暢談數(shù)學(xué)美

張程超

摘 要：本文主要從數(shù)學(xué)的語言美、簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、殘缺美、統(tǒng)一美、和諧美六方面來闡述，揭示數(shù)學(xué)不但有智育功能，也有美育功能。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)美；欣賞；教育

眾所周知，數(shù)學(xué)在我們的基礎(chǔ)教育中占有很大的份量，是我們的文化中極為重要的組成部分。她不但有智育的功能，也有其美育的功能。數(shù)學(xué)美深深地感染著人們的心靈，激起人們對(duì)她的欣賞。下面從幾個(gè)方面來欣賞數(shù)學(xué)美。

1 語言美

數(shù)學(xué)有著自身特有的語言———數(shù)學(xué)語言，其中包括：

1.1 數(shù)的語言——符號(hào)語言

關(guān)于“π”，《九章算術(shù)》里說：“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”；“√2”差點(diǎn)被無理的行為淹沒的無理數(shù)，還有sin?、∞等等，一個(gè)又一個(gè)數(shù)的語言，無不將數(shù)的完美與精致表現(xiàn)得淋漓盡致。

1.2 形的語言——視角語言

從形的角度來看——對(duì)稱性；比例性；和諧性；鮮明性和新穎性等等。

2 簡(jiǎn)潔美

愛因斯坦說過：“美，本質(zhì)上終究是簡(jiǎn)單性?！彼€認(rèn)為，只有借助數(shù)學(xué)，才能達(dá)到簡(jiǎn)單性的美學(xué)準(zhǔn)則。物理學(xué)家愛因斯坦的這種美學(xué)理論，在數(shù)學(xué)界，也被多數(shù)人所認(rèn)同。樸素，簡(jiǎn)單，是其外在形式。只有既樸實(shí)清秀，又底蘊(yùn)深厚，才稱得上至美。

歐拉給出的公式：V-E+F=2，堪稱“簡(jiǎn)單美”的典范。世間的多面體有多少？沒有人能說清楚。但它們的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F，都必須服從歐拉給出的公式，一個(gè)如此簡(jiǎn)單的公式，概括了無數(shù)種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？由她還可派生出許多同樣美妙的東西。如：平面圖的點(diǎn)數(shù)V、邊數(shù)E、區(qū)域數(shù)F滿足V-E+F=2，這個(gè)公式成了近代數(shù)學(xué)兩個(gè)重要分支——拓?fù)鋵W(xué)與圖論的基本公式[1]。由這個(gè)公式可以得到許多深刻的結(jié)論，對(duì)拓?fù)鋵W(xué)與圖論的發(fā)展起了很大的作用。

在數(shù)學(xué)中，像歐拉公式這樣形式簡(jiǎn)潔、內(nèi)容深刻、作用很大的定理還有許多。比如：圓的周長公式：C=2πR

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方。

正弦定理：ΔABC的外接圓半徑R，則

數(shù)學(xué)的這種簡(jiǎn)潔美，用幾個(gè)定理是不足以說清的，數(shù)學(xué)歷史中每一次進(jìn)步都使已有的定理更簡(jiǎn)潔。正如偉大的希爾伯特曾說過：“數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著”。

3 對(duì)稱美

在古代“對(duì)稱”一詞的含義是“和諧”、“美觀”。事實(shí)上，譯自希臘語的這個(gè)詞，原義是“在一些物品的布置時(shí)出現(xiàn)的般配與和諧”。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓形。圓是中心對(duì)稱圓形――圓心是它的對(duì)稱中心，圓也是軸對(duì)稱圖形――任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸。

梯形的面積公式：S=，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

，其中a是上底邊長，b是下底邊長，其中a1是首項(xiàng)，

an是第n項(xiàng)，這兩個(gè)等式中，a與a1是對(duì)稱的，b與an是對(duì)稱的。h與n是對(duì)稱的。對(duì)稱美的形式很多，對(duì)稱的這種美也不只是數(shù)學(xué)家獨(dú)自欣賞的，人們對(duì)于對(duì)稱美的追求是自然的、樸素的。如格點(diǎn)對(duì)稱，十四世紀(jì)在西班牙的格拉那達(dá)的阿爾漢姆拉宮，存在所有的格點(diǎn)對(duì)稱，而1924年才證明出格點(diǎn)對(duì)稱的種類。此外，還有格度對(duì)稱，如我們喜愛的對(duì)數(shù)螺線、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、楊振寧也正是由對(duì)稱的研究而發(fā)現(xiàn)了宇稱不守恒定律。從中我們體會(huì)到了對(duì)稱的美與成功。

4 殘缺美

康德說過：“美并不等于完善。”三種（嚴(yán)格地講是九種）幾何的建立，也正是人們追求數(shù)學(xué)完美（或修補(bǔ)數(shù)學(xué)缺憾）的產(chǎn)物，這也是人們對(duì)數(shù)學(xué)美的另一種扭曲與偏離。

半徑不同的五個(gè)球放在桌面上，通常人們會(huì)認(rèn)為規(guī)則的擺放更合乎人們的審美情結(jié)，但不規(guī)則的擺放所占據(jù)的桌面長度卻是最小！在給定圓的內(nèi)接四邊形中，以內(nèi)接正方形的面積為最大。但是若加以推廣，結(jié)論便不成立了——內(nèi)接于球的六面體中，體積最大的不是正六面體（正方體），1963年借助于計(jì)算機(jī)人們找到一種內(nèi)接于球的六面體，它的同一頂點(diǎn)的三條棱不等長（形式上不美），但它的體積卻比內(nèi)接該球的正方體大12%左右。令人不解的是：對(duì)于正多面體來講，除正六面體外，其它四種：正四面體、正八面體、正十二面體、正二十面體分別是球的內(nèi)接最大體積的正多面體！

“光行最速原理”，“局部最優(yōu)≠整體最優(yōu)”，“貪小失大”，“最短路線問題”——平面上給定n個(gè)點(diǎn)，通過增加斯坦納點(diǎn)的最小樹長（最短線路）最我可比原來不增加新點(diǎn)時(shí)的最小樹長13.4%。（1990年我國數(shù)學(xué)家堵丁柱和旅美學(xué)者黃光明博士證明了更一般的情形：去掉了平面的限制。）

缺憾帶來希望，有希望才有追求，有追求才有創(chuàng)生。

5 統(tǒng)一美

數(shù)的概念從自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、無理數(shù)，擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，經(jīng)歷了無數(shù)次坎坷，范圍不斷擴(kuò)大了，在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的作用也不斷地增大。那么，人們自然想到能否再把復(fù)數(shù)的概念繼續(xù)推廣。

英國數(shù)學(xué)家哈密頓苦苦思索了15年，沒能獲得成功。后來，他“被迫作出妥協(xié)”，犧牲了復(fù)數(shù)集中的一條性質(zhì)，終于發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)[2]。四元數(shù)的研究推動(dòng)了線性代數(shù)的研究，并在此基礎(chǔ)上形成了線性結(jié)合代數(shù)理論。物理學(xué)家麥克斯韋利用四元數(shù)理論建立了電磁理論。

數(shù)學(xué)的發(fā)展是逐步統(tǒng)一的過程。統(tǒng)一的目的也正如希爾伯特所說的：“追求更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法”。

愛因斯坦一生的夢(mèng)想就是追求宇宙統(tǒng)一的理論。他用簡(jiǎn)潔的表達(dá)式E=mc2揭示了自然界中質(zhì)能關(guān)系，這不能不說是一件統(tǒng)一的藝術(shù)品。但他還是沒有完成統(tǒng)一的夢(mèng)想。人類在不斷探尋著紛繁復(fù)雜的世界，又在不斷地用統(tǒng)一的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)世界，宇宙沒有盡頭，統(tǒng)一美也需要永遠(yuǎn)的追求。

6 和諧美

歐拉公式：，曾獲得“最美的數(shù)學(xué)定理”稱號(hào)。歐拉建立了在他那個(gè)時(shí)代，數(shù)學(xué)中最重要的幾個(gè)常數(shù)之間的絕妙的有趣的聯(lián)系，包容得如此協(xié)調(diào)、有序。與歐拉公式有關(guān)的棣美弗-歐拉公式是。這個(gè)公式把人們以為沒有什么共同性的兩大類函

數(shù)――三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)緊密地結(jié)合起來了。對(duì)他們的結(jié)合，人們始則驚詫，繼而贊嘆――確是“天作之合”。

和諧的美，在數(shù)學(xué)中多得不可勝數(shù)。如著名的黃金分割，即0.61803398…。在正五邊形中，邊長與對(duì)角線長的比

是黃金分割比。建筑物的窗口，寬與高度的比一般為λ；人們的膝蓋骨是大腿與小腿的黃金分割點(diǎn)，人的肘關(guān)節(jié)是手臂的黃金分割點(diǎn)，肚臍是人身高的黃金分割點(diǎn)；當(dāng)氣溫為23攝氏度時(shí)，人感到最舒服，此時(shí)23：37（體溫）約為0.618；名畫的主題，大都畫在畫面的0.618處，弦樂器的聲碼放在琴弦的0.618處，會(huì)使聲音更甜美。建筑設(shè)計(jì)的精巧、人體科學(xué)的奧秘、美術(shù)作品的高雅風(fēng)格，音樂作品的優(yōu)美節(jié)奏，交融于數(shù)的對(duì)稱美與和諧美之中。

維納斯的美被所有人所公認(rèn)，她的身材比也恰恰是黃金分割比。

黃金分割比在許多藝術(shù)作品中、在建筑設(shè)計(jì)中都有廣泛的應(yīng)用。達(dá)·芬奇稱黃金分割為“神圣比例”.他認(rèn)為“美感完全

建立在各部分之間神圣的比例關(guān)系上”[3]。

數(shù)學(xué)的和諧美還表現(xiàn)為它能夠?yàn)樽匀唤绲暮椭C、生命現(xiàn)象的和諧、人自身的和諧等找到最佳論證。

事物的發(fā)展規(guī)律是“螺線式”的。螺線不僅是生命的曲線，也是生活的曲線[4]！

生命的豐富多彩，數(shù)學(xué)的優(yōu)雅美妙，一旦二者揉合，必定會(huì)為人們認(rèn)識(shí)生命現(xiàn)象提供啟發(fā)，創(chuàng)造機(jī)會(huì)，揭示奧秘，同時(shí)也為數(shù)學(xué)自身的發(fā)展提供模式與課題。

7 結(jié)語

總之，數(shù)學(xué)之美，還可以從更多的角度去審視，而每一側(cè)面的美都不是孤立的，她們是相輔相成、密不可分的。她需要人們用心、用智慧深層次地去挖掘，更好地體會(huì)她的美學(xué)價(jià)值和她豐富、深隧的內(nèi)涵和思想，及其對(duì)人類思維的深刻影響。如果在學(xué)習(xí)過程中，我們能與數(shù)學(xué)家們一起探索、發(fā)現(xiàn)，從中獲得成功的喜悅和美的享受，那么我們就會(huì)不斷深入其中，欣賞和創(chuàng)造美。

參考文獻(xiàn)

[1]陳煥斌，張雄.略論數(shù)學(xué)美的本質(zhì)屬性.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008（05）：28-30.

[2]李可欣.淺談數(shù)學(xué)中的美學(xué)體現(xiàn).赤子，教學(xué)研究，2018（01）：225.

[3]齊蕊.淺析數(shù)學(xué)中美的教學(xué).石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，教育教學(xué)，2018（04）：76-77.

[4]金子明，數(shù)學(xué)美的和諧性.學(xué)科網(wǎng)，數(shù)學(xué)資訊，2018（1）.