也談函數(shù)的單調(diào)性

胡鳳娟 保繼光

(1.首都師范大學(xué)教師教育學(xué)院 100048;2.北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100875)

函數(shù)是數(shù)學(xué)中的核心內(nèi)容，而單調(diào)性是函數(shù)的基本性質(zhì)，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn).但是，在教學(xué)實(shí)踐中存在著許多模糊認(rèn)識和錯(cuò)誤理解.準(zhǔn)確把握好函數(shù)單調(diào)性的概念教學(xué)，是切實(shí)關(guān)注通性通法的重要方面，更是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的需要.

本文首先討論了函數(shù)單調(diào)性的定義，然后給出在指數(shù)函數(shù)單調(diào)性、極值和最值教學(xué)中的相關(guān)建議.

1 函數(shù)單調(diào)性的定義

在現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材6個(gè)版本(人教A版、人教B版、北師大版、蘇教版、湘教版和鄂教版)中，函數(shù)單調(diào)性的定義大同小異，沒有本質(zhì)區(qū)別.追溯高中數(shù)學(xué)教材各時(shí)期的版本，函數(shù)單調(diào)性的敘述也是如此.據(jù)了解根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》正在修訂的教材中，函數(shù)單調(diào)性的定義也大同小異.下面是人教A版必修一中單調(diào)性的定義[1]：

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈：

如果對于定義域D內(nèi)某個(gè)區(qū)間I上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng)x1

如果對于定義域D內(nèi)某個(gè)區(qū)間I上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng)x1f(x2)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù)(decreasingfunction).

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

1.1 關(guān)于區(qū)分單調(diào)與嚴(yán)格單調(diào)的建議

查閱了諸多數(shù)學(xué)相關(guān)書籍，發(fā)現(xiàn)《中國大百科全書·數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)辭?！芬约啊稊?shù)學(xué)分析》的教科書基本上都明確區(qū)分了單調(diào)與嚴(yán)格單調(diào)的定義.下面給出《中國大百科全書·數(shù)學(xué)》中關(guān)于單調(diào)函數(shù)的描述[2]：

如果對D中任意兩數(shù)x1,x2，當(dāng)x1f(x2))總成立，則稱函數(shù)f為D上的嚴(yán)格增函數(shù)(嚴(yán)格減函數(shù))；增函數(shù)與減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)；嚴(yán)格增函數(shù)與嚴(yán)格減函數(shù)統(tǒng)稱為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)(這里并沒有清楚地說明D是否為區(qū)間).

有一些文獻(xiàn)將嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)(嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù))稱為增函數(shù)(減函數(shù))、將增函數(shù)(減函數(shù))等同于非減函數(shù)(非增函數(shù))[3][4]，這里不再展開敘述.

數(shù)學(xué)百科全書(Encyclopedia of Mathematics)[5]上的相關(guān)表述是：A real-valued functionfis said to be increasing over an interval if, over that interval, greater input values produce greater (or possibly equal) output values, that is, ifaandbare two values in the interval witha

綜上所述，我們建議函數(shù)單調(diào)性的定義如下：

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I?D，

(1)如果對于任意的x1,x2∈I，當(dāng)x1

(2)如果對于任意的x1,x2∈I，當(dāng)x1f(x2)，則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是嚴(yán)格減函數(shù)(strictly decreasing function).

由于定義域的英文是domain, 區(qū)間的英文是interval，所以將定義域和區(qū)間應(yīng)該分別簡記為D和I.

在這個(gè)定義下，可以借助導(dǎo)數(shù)給出函數(shù)的單調(diào)性的充要條件.

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則

(1)y=f(x)是I上增函數(shù)的充要條件是f′(x)≥0，x∈I;

(2)y=f(x)是I上減函數(shù)的充要條件是f′(x)≤0，x∈I.

判斷函數(shù)f(x)=x5在實(shí)數(shù)集R上是增函數(shù).

當(dāng)然，如果想進(jìn)一步判斷嚴(yán)格單調(diào)性，還需要更細(xì)致的討論.事實(shí)上，不難證明：設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo).(1)若在區(qū)間I上f′(x)≥0，且僅在有限個(gè)點(diǎn)為0，則y=f(x)是區(qū)間I上的嚴(yán)格增函數(shù)；(2)若在區(qū)間I上f′(x)≤0，且僅在有限個(gè)點(diǎn)為0，則y=f(x)是區(qū)間I上的嚴(yán)格減函數(shù).

這樣一來，不僅把單調(diào)性問題陳述的更加簡明，同時(shí)也與大學(xué)階段的函數(shù)單調(diào)性的定義，以及它的英文表述一致，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性.

1.2 關(guān)于淡化單調(diào)區(qū)間概念的建議

根據(jù)中學(xué)教材中現(xiàn)行單調(diào)區(qū)間的定義，若區(qū)間I是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，則區(qū)間I的任意一個(gè)子區(qū)間也是y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，也就是說對于給定的函數(shù)單調(diào)區(qū)間不是唯一確定的！這是定義中的大忌.

在教學(xué)和評價(jià)中，單調(diào)區(qū)間常常被默認(rèn)為是使得函數(shù)單調(diào)的最大區(qū)間.但是，在實(shí)踐中對區(qū)間端點(diǎn)的認(rèn)識還是不到位.另外，需要注意的是，函數(shù)的單調(diào)性是整體性質(zhì)，只能在給定的區(qū)間上討論，不能在某一點(diǎn)討論.比如，問題“f(x)=x2在x=0是單調(diào)上升還是單調(diào)下降？”本身就是不科學(xué)的！

例如在人教A版教材中有考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的例題，在習(xí)題中也有類似的題目，如下[6]：

例1圖1.3-4是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

圖1.3-4

解函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5].其中y=f(x)在區(qū)間[-5，-2)，[1，3)上是減函數(shù)，在 [-2，1)，[3，5]上是增函數(shù).

實(shí)際上，根據(jù)現(xiàn)行單調(diào)區(qū)間的定義，函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間可以是[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，也可以是它們各自的任意子區(qū)間；按照默認(rèn)的最大單調(diào)區(qū)間的理解，函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)該是[-5，-2]，[-2，1]，[1，3]，[3，5].原因是閉區(qū)間比相應(yīng)的半開半閉區(qū)間更大.

高考中也經(jīng)常會考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.例如2018年天津理科卷第20題：已知函數(shù)f(x)=ax，g(x)=logax，其中a>1.第1問是：求函數(shù)h(x)=f(x)-xlna的單調(diào)區(qū)間.該題的答案是：函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(-∞,0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).實(shí)際上，根據(jù)現(xiàn)行單調(diào)區(qū)間的定義，函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間可以是(-∞,0)，也可以是(-1,0)或(-2,-1)；按照默認(rèn)的最大單調(diào)區(qū)間的理解，函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間應(yīng)該是(-∞,0]，它比(-∞,0)更大.類似地，單調(diào)遞增區(qū)間應(yīng)該是[0,+∞).

基于上述原因，我們認(rèn)為，教材中最好不出現(xiàn)單調(diào)區(qū)間這個(gè)概念.如果出現(xiàn)，就應(yīng)該理解為最大的單調(diào)區(qū)間.只有這樣概念才具有確定性和唯一性.

2 指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)

在指數(shù)函數(shù)的教學(xué)中，一般是通過“看圖說話”的方法獲得它的單調(diào)性.給出具體指數(shù)函數(shù)(如：y=2x和y=3x)的圖像，進(jìn)而“粗暴地”抽象出指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.一些教材還讓學(xué)生通過計(jì)算機(jī)進(jìn)一步驗(yàn)證指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.這種從特殊到一般的處理方式，非常具體、直觀，學(xué)生易于理解，但在凸顯直觀的同時(shí)，過多地喪失了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

如何更好的得到指數(shù)函數(shù)y=ax在實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)性呢？

不妨認(rèn)為a>1, 要討論指數(shù)函數(shù)y=ax在實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性的定義，就是要在R上任取兩個(gè)數(shù)x1，x2，且x1>x2，進(jìn)而判斷ax1-ax2的正負(fù).根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，ax1-ax2=ax2ax1-x2-1，且ax2>0.因此要判斷ax1-ax2的正負(fù)，只需判斷ax1-x2-1的正負(fù)，即ax1-x2與1的大小關(guān)系.這歸結(jié)為當(dāng)x>0，ax與1的大小關(guān)系.

下面討論當(dāng)a>1和x>0時(shí)，ax與1的大小關(guān)系.

(1)若x是正整數(shù)，則ax是x個(gè)a的乘積，因?yàn)閍>1，所以ax>1；

至此，我們證明了當(dāng)a>1和x>0時(shí)ax>1，從而指數(shù)函數(shù)y=axa>1在實(shí)數(shù)集R上是(嚴(yán)格)增函數(shù).

以上給出了證明指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的一個(gè)方法.除了(3)中“用有理數(shù)逼近無理數(shù)”以外均是嚴(yán)格的邏輯推理，而這種逼近的模糊處理方式與引入無理數(shù)指數(shù)冪的方式是一致的.我們認(rèn)為，在不額外增加難度和課時(shí)的前提下，還是應(yīng)該盡可能避免“看圖說話”，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.直觀只能用來啟發(fā)思維，不能代替證明！

3 函數(shù)單調(diào)性與極值、最值的關(guān)系

函數(shù)的極值和最值是兩個(gè)既與單調(diào)性密切相關(guān)，又與單調(diào)性截然不同的概念.討論極值和最值不一定必須搞清楚函數(shù)的單調(diào)性，更不需要弄清函數(shù)在整個(gè)定義域上的單調(diào)情況.

3.1 極值不一定與單調(diào)性有關(guān)

在現(xiàn)行教學(xué)過程中，求函數(shù)的極值通常采取如下做法(選自北師大版選修2-2)[2]：

例3求函數(shù)f(x)=3x3-3x+1的極值.

根據(jù)x1，x2列出表3-4，分析f′(x)的符號、f(x)的單調(diào)性和極值點(diǎn).

表3-4

來說，x=0是f(x)的極小值點(diǎn)，但是在包含x=0的任何區(qū)間內(nèi)均無單調(diào)性.

2018年北京理科第18題就著重考察了極值的局部性：設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex．若f(x)在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.

解：因?yàn)閒(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]·ex，所以f(2)=e2.

f′(x) =[2ax-(4a+1)]ex+[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex

=[ax2-(2a+1)x+2]ex

=(ax-1)(x-2)ex．

3.2 最值不一定與單調(diào)性有關(guān)

在中學(xué)階段求函數(shù)的最值，一般(如人教A版、北師大版、蘇教版)使用如下的方法[8][9]：

一般地，求函數(shù)y=f(x)的在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：

(1)求函數(shù)y=f(x)的在(a,b)內(nèi)的極值；

(2)將函數(shù)y=f(x)的各極值點(diǎn)與端點(diǎn)處的函數(shù)值fa，fb比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.

實(shí)際上，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的最大值fx0指的是：函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)所有點(diǎn)處的函數(shù)值都不超過fx0(如下圖).

由上圖可以看出，極大值點(diǎn)也是導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn).因此，要想求出函數(shù)f(x)的最大值，可以首先求出f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)，然后將所有導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大的值為函數(shù)的最大值.函數(shù)的最小值的求法類似[10].

這樣做的好處是，減少了對導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)是否是極值點(diǎn)的討論，而是不管導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，直接將所有導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較.

例如：人教A版選修2-2中[11]，

這個(gè)解決問題的思路還需要借助教材中的例4，實(shí)際篇幅比現(xiàn)在的兩倍還多.如果直接將所有導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，解答過程可以如下：

這與原解答得到的結(jié)論一樣，但是解決問題的過程不僅變得更加簡潔，重要的是解決問題的思路更接近數(shù)學(xué)的本質(zhì).