇第二種方案。

二、在不等式解題中的應用

不等式問題是初中數(shù)學解題教學中的關鍵問題之一，目前也是分類討論思想應用得最為廣泛的問題類型之一。例如，在不等式解題教學當中，很多學生在解不等式（h-1）x>h2-1的時候，如果沒有對不等式進行合理的區(qū)分，就會得出h+10，也可以是h-1=0。因此，當分類情況出現(xiàn)不同的時候，結果也會產(chǎn)生相應的差異。筆者在指導學生解這道不等式的時候，會按照如下方法進行解題。

當h-1>0的時候，也就是h>1，這時h+1就會小于x，而當h-1=0的時候，也就是h=1，這道不等式就是無解。而當h-1<0的時候，也就是h<1，這時h+1就會大于x。從這樣的結果可以看出，h>1的情況下，h-1x。

從這道不等式的解析當中我們可以看出，在解不等式問題的時候，分類討論思想的廣泛應用主要有兩點原因，第一個原因就是不等式的不定性特點十分明顯，這給學生的處理帶來了較大難度，而第二個原因就是不等式的變量很多。初中數(shù)學教師在幫助學生解題的時候，需要引導學生在不等式的解題中合理應用分類討論的思想，這樣可以幫助學生快速、準確地解題，也能讓解題的結果變得更加準確，降低學生的解題錯誤率。

三、在函數(shù)解題當中的應用

函數(shù)問題也是很多初中學生在數(shù)學解題當中最常遇到的難點之一，如下面這道函數(shù)問題：已知有關于x的函數(shù)y=ax2+x+1，其中a為常數(shù)，如果函數(shù)的圖像與x軸之間存在一個交點，那么常數(shù)a的值是多少。筆者在為學生分析這道函數(shù)問題的時候，會將函數(shù)分類為一次函數(shù)與二次函數(shù)。如果函數(shù)為一次函數(shù)，那么a的值為0，這時圖像與x軸的交點就是（-1，0）;如果函數(shù)為二次函數(shù)，那么常數(shù)a就不能是0，a為0.25的時候，這個交點就是（-2，0）。那么，從上面的結果就可以看出，常數(shù)a的值可能是0，也可能是0.25。

筆者在為學生講解這道函數(shù)題的時候，需要讓學生知道這道函數(shù)問題的考點是什么，了解這道題的難點就在于一次函數(shù)、二次函數(shù)之間的互相變換，并且讓學生認識到對其進行分類討論的必要性。由于這道函數(shù)問題當中的x2前變量值a不固定，也就是說，a可能是任何一個數(shù)值，學生在進行解題的時候，就需要首先對a的數(shù)值取值進行分類，當a=0的時候和a不等于0的時候，會有不同的討論結果。之后，筆者還會告訴學生，在找到a的具體取值范圍之后，需要對函數(shù)變換進行分析。應用分類討論思想可以讓函數(shù)問題變得更加直觀，也能夠幫助學生快速掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的相應特點，并形成關于函數(shù)的架構，進而快速、準確地解題。

四、在三角形問題中的應用

除了上面提到的函數(shù)、應用題等內容，三角形問題也是初中數(shù)學教學中的重點和難點，也是很多學生的困惑所在。在三角形問題的解題當中合理應用分類討論思想，可以幫助學生更快速地掌握三角形的解題方式，也能讓其正確認識到三角形的解題特點等。

例如，已知直角三角形的兩邊長分別為3cm和4cm，求直角三角形的第三邊長度。學生在進行解題的時候，需要合理應用分類討論思想，分別將4cm這條邊作為直角邊長或者作為斜邊長進行分析，這樣就可以求出直角三角形的第三邊長度可能是5cm，也可能是cm。

教師在指導學生進行分類討論思想的應用時，需要先確定分類討論的對象，之后才能進行分類，并且在分類討論的過程中一定要做到主次清晰，且不要出現(xiàn)遺漏或者疊加等情況。此外，教師還需要告訴學生，在應用分類討論思想解題時，還需要保證分類的相稱性，也就是說，分類的子項并集情況需要與母項的子集相一致。

結語

初中數(shù)學知識存在較多的難點，所以很多學生在處理習題的過程中就會出現(xiàn)一些問題，而隨著初中數(shù)學教學新課程改革工作的不斷深入推進，初中數(shù)學教學中，解題教學也成了教學的重要組成部分。初中數(shù)學教師在解題教學當中需要認識到分類討論思想的重要性，并且積極應用分類討論思想解決不同類型的問題，將這一解題思想與不同類型問題積極融合在一起。這樣才能不斷提高初中數(shù)學解題教學的質量，也能幫助學生盡快順利解題，提高其學習效率。

[參考文獻]

徐力平.關于解題教學中分類討論的若干問題[J].數(shù)學教學，1996（03）：32-34.

作者簡介：丁長生（1969.2—），男，江蘇射陽人，本科學歷，中學一級教師，從事初中數(shù)學教學研究。