論數(shù)學(xué)與美學(xué)的關(guān)系

劉英婕

摘要：數(shù)學(xué)美是對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)美的反映，是自然美與藝術(shù)美的結(jié)合。本文著重探討數(shù)學(xué)與美學(xué)之間的聯(lián)系，通過欣賞數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)單美、和諧美等美學(xué)特征，以及展示美學(xué)中存在的數(shù)學(xué)，從而得出數(shù)學(xué)與美學(xué)是相互滲透的這一結(jié)論。通過這一研究，培養(yǎng)人們的審美意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)世界的豐富多彩，提高對(duì)數(shù)學(xué)美本質(zhì)的理解與認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；美學(xué)；數(shù)學(xué)美

“純數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，同時(shí)也是一門藝術(shù)”。如今的數(shù)學(xué)，已成為研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科，它已滲透到經(jīng)濟(jì)、歷史、建筑、音樂、美術(shù)、文學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域中。本文從各個(gè)不同的角度展現(xiàn)數(shù)學(xué)美的內(nèi)涵，提取數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的豐富的審美內(nèi)容，以求在美的熏陶下，感受數(shù)學(xué)別樣的美麗，并得到思維的啟迪與情感的共鳴。

數(shù)學(xué)是什么？法國(guó)數(shù)學(xué)家迪卡爾稱數(shù)學(xué)是“序和度量”的科學(xué)。英國(guó)哲學(xué)家培根稱數(shù)學(xué)為一種使人“機(jī)敏精細(xì)”的學(xué)問。恩格斯也曾說：“數(shù)學(xué)乃是關(guān)于物質(zhì)世界的空間形式及其數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。”由此可見，古今中外的人把數(shù)學(xué)看成是一種知識(shí)體系，是經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯推理而形成的系統(tǒng)化的理論知識(shí)總和，它充分體現(xiàn)了人類知識(shí)的精華，影響著人類活動(dòng)的每一個(gè)領(lǐng)域，它的進(jìn)展與所有科學(xué)的發(fā)現(xiàn)都緊密相關(guān)，其中也包括美學(xué)本身的發(fā)展。

古代哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯說過：“哪里有數(shù)，哪里就有美。”數(shù)學(xué)作為一門不斷推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步與時(shí)代發(fā)展的學(xué)科，其中當(dāng)然存在著美。數(shù)學(xué)是一種獨(dú)特的邏輯，是自然科學(xué)的語言，在其內(nèi)容和結(jié)構(gòu)方法上，都具有自身的某種美，所有這些都是數(shù)學(xué)美的體現(xiàn)。正因?yàn)閿?shù)學(xué)具有豐富而獨(dú)特的審美內(nèi)涵，因此，這門古老而又年輕的學(xué)科才符合事物生存和發(fā)展的原則，與人類本身的生存與發(fā)展相始終。

一、數(shù)學(xué)美的實(shí)質(zhì)

數(shù)學(xué)是對(duì)自然和現(xiàn)實(shí)的冷靜、理智、抽象的認(rèn)識(shí)，并通過確定的數(shù)學(xué)符號(hào)、形式結(jié)構(gòu)表述出來，客觀、現(xiàn)實(shí)的美也就抽象成了數(shù)學(xué)的美。也就是說，數(shù)學(xué)美是現(xiàn)實(shí)美的反應(yīng)，是在自然人化的歷史過程中沉淀、積累的結(jié)果。

但是，數(shù)學(xué)美不僅僅是“數(shù)學(xué)中存在著美”，它不單純是某些數(shù)學(xué)特性如簡(jiǎn)單性、對(duì)稱性、和諧性等的相加。數(shù)學(xué)美應(yīng)該是能喚起人們的喜悅之情的，從而激發(fā)人們?nèi)グl(fā)現(xiàn)、揭露其內(nèi)在之美，使人們?cè)谒伎嫉倪^程中潛移默化地去感受數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)。因此，數(shù)學(xué)美的本質(zhì)是：作為審美主體的人，在審美過程中（數(shù)學(xué)美感的運(yùn)作），對(duì)審美客體——數(shù)學(xué)美的各種品性的能動(dòng)作用。

數(shù)學(xué)被人看作是心智的藝術(shù)與靈魂的音樂，數(shù)學(xué)美感的發(fā)展不僅要有能夠感受形式美的眼睛，更要有能夠創(chuàng)造和理解數(shù)學(xué)的大腦。數(shù)學(xué)的思想、理論、公式、方法等，只有通過人類的審美活動(dòng)才能表現(xiàn)出來。

人類一邊欣賞著自然存在的數(shù)學(xué)美，一邊又創(chuàng)造著數(shù)學(xué)美。也就是說，這種美誕生于現(xiàn)實(shí)、生活、實(shí)踐之中（產(chǎn)生美），它通過人們的思想情感，一定的審美意識(shí)（感受美），又影響著人們的數(shù)學(xué)實(shí)踐、科學(xué)實(shí)踐、社會(huì)實(shí)踐等活動(dòng)，從而不斷出現(xiàn)更豐富、更完美的數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)之樹枝繁葉茂、四季常青。

二、數(shù)學(xué)美的特征

（一）數(shù)學(xué)美在簡(jiǎn)單

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“宇宙之大、微粒之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之迷、日用之繁……無不可用數(shù)學(xué)表述。數(shù)學(xué)之所以用途如此之廣，因?yàn)閿?shù)學(xué)的首要特點(diǎn)在于它的簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)單本身就是一種美?！?/p>

數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單性在生活中屢見不鮮：

食堂餐券只需印上3角、5角兩種便可支付任何8角或8角以上的菜款而無須找錢。電子信息技術(shù)的日益發(fā)展，雖然現(xiàn)在很少還有食堂在采用餐券制，但較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單性。類似地，硬幣和紙鈔上面的面額更為人們所熟悉。

數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美體現(xiàn)在一下幾個(gè)方面：

1.符號(hào)美

數(shù)學(xué)是一種符號(hào)“游戲”。歷史告訴我們，采用合理的符號(hào)，能使數(shù)學(xué)學(xué)科得到迅速發(fā)展。相反，若沒有一套合理的符號(hào)，其進(jìn)展就會(huì)十分緩慢。古代數(shù)學(xué)的漫長(zhǎng)歷程、今日數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，17、18世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)的興起，我國(guó)幾千年數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程的緩慢，所有這些都充分證明了數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)用恰當(dāng)?shù)闹匾浴?/p>

萊布尼茲說：“數(shù)學(xué)符號(hào)節(jié)省了人們的思維?！睌?shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)語言的記錄與表現(xiàn)，可使人們擺脫數(shù)學(xué)自身的抽象與約束，集中精力在主要環(huán)節(jié)，增加人們的思維能力。數(shù)學(xué)是一個(gè)符號(hào)的世界，數(shù)學(xué)思維必須有一套嚴(yán)格的符號(hào)系統(tǒng)。數(shù)學(xué)符號(hào)的產(chǎn)生發(fā)明、使用流傳，經(jīng)歷著一個(gè)十分漫長(zhǎng)的過程，并且仍在繼續(xù)。這個(gè)過程始終貫穿著人們對(duì)自然、和諧與美的追求。

比如：從各國(guó)古代不同的記數(shù)符號(hào)，至阿拉伯?dāng)?shù)字的創(chuàng)造、改進(jìn)、流傳與通用；從四則運(yùn)算符號(hào)加（+）、減（-）、乘（×）、除（÷）和乘方（ ）、等號(hào)（=）、未知數(shù)（x，y，z）等符號(hào)的產(chǎn)生、演化；從各國(guó)各異的“方程”符號(hào)至現(xiàn)今方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式的統(tǒng)一，無不表現(xiàn)著人們追求數(shù)學(xué)和諧、簡(jiǎn)潔、方便、明晰的審美過程。數(shù)學(xué)在發(fā)展的過程中，人們對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)也在不斷深化，當(dāng)原有的符號(hào)對(duì)新的概念感到無能為力時(shí)，人們也隨之創(chuàng)新。

比如：用希臘字母 表示圓周率這個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，用i表示虛數(shù)單位 ……等等。此外，數(shù)學(xué)中還有許多運(yùn)算符號(hào)，這些符號(hào)均有其獨(dú)特含義，使用它們不僅方便而且簡(jiǎn)潔。

比如：用“！”號(hào)表示階乘： 。

數(shù)學(xué)符號(hào)具有高度的概括性和精確性，它是數(shù)學(xué)特有的美感。數(shù)學(xué)中同一個(gè)概念開始往往用不同的符號(hào)表示，人們?cè)谑褂眠^程中不斷對(duì)其進(jìn)行鑒別以確定優(yōu)劣（實(shí)用性、方便性、簡(jiǎn)潔性等），這里面也蘊(yùn)涵著一個(gè)審美過程?！耙环N合適的符號(hào)要比一種不良的符號(hào)更能反映真理。更合適的符號(hào)帶著自己的生命出現(xiàn)，并且它又創(chuàng)造出新的生命來?！?/p>

數(shù)學(xué)思維借助于符號(hào)系統(tǒng)來展現(xiàn)，也正是符號(hào)成為了數(shù)學(xué)世界通用的語言，把數(shù)學(xué)建立在穩(wěn)固的基石上。

2.公式美

如果說數(shù)學(xué)符號(hào)是人類創(chuàng)造的，那么公式就是大自然乃至宇宙本身所蘊(yùn)涵的真理，是人類的智慧發(fā)現(xiàn)了它們，然后用符號(hào)表述出來。自然界的現(xiàn)象與事物千姿百態(tài)，經(jīng)過人類的觀察、思維、分析與實(shí)踐，抽象得到了很多表面現(xiàn)象后內(nèi)在的東西，公式則就是內(nèi)在實(shí)質(zhì)（眾多數(shù)學(xué)定理、命題）的外在表現(xiàn)。

世界上的圓無窮無盡，有大有小，但惟有數(shù)學(xué)幾何上的圓最標(biāo)準(zhǔn)、最純粹、最完美，因?yàn)樗闹荛L(zhǎng)與直徑之比精確等于一個(gè)無理數(shù)π，即有C=π D。這是一個(gè)簡(jiǎn)潔的公式，其所反映的又是一種十分奇妙而和諧的關(guān)系，有學(xué)者稱它為“宇宙間的第一等好詩(shī)。”

再比如三角形，盡管形狀各異，其中有很多可研究的內(nèi)容。人們用 囊括了所有三角形的面積，這是最簡(jiǎn)單、基本、原始的公式。后來人們又發(fā)現(xiàn) （p為三角形半周長(zhǎng)）； 都是三角形面積的表示方式。

正、余弦定理概括了三角形邊、角的一般關(guān)系。直角三角形中三邊關(guān)系 更是古代人們智慧的結(jié)晶。

數(shù)學(xué)公式不是天生的，當(dāng)有人找到現(xiàn)實(shí)事物間的客觀聯(lián)系，并賦予它每個(gè)字母每個(gè)符號(hào)的涵義，它才變得富有生機(jī)，它是某些數(shù)學(xué)知識(shí)的精華。也只有具有一定數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人才能從中讀出豐富的內(nèi)涵（數(shù)學(xué)的“至高無上”）。

（二）數(shù)學(xué)美在和諧

宇宙是和諧的，許多中外哲人都把宇宙的和諧比擬為音樂的和諧，，實(shí)際上，和諧的事物向來給人以美的外觀與一致的內(nèi)涵。在數(shù)學(xué)中，畢達(dá)哥拉斯首先提出“美是和諧與比例”，和諧是人們追求數(shù)學(xué)美的準(zhǔn)則。

數(shù)學(xué)的和諧表現(xiàn)在它能用以解釋自然和社會(huì)的性質(zhì)，甚至能讓它為人類所用。

最典型的一個(gè)例子是：數(shù)學(xué)家們依據(jù)人口增減過程，研究建立了人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型。并求得了人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式： ，式中 表示當(dāng)初人口數(shù)， 表示t時(shí)間后的人口數(shù)，c、k為待定常數(shù)（它們依據(jù)不同地區(qū)、不同國(guó)家、不同時(shí)期情況而變化）。公式表明人口增長(zhǎng)是按幾何級(jí)數(shù)增加的，人口的迅速增長(zhǎng)若不加控制，人類生存所必需的一切條件將處于危險(xiǎn)中。這一實(shí)例說明了數(shù)學(xué)與人類生存世界的和諧相聯(lián)系。

上面各種事例可見，對(duì)數(shù)學(xué)和諧美的追求，可啟迪人們的思維，指明人們研究的方向與方法。怪不得有人稱“數(shù)學(xué)是一門萬用的并具有絕對(duì)真理的藝術(shù)”。造就和諧美得因素是多方面的，比如對(duì)稱美的存在就是一個(gè)很典型的例子。

亞里士多德在談到這個(gè)問題時(shí)指出：“秩序和對(duì)稱是美的重要因素，而這兩者都能在數(shù)學(xué)里找到。”“對(duì)稱”最初源于幾何。我們平面幾何中的對(duì)稱有軸對(duì)稱和中心對(duì)稱。比如圓（畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，圓是平面上最完美的圖形）、正方形，它們既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形。立體幾何中的對(duì)稱除了上述兩種外，還有平面對(duì)稱。立方體、球等都是點(diǎn)、線、面對(duì)稱的圖形。

有許多函數(shù)圖象也是對(duì)稱的，如一般的三角函數(shù)， ， ；一般的冪函數(shù) ， ， ， 等；還有橢圓 ；雙曲線 ；以及指數(shù)函數(shù) ，對(duì)數(shù)函數(shù) 等。

如牛頓萬有引力公式： ，這個(gè)公式中 ， 是空間互相吸引的兩個(gè)物質(zhì)的質(zhì)量，顯然在式中處于同等地位，這也是一種對(duì)稱。

從更廣泛的意義上講，“數(shù)論”中的奇數(shù)和偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)，“代數(shù)”中的正數(shù)與負(fù)數(shù)，“三角”中的正弦與余弦、正切與余切、正割與余割等等，也可看作是對(duì)稱。

數(shù)學(xué)多種概念也是成對(duì)出現(xiàn)的：函數(shù)與反函數(shù)，象與原象，增函數(shù)與減函數(shù)，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)，開區(qū)間與閉區(qū)間，收斂與發(fā)散，連續(xù)與離散，由一般到特殊的演繹法和由特殊到一般的歸納法，它們都體現(xiàn)著對(duì)稱的思想。

可以這樣說：數(shù)學(xué)中不少概念與運(yùn)算，都是人們對(duì)于“對(duì)稱”問題的探討派生出來的，數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美除了作為數(shù)學(xué)自身的屬性外，也可看成啟迪人們思維及研究問題的方向。

人類用同一種語言建造了精神的巴比塔，那就是數(shù)學(xué)。它是生活，也是藝術(shù)。數(shù)學(xué)真正的核心不是一些讓人生畏的公式，而是隱藏在其中的優(yōu)秀的人類思想。數(shù)學(xué)科學(xué)作為幾千年來人類智慧的結(jié)晶，其巧妙和諧的體系，嚴(yán)密而無懈可擊的說服力，在解決實(shí)際問題時(shí)表現(xiàn)出來的神奇力量，使許許多多的人為之傾倒。這神奇的力量正是來自數(shù)學(xué)中的美。

數(shù)學(xué)美是人們對(duì)現(xiàn)實(shí)美的反映，經(jīng)過人們思想情感影響著人們的數(shù)學(xué)實(shí)踐、科學(xué)實(shí)踐。對(duì)美的追求是數(shù)學(xué)創(chuàng)造最主要的動(dòng)力，對(duì)美的追求推動(dòng)著自然科學(xué)、人文科學(xué)的發(fā)展，對(duì)美的追求也推動(dòng)著數(shù)學(xué)本身的發(fā)展。