中學(xué)數(shù)學(xué)中概率的相關(guān)概念辨析
——從一道高考題談起

趙 軒 任子朝

(教育部考試中心 100084)

1 引言

2018年高考全國Ⅰ卷第20題是一道概率統(tǒng)計(jì)大題，該題目內(nèi)容如下：

某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0.

(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；

(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

這道題是試卷中難度較高的一道大題，題目涉及的知識范圍較廣，包括獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率模型、二項(xiàng)分布的概念和應(yīng)用、概率的計(jì)算、函數(shù)求導(dǎo)、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算與應(yīng)用、統(tǒng)計(jì)中參數(shù)的估計(jì)等.這道題綜合考查了很多概率知識，考查內(nèi)容豐富，題目文字量較多，難度相對較大，因此在考后受到高校概率專家和中學(xué)教師的廣泛關(guān)注，并引發(fā)了討論.本文通過對題目進(jìn)行分析和解讀，對于其中涉及到的一些概率與統(tǒng)計(jì)的基本概念進(jìn)行辨析，就中學(xué)教學(xué)中概率相關(guān)知識的一些問題進(jìn)行說明，以期助力中學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)知識的教學(xué)與高考對相關(guān)內(nèi)容的考查.

2 概率

大多數(shù)人對于概率這個概念的直觀認(rèn)識是：概率就是一個事件發(fā)生的可能性大小，這種認(rèn)識符合初學(xué)者的認(rèn)知水平，也是傳統(tǒng)概率論的出發(fā)點(diǎn)之一.上世紀(jì)30年代，隨著測度論的產(chǎn)生和發(fā)展，人們對于概率的認(rèn)識更加深入，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Kolmogorov在此基礎(chǔ)上建立了現(xiàn)代概率論的公理化體系.“概率”這個概念也有了明確而具體的定義.

由定義1可以看出，集合S上的任何一個σ-代數(shù)都是S的冪集(S的冪集是由S的所有子集組成的集合，記作2S，即2S={A|A?S})的一個子集，特別地，S的冪集也是集合S上的一個σ-代數(shù)(S的冪集也稱作S上的離散拓?fù)?，表示S上最細(xì)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)).對于集合S而言，其上的任何一個σ-代數(shù)都是對S的結(jié)構(gòu)的一種刻畫，在此結(jié)構(gòu)下，這個σ-代數(shù)中的元素稱為可測集.

在中學(xué)概率統(tǒng)計(jì)部分的教學(xué)中，我們所處理的都是有限集，一般把一個試驗(yàn)的所有可能結(jié)果的全體稱為這個試驗(yàn)的樣本空間，樣本空間的任意子集稱為一個事件，樣本空間中的元素(即試驗(yàn)結(jié)果)稱為樣本點(diǎn).需要說明的是，大學(xué)教材中對于事件的定義是樣本空間的可測子集，由于中學(xué)生沒有可測集的概念，因此在中學(xué)教學(xué)中定義為樣本空間的任意子集，那么按照這個定義，如果把樣本空間記為S，所有事件的全體構(gòu)成的集合就是2S.

通過以上定義，我們得到了一個三元組(S,Ω,P)，這個三元組就稱為一個概率空間.其中S代表樣本空間，Ω是S中可測集的全體(更具體地說，Ω中的任意一個元素都是S的可測子集，從而是一個事件，因此Ω是所有事件構(gòu)成的集合)，P為S上的概率.值得注意的是，概率并不是對于所有子集均有定義，而是定義在所有可測集(事件)之上.在中學(xué)階段的教學(xué)中，可以省略對于可測集的說明，認(rèn)為S的所有子集都是可測的，這時三元組(S,Ω,P)中的Ω=2S，可把概率空間定義中的三元組簡化為二元組(S,P).從定義可以看出，所謂概率就是一個函數(shù)(更準(zhǔn)確的說是一個測度)，定義在所有事件的集合之上，描述了事件發(fā)生的可能性大小.

對于解決概率問題而言，很重要的一點(diǎn)是能夠正確認(rèn)識和理解其中的概率空間，特別是樣本空間.以本題為例，“每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

另外需要指出的是，產(chǎn)品在生產(chǎn)出來后，合格或不合格就已經(jīng)確定，其是否合格的狀態(tài)是一個確定的試驗(yàn)結(jié)果，而不是樣本空間.也就是說，生產(chǎn)一件產(chǎn)品有兩個可能的結(jié)果(樣本空間)，抽查一件產(chǎn)品檢驗(yàn)只有一種結(jié)果(試驗(yàn)結(jié)果，即樣本空間中的一個樣本點(diǎn)).但在沒有檢驗(yàn)前，并不能判斷其是否合格.我們可以類比地考慮下面的問題：(1)一個盒子里一個正在轉(zhuǎn)動的硬幣落地時出現(xiàn)正面的概率；(2)盒子里硬幣落地后，在還沒看到的情況下，猜它是正面的“概率”.由于無法判斷結(jié)果，因此可以認(rèn)為兩個問題中的“概率”是一致的.同理，在本題中，“每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

3 隨機(jī)變量

大學(xué)概率論教材中對于隨機(jī)變量的定義也是公理化的，其中有些概念超出了中學(xué)生的知識范圍，但對于中學(xué)教師來說，應(yīng)該有所了解.

定義3設(shè)(S,Ω,P)是一個概率空間，若X是S上的一個實(shí)值可測函數(shù)，則稱X為S上的一個隨機(jī)變量.

從定義中可以看出，隨機(jī)變量是一個定義在樣本空間上的函數(shù)，隨機(jī)變量本身既不“隨機(jī)”，也不是變量.隨機(jī)變量的“隨機(jī)性”體現(xiàn)在概率P的分布之中.關(guān)于樣本空間也存在類似的理解誤區(qū)，樣本空間是試驗(yàn)結(jié)果的全體，里面的元素不是隨機(jī)的，隨機(jī)體現(xiàn)在抽取這些樣本是“隨機(jī)”的，這是一個描述，不是一個定義.

值得注意的一點(diǎn)是，題目第(2)問中“現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品”這個條件即不是對樣本空間，也不是對隨機(jī)變量的描述，而是給出了一個確定的檢驗(yàn)結(jié)果(試驗(yàn)結(jié)果)，這個試驗(yàn)結(jié)果是樣本空間S1×S2×…×S20中的一個元素(樣本點(diǎn)).此外在統(tǒng)計(jì)中，“檢驗(yàn)20件產(chǎn)品恰有2件不合格”可理解為對頻率的一種描述，一般來說檢驗(yàn)結(jié)果中不合格品出現(xiàn)的頻率與產(chǎn)品制造時不合格的概率可以不相同.在本題第(2)問中“對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品”的概率與制作20件產(chǎn)品恰有2件不合格的概率是相同的，因此“以(1)中確定的p0作為p的值”體現(xiàn)了極大似然估計(jì)的思想.

4 獨(dú)立性

我們知道，在概率空間(S,Ω,P)中，兩個事件A,B獨(dú)立的定義是P(AB)=P(A)P(B).討論事件獨(dú)立性的前提是所有事件都包含在同一個概率空間中.事件獨(dú)立不應(yīng)簡單地直觀理解為兩個事件之間沒有關(guān)聯(lián)，事件的獨(dú)立性可以理解為一種比例關(guān)系.

值得注意的是，在隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義中，所有隨機(jī)變量都定義在同一個概率空間上.對于定義在不同概率空間上的隨機(jī)變量，若要討論其獨(dú)立性，需要將它們統(tǒng)一到同一個概率空間中，即在它們所在的概率空間的乘積空間上進(jìn)行討論.

在本題中，“每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

5 關(guān)于解答的一些補(bǔ)充

基于上述討論，可以給出本題的一種解答：

令f′(p)=0，得p=0.1.當(dāng)p∈(0,0.1)時，f′(p)>0；當(dāng)p∈(0.1,1)時，f′(p)<0.所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0=0.1.

(2)由(1)知，p=0.1.

(i)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180,0.1)，X=20×2+25Y，即X=40+25Y.

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ii)如果對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.

由于EX>400，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

如對本題中的概率空間(樣本空間)沒有正確的理解，混淆了定義，可能會導(dǎo)致解題中出現(xiàn)錯誤，例如，一種典型的錯誤就是誤用超幾何分布進(jìn)行計(jì)算.事實(shí)上超幾何分布中三個參數(shù)N,M,n的含義可以理解為：已知N件產(chǎn)品中有M件不合格品，不放回的抽取n件時，其中的不合格品個數(shù)k的分布；本題中事先并不知道一箱產(chǎn)品中不合格品的總數(shù)，因此不應(yīng)使用超幾何分布進(jìn)行描述.

部分教師認(rèn)為“每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

對于統(tǒng)計(jì)類題目來說，答案往往存在一定開放性，對同一個問題，可能有多種理解角度，能夠采用不同的統(tǒng)計(jì)方法，而不同統(tǒng)計(jì)方式可能產(chǎn)生不同結(jié)果.本文中給出的是基于生產(chǎn)實(shí)際的一種解法.事實(shí)上，在實(shí)際生產(chǎn)中，面對大批量產(chǎn)品時，產(chǎn)品檢驗(yàn)都是成批次進(jìn)行，題干中也給出了“根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)”這條說明，因此，在上述解答過程中產(chǎn)品檢驗(yàn)只分兩種情況討論：要么對余下產(chǎn)品都進(jìn)行檢驗(yàn)，要么都不檢驗(yàn)，不存在第三種情況.

6 小結(jié)

今年高考全國I卷第20題綜合考查了概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識和基本思想方法，以及學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)的概率與統(tǒng)計(jì)知識分析問題、解決問題的能力.試題設(shè)計(jì)較新穎，蘊(yùn)含了極大似然估計(jì)的統(tǒng)計(jì)思想，情境熟悉而不落俗套，具有一定難度，有較好的選拔功能.正確理解此題，需要學(xué)生能夠正確掌握概率、隨機(jī)變量、獨(dú)立性等定義，了解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率模型、二項(xiàng)分布等概念和應(yīng)用范圍，并能將所學(xué)知識靈活運(yùn)用.本題強(qiáng)調(diào)了對于基本概念的考查，對于中學(xué)教學(xué)具有很好的導(dǎo)向作用，引導(dǎo)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)回歸教材、重視概念.

在中學(xué)階段，學(xué)生僅具備初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此概率、統(tǒng)計(jì)上的許多概念，其公理化的嚴(yán)格定義很難讓中學(xué)生理解并接受，但作為中學(xué)教師應(yīng)該正確理解，并在教學(xué)過程中根據(jù)嚴(yán)謹(jǐn)性和量力性原則進(jìn)行直觀的解釋，而不是錯誤的解釋.特別是不能混淆概率中的概念和統(tǒng)計(jì)中的概念，比如概率和頻率，在教學(xué)中可以將此類概念進(jìn)行對比說明.此外，還應(yīng)突出重要概念的實(shí)際意義，突出用概率、統(tǒng)計(jì)方法解決問題的基本思想，突出知識的綜合應(yīng)用，通過實(shí)際問題加深學(xué)生對于概念的認(rèn)識.讓學(xué)生將抽象的概念與具體的生活實(shí)際相結(jié)合，從而幫助其進(jìn)一步理解這些概念的深層次內(nèi)涵.

在中學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)部分的教學(xué)中，比較容易出現(xiàn)重視做題忽視概念教學(xué)的情況，更加注重對各種題型的解法技巧訓(xùn)練，而忽略了對基本概念的理解.但對于知識的內(nèi)化和遷移，則需要建立在對概念深刻理解、靈活應(yīng)用的基礎(chǔ)之上.中學(xué)階段所學(xué)的這些基本內(nèi)容在大學(xué)階段的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中將起到極其重要的作用，是深入學(xué)習(xí)和理解后續(xù)數(shù)學(xué)知識的基石，因此中學(xué)教學(xué)中應(yīng)該進(jìn)一步強(qiáng)化概念基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)對于知識和概念本質(zhì)的理解.高考作為高校選拔新生的測試，今后也應(yīng)進(jìn)一步加強(qiáng)基本概念考查，對中學(xué)教學(xué)發(fā)揮積極的導(dǎo)向作用，引導(dǎo)中學(xué)注重基本概念、基本原理的教學(xué)，打破機(jī)械刷題的學(xué)習(xí)模式.