四元數(shù)體上廣義投射影矩陣和超廣義投影矩陣*

曾月迪,潘素娟

(莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,福建 莆田 351100)

1997年Groβ和Trenkler在文獻(xiàn)[1]中提出了復(fù)數(shù)域上廣義投射影矩陣的概念，并刻畫了廣義投射影矩陣和超廣義投射影矩陣的性質(zhì)，矩陣的和、差、積的結(jié)果.2004年J K Baksalary等在文獻(xiàn)[2]中進(jìn)一步探討了廣義投射影矩陣和超廣義投射影矩陣的性質(zhì).J K Baksalary等與武玲玲等分別在文獻(xiàn)[3]和[4]中討論了廣義投影矩陣線性組合冪等的若干條件.本文考察四元數(shù)體上廣義投射影矩陣和超廣義投影矩陣的一些性質(zhì)與應(yīng)用.

Mn(H)表示四元數(shù)體上的n階矩陣，C表示復(fù)數(shù)域，A*、trA、rankA、Rr(A)和Rl(A)分別表示A的共軛轉(zhuǎn)置、跡、秩、右列空間和左列空間.

約定:酉矩陣記為H(n,U)={A∈Mn(H):AA*=A*A=In}

正規(guī)矩陣記為H(n,N)={A∈Mn(H):AA*=A*A}；

部分等距矩陣記為H(n,PL)={A∈Mn(H):AA*A=A}={A∈Mn(H):A+=A*};

EP矩陣記為H(n,EP)={A∈Mn}={A∈Mn(H):AA+=A+A};

四冪等矩陣記為H(n,QP)={A∈Mn(H):A4=A}.

定義1n階矩陣A為廣義投射影矩陣，若A2=A*，這里A*表示A的共軛轉(zhuǎn)置.n階矩陣A為超廣義投射影矩陣，若A2=A+，這里A+表示的Moore-Penrose逆.我們約定H(n.GP)={A∈Mn(H):A2=A*},H(n,HGP)={A∈Mn(H):A2=A+}.

本文利用奇異值分解刻畫了四元數(shù)體上超廣義投影矩陣，從而討論了廣義投射影矩陣和超廣義投影矩陣與幾種重要的特殊矩陣之間的聯(lián)系，并用不同的證明方法推廣了文獻(xiàn)[2]中的定理1和2，同時(shí)考察了他們?cè)谄蛑械娜舾蓱?yīng)用.

1 廣義投射影矩陣和超廣義投影矩陣

引理1 設(shè)A∈Mn(H)，且A∈H(n,U)，那么

定理1 設(shè)A∈Mn(H)，且rankA=r,其奇異值分解為：

A=Udiag(D,0)V*,

①

其中D為r階正對(duì)角陣，U，V∈H(n,U)，則

(1)A∈H(n,PL)當(dāng)且僅當(dāng)D=Ir；

(2)A∈H(n,HGP)當(dāng)且僅當(dāng)V*U=diag(U1,U2)，U1∈Mr(H)，且(U1,D)3=Ir.

證明 由①易見A的Moore-Penrose逆為A+=Vidag(D-1,0)U*.若A∈H(n,PL)，則Vdiag(D-1,0)U*=Vdiag(D,0)U*.因此D=D-1.又由于D為對(duì)角矩陣，則D=I.反之顯然.

由定理1和奇異值的分解方法，我們可得到

定理2 設(shè)A∈Mn(H)，且rankA=r，則以下陳述等價(jià)：

(1)A∈H(n,GP)

(2)A∈H(n,QP)∩H(n,PL)∩H(n,N)

(3)A∈H(n,QP)∩H(n,N)

(4)A∈H(n,QP)∩H(n,PL)

證明 (1)?(2)由于A∈H(n,GP)，則A2=A*.由此可得

AA.*A=A4=(A*)=A,AA*=A3=A*A,A*AA*=A5=(A*)*A=A2=A*，

因此A∈H(n,GP)?H(n,QP)∩H(n,PL)∩H(n,N)

(2)?(3)、(4)顯然.

由U1U1*=PTT*P*，得trU1U1*=trTT*=r.注意到式子U1U1*+U2U2*=Ir，知U2=0.又由引理1知U3=0.由此經(jīng)演算得A2=A*.

推論1 設(shè)A∈Mn(H)，且rankA=r，且其奇異值分解如①所示，則A∈H(n,GP)?V*U=diag(U1,U2),U1∈Mr(H),U13=Ir，且D=Ir.

證明 充分性顯然.由定理1和2知D=Ir，又由定理2(4)?(1)可知必要性成立.

以下定理用不同的證明方法推廣了[2]中的定理1和2.

定理3 設(shè)A∈Mn(H)，且rankA=r，那么

(1)A∈H(n,HGP)?A=Hdiag(T,0)H*,其中H∈H(n,U)，且T為上三角矩陣，對(duì)角元素

(2)A∈H(n,GP)?A=Hdiag(T,0)H*,其中H∈H(n,U)，且T=diag(λ1,λ2,…,λr),

注1 由上述定理易知廣義投射影矩陣一定為超廣義投射影矩陣.

2 偏序應(yīng)用

自20世紀(jì)七八十以來，矩陣偏序的研究一直備受人們觀注，在這一節(jié)，我們考察廣義投射影矩陣和超廣義投射影矩陣在減序、左星序、右星序、星序中的部分應(yīng)用.

定義2[5]設(shè)A，B∈Mn(H)，

2)若A*A=A*B，且Rr(A)?Rr(B)，則記A*≤B.

3)若AA*=BA*，且Rl(A)?Rl(B)，則記A≤*B.

現(xiàn)證A*≤B?A≤*B.由[5]定理7.3.1存在U,V∈H(nU)，使得

推論2 設(shè)A，B∈Mb(H)，那么

2)若A*≤B，則Β≤H(n,PL)?A∈H(n,PL)；

3)若A≤*B，則B∈H(n,PL)?A∈H(n,PL).

定理5 設(shè)A,B∈Mn(H)，那么

(2)若A*≤B,B∈H(n,HGP)，則A∈H(n,EP)?A∈H(n,HGP)；

(3)若A≤*B,B∈H(n,HGP)，則A∈H(n,EP)?A∈H(n,HGP).

證明 由EP矩陣與超廣義投射影矩陣的定義，顯然A∈H(n,HGP)?A∈H(n,EP).若A*≤B,B∈H(n,HGP)，A∈H(n,EP)，由[5]定理7.3.1知存在U,V∈H(n,U),使得

其中V*U=diag(U1,U2,U3),U1∈Mr(H)，U2∈Mt-r(H).由B∈H(n,HGP)得(U1Dr)3=Ir.由定理1可知A∈H(n,HGP).因此，(2)成立.類似可證(1)，(3)成立.

定理6 設(shè)A，B∈Mn(H)，那么

(2)若A*≤B,B∈H(n,GP)，則A∈H(n,EP)?A∈H(n,GP)；

(3)若A≤*B,B∈H(n,GP)，則A∈H(n,EP)?A∈H(n,GP).

證明 廣義投射影矩陣一定為超廣義投射影矩陣，由EP矩陣與超廣義投射影矩陣的定義立得

A∈H(n,GP)?A∈H(n,EP).

A=Udiag(Dr,0,0)V*,B=Udiag(Dr,D,0)V*

其中V*U=diag(U1,U2,U3),U1∈Mr(H)，U2∈Mt-r(H).由于B∈H(n,PL)，可得diag(Dr*,D*,0)diag((Dr)-1,D-1,0)，得Dr=I.又由B∈H(n,GP)，有下列等式diag(U1,U2,U3)diag(Ir,D,0)diag(U1,U2,U3)diag(Ir,D,0)diag(U1,U2,U3)=diag(Ir,D*,0).從而(U1)3=Ir.由推論1可知A∈H(n,GP).

影矩陣，A也未必為EP矩陣.因此上述兩個(gè)定理中A∈H(n,EP)這個(gè)條件是不可缺的.例如

參考文獻(xiàn)：

[1]Gro J,Trenkler G..Generalized and hypergeneralized projectors[J].Linear Algebra and its Applications,1997,264:463-474.

[2]Baksalary K,Baksalary O M,Liu J X.Further properties of generalized projectors[J].Linear Algebra and its Applications,2004,389:295-303.

[3]Baksalary K,Baksalary O M.On linear combinations of generalized projectors[J].Linear Algebra and its Applications,2004,388:17-24.

[4]武玲玲,劉曉冀.廣義投影矩陣線性組合的研究[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào),2012,35(6).

[5]莊瓦金.體上矩陣?yán)碚搶?dǎo)引[M].北京:科學(xué)出版社,2006.