2018年全國卷Ⅰ理科壓軸題命題來源研究

☉淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 張 昆

一方面，高三數(shù)學(xué)教師對于某些數(shù)學(xué)高考試題淵源的玩味與深入研究，可以增進(jìn)對數(shù)學(xué)知識在高考解題應(yīng)用中的一系列思維活動更為深入的認(rèn)識，可以幫助數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)教學(xué)中形成更好的教學(xué)技藝，提醒學(xué)生注意高考解題思維活動中某些要素（數(shù)學(xué)觀念、解題模型與方法、計算途徑等）的相似性，從而提高高考復(fù)習(xí)的教學(xué)針對性與有效性.這里從對比研究兩道數(shù)學(xué)高考壓軸題的相似性出發(fā)，期望給予正在進(jìn)行高考數(shù)學(xué)解題復(fù)習(xí)施教的高三數(shù)學(xué)教師與正在應(yīng)考復(fù)習(xí)的高三學(xué)生某些啟示；另一方面，我們也要善意地提醒高考數(shù)學(xué)命題專家，需要其竭盡所能地命制出有價值的原創(chuàng)題，致使帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)的高三數(shù)學(xué)教師與準(zhǔn)備高考的考生認(rèn)識到數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)沒有捷徑可循，也沒有規(guī)律可循，只有通過不斷地學(xué)習(xí)與思考，增加自己分析問題與解決問題的能力，才能在高考中取得好成績.［1］于是，我們從2009年遼寧省高考數(shù)學(xué)理科壓軸題說起.

一、從分析2009年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科壓軸題說起

為了研究2018年全國高考理科數(shù)學(xué)卷Ⅰ壓軸題的命題來源問題，我們首先引入并審視遼寧省2009年高考理科數(shù)學(xué)試卷的壓軸題及其解法.

例1（2009年全國高考遼寧卷·理21·壓軸題）已知

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）證明：若a＜5，則對任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有

對于第（1）問的分析，由于y=lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），從而可知函數(shù)（fx）的定義域?yàn)椋?，+∞），可以借助于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念知識的內(nèi)涵，求其單調(diào)性，從而解決第（1）問.因的形式特點(diǎn)，由于x∈（0，+∞），所以的正負(fù)性取決于其分子的正負(fù)性，而這個分子與兩數(shù)差的完全平方公式相似，于是，我們可以獲得一種分類標(biāo)準(zhǔn)：（?。┊?dāng)a-1=1，即a=2時，可知，故（fx）在（0，+∞）單調(diào)遞增；（ⅱ）當(dāng)a-1＜1時，由條件a＞1，故1＜a＜2，則當(dāng)x∈（a-1，1）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，a-1）及x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，故f（x）在（a-1，1）單調(diào)遞減，在（0，a-1）和（1，+∞）單調(diào)遞增；（ⅲ）若a-1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a-1）單調(diào)遞減，在（0，1）和（a-1，+∞）單調(diào)遞增.

對于第（2）問的分析，筆者為了行文的需要，不妨記條件中的lnx為函數(shù)式①，要求證的為不等式②.

分析一：我們從結(jié)論-1出發(fā)，不妨設(shè)x＞1x2，還是采用分析法，要證明這個結(jié)論成立，希望證明要討論這個不等式是否成立，由它的數(shù)式特點(diǎn)，啟發(fā)我們引進(jìn)與利用函數(shù)g（x）=f（x）+x，只要討論這個函數(shù)的單調(diào)性就可以達(dá)到幫助我們解決問題的目的，由此我們認(rèn)識到，可以通過設(shè)函數(shù)nx+x的形式來解決相關(guān)的問題.由于x∈（0，+∞），知g（′x）=x+a-1+1-a≥x由于1＜a＜5，所以g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增.從而當(dāng)x1＞x2＞0時有g(shù)

分析二：由于所要證明的結(jié)論式②可表示為條件函數(shù)式①圖像上的兩點(diǎn)所構(gòu)成的直線斜率的形式，于是，這個問題可以轉(zhuǎn)化為在函數(shù)式①的定義域x∈（0，+∞）內(nèi)，任意兩點(diǎn)所連的直線的斜率都是大于-1.由于連接兩點(diǎn)所構(gòu)成的直線斜率與這個條件函數(shù)式①的圖像上的某個點(diǎn)的切.當(dāng)x2＞x1＞0時，有線的斜率相等（它符合微積分學(xué)中的拉格朗日中值定理的條件），換句話說，必定存在，使成立，且由1＜a＜5，可知正數(shù).由上述的結(jié)果，知，因此，只要證由于1＜a＜5，這個不等式是成立的，問題得以解決.

這里討論這道高考數(shù)學(xué)壓軸題的目的在于，其一，這道高考題具有自身的特點(diǎn)，即它是由高等數(shù)學(xué)“拉格朗日”中值定理演化而來，由此而給教師提示了解決問題的方法；其二，為分析下面的2018年全國高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ的壓軸題的來源奠定基礎(chǔ).為此，我們來審視2018年全國高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ中的壓軸題.

二、2018年全國高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ的壓軸題及其解答分析

那么，2018年全國高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ的壓軸題究竟具有怎樣的內(nèi)容呢？為此，首先引入并審視2018年全國高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ的壓軸題，然后對此進(jìn)行解答分析.

例2（2018年全國高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ·理21·壓軸題）已知函數(shù)

（1）討論（fx）的單調(diào)性；

（2）若（fx）存在兩個極值點(diǎn)x1，x2，證明

關(guān)于問題（1）的分析：首先，已有的解題經(jīng)驗(yàn)提示我們，對于超越函數(shù)的單調(diào)性求解問題需要借助其導(dǎo)函數(shù)（此處涉及一些基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，才能使問題得以解決）的性質(zhì)：由函數(shù)式③中的lnx，可知函數(shù)式③的定義域?yàn)椋?，+∞），對函數(shù)式③進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，知f′（x）=-

其次，在平時的解題學(xué)習(xí)與反思中我們也認(rèn)識到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)式⑤中含有參數(shù)，需對其進(jìn)行分類討論，討論的依據(jù)是由于x2＞0，故要判斷函數(shù)式③的單調(diào)性，只需判斷⑤的分子x2-ax+1⑥的正負(fù)性即可.由于代數(shù)式⑥的結(jié)構(gòu)形式類似于一個完全平方公式，如此，可以生成一種關(guān)于判斷代數(shù)式⑤的正負(fù)性討論的標(biāo)準(zhǔn)：（ⅰ）若a≤2，則f′（x）≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，x=1時，f′（x）=0，所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞減（.ⅱ）若a＞2，此時，令f′（x）=0，解這個方程，可得于是，我們知道，當(dāng)x）時，f（′x）＜0；當(dāng)x）時，f（′x）＞0.所以（fx）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間 （）內(nèi)單調(diào)遞增.到此，我們完成了問題（1）的解答.

這說明在命題時，命題專家有意識地設(shè)計了這種梯級形式的模式，第一問是一些常規(guī)的運(yùn)算問題，只是為第二問提供啟動思維活動的基礎(chǔ)，下面的第二問的解答，就是在第一問的基礎(chǔ)上展開的.

關(guān)于問題（2）的分析：由（1）所得的解答結(jié)論可知f（x）存在兩個極值點(diǎn)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)a＞2.

因?yàn)閒（x）有兩個極值點(diǎn)x1，x2，所以由極值點(diǎn)的涵義，可知x1，x2應(yīng)該是一元二次方程x2-ax+1=0的兩個實(shí)數(shù)根.故由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1·x2=1，此時，不失一般性，可設(shè)x1＜x2，則易知x2＞1.故我們可以直接計算不等式④的左邊 的 代 數(shù) 式由要求的結(jié)論不等式④，可知只需證明就達(dá)到目的了，化簡這個不等式可知由不等式⑦左端的特點(diǎn)，使我們認(rèn)識到可以回歸函數(shù)式③，只不過函數(shù)式③中的x變成了不等式⑦的左端中的x2，而函數(shù)式③中的待定系數(shù)a變成了不等式⑦的左端中的2，由此提示我們可以用函數(shù)的形式來考察不等式⑦的左邊，于是，設(shè)函數(shù)lnx，由（1）的結(jié)論，知g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減.又g（1）=0，從而當(dāng)x∈（1，+∞）時，g（x）＜0.所以.問題已經(jīng)解決.

通過仔細(xì)分析這兩道題所生成的解法，我們得到的啟示是：在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，一定要分一點(diǎn)關(guān)注給過程，也就是說，要探究形成數(shù)學(xué)知識的思維過程的一系列環(huán)節(jié)所萌生的歷史，這段思維環(huán)節(jié)的歷史就取決于數(shù)學(xué)意向展開的三個環(huán)節(jié)的交互替換過程.使數(shù)學(xué)知性發(fā)生的那種內(nèi)在意識結(jié)構(gòu)運(yùn)動過程透視在我們面前，給我們在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中確定教學(xué)目的與選擇教學(xué)手段提供了直觀的基礎(chǔ)，從而使教師的教學(xué)設(shè)計從探索的盲目性轉(zhuǎn)變?yōu)橛雄E可循的自覺性.［2］教師在教學(xué)準(zhǔn)備工作中，要特別注意這種探究活動形成數(shù)學(xué)方法的過程.

三、簡析2018年數(shù)學(xué)高考全國卷Ⅰ理科壓軸題的來源

筆者將2009年遼寧省數(shù)學(xué)高考卷理科壓軸題（下文簡稱“遼寧卷壓軸題”）與2018年全國高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ理科壓軸題（下文簡稱“全國卷壓軸題”）及其解答分析陳述如上，由此我們發(fā)現(xiàn)“全國卷壓軸題”來源于2009年的“遼寧卷壓軸題”.簡析如下：

其一，從命題題面上的題設(shè)條件來看，“遼寧卷壓軸題”利用了二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)組成了函數(shù)式①，而“全國卷壓軸題”利用了反比例函數(shù)、正比例函數(shù)與對數(shù)函數(shù)組成了函數(shù)式③，因此，這兩道壓軸題在組成元素上雖有區(qū)別，但在決定問題本質(zhì)的對數(shù)函數(shù)的使用上其實(shí)是一致的；所使用的參數(shù)（待定系數(shù)）都是字母a.

其二，從命題題面上要求的結(jié)論來看，兩道壓軸題的第（1）問都是一樣的.從對于主導(dǎo)性條件（函數(shù)解析式）在第（2）問中所附加的條件上看，兩道題的第（2）問具有不同點(diǎn)，“遼寧卷壓軸題”是在函數(shù)式①定義域內(nèi)所取的任意兩個不同的點(diǎn)x1與x2，而“全國卷壓軸題”所取的函數(shù)式③定義域內(nèi)的兩個點(diǎn)則是固定的，它們是函數(shù)式③的兩個極值點(diǎn)x1與x2；從兩道壓軸題第（2）問的結(jié)論上看，這兩個不等式的左邊的形式完全一樣，不等式的右邊有所不同，“遼寧省壓軸題”就是一個具體的數(shù)字-1，而“全國卷壓軸題”也是一個具體的數(shù)字a-2，形式上看有一個字母a，但這個字母a卻并不是變量，因此，可以說這兩個要求證的結(jié)論式并沒有本質(zhì)的區(qū)別.

其三，從前述所分析的問題解決時使用的數(shù)學(xué)知識及其思維活動過程上來看，關(guān)于第（1）問的解答活動過程，兩道壓軸題的解題方法是完全一樣的，由于具體使用的條件要素（函數(shù)）的形式不同、數(shù)據(jù)不同導(dǎo)致了解題時所采用的方法（分類標(biāo)準(zhǔn)）的不同，其實(shí)質(zhì)則是完全一樣的（都是使用了“完全平方公式”來揭示思路的來源）；關(guān)于第（2）問的解答活動過程，兩題的異同點(diǎn)為：

其一，遼寧卷存在分析一與分析二兩種解法，而全國卷只有這一種解法.

其二，遼寧卷分析一的解題思路都是從已知出發(fā)的，如此，由于所引入的條件的要素不同，從而決定了解題思路的方法是不一樣的，“遼寧卷壓軸題”采用了引入新函數(shù)式）lnx+x（可以使用分析的手段獲得），并且引入了關(guān)鍵性的知識點(diǎn)“基本不等式”，進(jìn)而比較簡潔地解決了問題，而“全國卷壓軸題”因?yàn)樗o定了的條件x1與x2是兩個具體的極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此，不需要像“遼寧卷壓軸題”一樣地引入函數(shù)，只要直接代入解析式進(jìn)行計算就行了，進(jìn)而得到了結(jié)論不等式⑦，不等式⑦的左端與題設(shè)中的條件函數(shù)式③具有相似性，因此，到此時可以引入函數(shù)式（其實(shí)是條件函數(shù)式③的具體化，即待定系數(shù)a取2時的函數(shù)式③），從而使問題得以解決.

其三，遼寧卷的分析二，采用的微積分中的拉格朗日中值定理，其屬于高等數(shù)學(xué)知識，中學(xué)生一般沒有學(xué)習(xí)并借助于這種經(jīng)驗(yàn)解決問題，因此，從原則上說，這種方法考生在考場上是很難用得上的，而全國卷所給予的條件的兩個數(shù)x1與x2是固定不變的，不是變量，因此，不可能引入函數(shù)來加以解決，就更不可能使用拉格朗日中值定理這個知識點(diǎn)了，而只能使用這種具體計算的方法.

總之，這兩道題的題設(shè)條件與第（1）問的形式及其解題方法雖形式上有所不同，但實(shí)質(zhì)上是相同的；這兩道題的第（2）問形式上相同，但是實(shí)質(zhì)上有著較大的區(qū)別，其區(qū)別的要素在于遼寧卷中的x1與x2是可變量，而全國卷中的x1與x2卻是具體的不變量，由此決定了在解決第（2）問所使用的方法上的巨大差別.雖然如此，我們從形式上依然可以說，2018年全國卷Ⅰ的壓軸題來源于2009年遼寧卷的壓軸題.

四、簡要結(jié)語

從這三個維度的分析中，我們發(fā)現(xiàn)，2018年“全國卷壓軸題”與2009“遼寧卷壓軸題”在題設(shè)條件、題段結(jié)論兩個方面雖有具體知識特點(diǎn)形式上的區(qū)別，但這兩道題的本質(zhì)內(nèi)涵基本上是一致的；兩道題的差別在于，由于變動了第（2）問的附加條件，致使求解這一問的思路產(chǎn)生了差異.因此，我們可以得出這樣的結(jié)論，2018年全國高考數(shù)學(xué)理科卷Ⅰ的壓軸題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)來源于2009年遼寧省高考數(shù)學(xué)理科卷壓軸題.透過這種現(xiàn)象深入其本質(zhì)，一方面，對于我們高三數(shù)學(xué)教師的復(fù)習(xí)教學(xué)來說，一定具有很好的啟發(fā)性，那就是我們要研究以往的高考真題，盡可能減輕學(xué)生“題海戰(zhàn)術(shù)”的壓力；另一方面，對于高考數(shù)學(xué)命題專家來說，更需要思之再思，慎之又慎！