活動啟思維，證法顯本質(zhì)
——“三角形內(nèi)角和定理證明”教學(xué)感悟

☉江蘇省宿遷市實驗學(xué)校 王曉明

教學(xué)活動的根本任務(wù)不僅是向?qū)W生傳授知識，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的多種能力.然而在應(yīng)試教育的大背景下，追求考試分數(shù)是所有教師不能回避的客觀現(xiàn)實，這往往會導(dǎo)致教學(xué)過程中“涸澤而漁”.數(shù)學(xué)課堂突出表現(xiàn)為輕數(shù)學(xué)定義和定理的探究和發(fā)現(xiàn)過程、重結(jié)論的應(yīng)用，導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)啟發(fā)學(xué)生思維、提升學(xué)生能力這一作用的缺失.本文以“三角形內(nèi)角和定理證明”為例，談?wù)劇皾M足應(yīng)試需求與培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力”和諧統(tǒng)一的做法與思考.

一、基本情況分析

“三角形的內(nèi)角和”是三角形的重要內(nèi)容，是許多有關(guān)角度計算問題的重要依據(jù)，蘇科版教材將它編寫在七年級下冊.安排了如下內(nèi)容：第7章的“章頭圖”，用做一做，引導(dǎo)學(xué)生通過做（操作、實驗等）嘗試解決問題，激發(fā)學(xué)生探索三角形內(nèi)角和的熱情；“7.5多邊形的內(nèi)角和與外角和”中通過旋轉(zhuǎn)三角形的一邊，來探索三角形內(nèi)角和為180°并對定理做基本應(yīng)用；第12章“12.2證明”中，通過將三個內(nèi)角剪拼成平角得到啟示，添加平行線實現(xiàn)移角，來完成定理的證明.

教學(xué)目標：探索驗證三角形三個內(nèi)角之間的關(guān)系.經(jīng)歷觀察、操作、猜想、歸納、驗證、交流等活動過程，發(fā)展空間觀念和有條理的表達能力.

教學(xué)難點：將三角形的三個內(nèi)角“搬”到一起.

二、教學(xué)過程與分析

活動1：拼圖

活動：把圖1所示的△ABC的3個內(nèi)角撕開，然后把它們的頂點A、B、C重合在同一點B處，∠A、∠C可以拼到∠B兩側(cè)，也可拼到∠B的同側(cè)，分別如圖2、圖3所示，但拼得的最終都是如圖4所示的圖形.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

思考：（1）拼圖的本質(zhì)是什么？是將三角形的三個內(nèi)角移到它所在平面內(nèi)的任意一點處組成一個平角.（2）觀察拼成的新角的兩邊，發(fā)現(xiàn)在同一條直線上，于是猜想任意三角形的內(nèi)角和都等于180°.

驗證：觀察圖2，發(fā)現(xiàn)新角的兩邊在一條直線上，得到啟示：過△ABC的頂點B作AC的平行線得到圖5；觀察圖3，得到啟示：將AB延長、過△ABC的頂點B作AC的平行線得到圖6；觀察圖4，△ABC的三個內(nèi)角放在它所在平面的任意一點處，拼成一個新角，這個新角的兩邊在一條直線上，啟示我們，可以在△ABC所在平面內(nèi)任意一點分別作三角形三邊的平行線，得到圖7；圖5、6、7均是通過作平行線，實現(xiàn)將三角形的三個內(nèi)角平移到它所在平面內(nèi)的同一個點處得到平角.

證法1：如圖5，過點B作AC的平行線EF.由平行線的性質(zhì)，得到∠CBF=∠C，∠ABE=∠A.因為∠CBF+∠ABC+∠ABE=∠EBF=180°，所以∠A+∠ABC+∠C=180°.

證法2：如圖6，延長AB至點E，過點B作BF平行于AC.由平行線的性質(zhì)，得到∠CBF=∠C，∠FBE=∠A.因為∠ABC+∠CBF+∠FBE=∠ABE=180°，所以∠A+∠ABC+∠C=180°.

證法3：如圖7，過△ABC外任意一點O，分別作三邊的平行線DE、FG、HK.由平行線的性質(zhì)，得到∠A=∠KOE，∠B=∠FOD，∠C=∠FOK.由于∠FOD+∠FOK+∠KOE=∠DOE=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°.

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)的基本概念、公理（定理）、法則（公式），是解決問題的基本策略、思路、方法，是數(shù)學(xué)問題中蘊含的抽象、推理、模型等基本思想.以上正是基于數(shù)學(xué)本質(zhì)，用好教材提供的素材，抓住新知識和舊知識的矛盾沖突點，抓住思考問題的關(guān)鍵點，在教學(xué)數(shù)學(xué)知識的同時發(fā)展了學(xué)生的能力.

圖7

活動2：拼圖

活動：把一張長方形紙片按圖8所示對折兩次得到圖9；在圖9中畫一個不等邊三角形并剪下，得到圖10中4張形狀、大小相同的三角形紙片.（蘇科版教材七年級下冊第7章的“章頭圖”）

圖8

圖9

圖12

圖10

圖11

思考：你能用這4張小三角形紙片拼成一個大三角形嗎？（能拼成一個大三角形）觀察拼成的大三角形的三邊，每條邊上都有一個新拼成的平角，由于這4張小三角形紙片完全一樣，因此每條邊上的平角的三個角相當于由一個三角形的三個內(nèi)角組成.這一操作也讓我們猜想到任意三角形的內(nèi)角和都等于180°.

驗證：觀察圖12得到啟示，可以過△ABC三邊上任意一點作另外兩邊的平行線，實現(xiàn)將三角形的三個內(nèi)角同時移到三角形的邊上某一點處構(gòu)成平角.

證法4：如圖12，過△ABC的邊AB上任意一點O，分別作DE平行于BC，GH平行于AC.由平行線的性質(zhì)，因為AC∥GH，所以∠A=∠HOB，∠DOH=∠ADO；因為DE∥BC，所以∠B=∠DOA，∠C=∠ADO，所以∠DOH=∠C.因為∠DOA+∠DOH+∠HOB=∠AOB=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°.

設(shè)計意圖：教學(xué)的基本原則：讓學(xué)生深度思考，讓學(xué)生在思考中收獲對知識本質(zhì)的理解，讓學(xué)生在思考過程中收獲對方法策略的領(lǐng)悟.以上兩個操作活動正是基于此原則，使學(xué)生經(jīng)歷在活動中探索、驗證三角形內(nèi)角和定理的過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展有條理的思考與表達能力.

活動3：旋轉(zhuǎn)

活動：如圖13，在△ABC的邊AC所在的直線繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，直線AC與邊BC的延長線分別交于點C1、C2、C3……

圖13

圖14

問題：（1）在上述過程中，△ABC哪些角的大小發(fā)生了變化？（2）度量∠BAC與∠ACB、∠BAC1與∠AC1B、∠BAC2與∠AC2B、∠BAC3與∠AC3B，并求它們的和，你發(fā)現(xiàn)了什么？（3）當直線AC繞點A旋轉(zhuǎn)到AC′，使AC′∥BC時，度量∠BAC′的度數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？結(jié)論：邊AC所在的直線繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，∠BAC逐漸變大，∠ACB逐漸變小.通過度量計算，4組角度的和相等.當AC′∥BC時，度量∠BAC′的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)與前4組角度的和相等.

思考：我們知道兩直線平行同旁內(nèi)角互補即和為180°.當AC′∥BC時，∠B+∠BAC′=180°.在△ABC中，如果∠BAC+∠ACB=∠BAC′，則∠B+∠BAC+∠ACB=180°，通過旋轉(zhuǎn)變換，我們直觀猜想到任意三角形的內(nèi)角和都等于180°.

驗證：由圖13得到啟示.

證法5：過△ABC的頂點A作AC′∥BC，如圖14，由平行線的性質(zhì)，得∠CAC′=∠C，∠B+∠BAC′=180°，則∠B+∠BAC+∠CAC′=∠B+∠BAC+∠C=180°.

設(shè)計意圖：通過運動變化的觀點，來探究證明過程，這使得合情推理、演繹推理及圖形運動有機結(jié)合.活動1、2通過作平行線實現(xiàn)角的平移，構(gòu)造平角180°模型；活動3通過旋轉(zhuǎn)變換，啟示過三角形任一頂點作對邊的平行線，構(gòu)造兩直線平行同旁內(nèi)角互補的幾何模型.

三、關(guān)于幾何定理證明教學(xué)的反思

1.注重新知識和舊知識的聯(lián)系

幾何命題的證明我們通常采用分析法和綜合法.分析法從“和等于180°”來思考，學(xué)生的已有知識結(jié)構(gòu)中有“平角及平行狀態(tài)下的同旁內(nèi)角和是180°”，因此確定證明三角形內(nèi)角和定理的兩條基本思路：一是如何將三角形的三個內(nèi)角放在一起組成一個平角，二是如何將三角形的三個內(nèi)角放在兩直線平行同旁內(nèi)角互補的背景下.綜合法結(jié)合操作活動的實物圖，抽象出添輔助線的方法，然后利用平行線的性質(zhì)實現(xiàn)：將三個內(nèi)角放在一起組成一個平角、三個內(nèi)角放在兩直線平行同旁內(nèi)角互補的背景下，從而證明三角形的內(nèi)角和是180°.

教師通過引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)與三角形內(nèi)角和相關(guān)的舊知識、回憶學(xué)生在小學(xué)借助測量法和拼圖法知道三角形的內(nèi)角和為180°；教師通過放手讓學(xué)生經(jīng)歷剪、拼過程，得到直觀圖形，再次感知三角形的內(nèi)角和為180°；由于直觀判斷不可靠，靠直觀無法做出準確的判斷，因此提出新的學(xué)習(xí)任務(wù)，怎樣通過理論證明任意三角形“三個內(nèi)角的和等于180°”.注重知識銜接，注重知識間的相互關(guān)系，教學(xué)知識自然生長.

2.注重問題解決的過程

數(shù)學(xué)定理的結(jié)論固然重要，但如何得到結(jié)論更重要.數(shù)學(xué)教材為了便于知識的傳授，往 往略去數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程.對定理的知識掌握是顯性知識起作用，對概念的得到、理解和應(yīng)用則是隱性知識起作用.三角形內(nèi)角和定理的證明，是學(xué)生接觸到的第一個真正意義上的定理證明.為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，教師教學(xué)中一個重要的任務(wù)就是要依據(jù)課堂教學(xué)的思維過程而精心設(shè)計，還原數(shù)學(xué)思維的過程.教師著重分析證明思路，將證明思路的探索過程盡可能暴露在學(xué)生面前，學(xué)生經(jīng)歷了試驗、歸納、猜想等發(fā)現(xiàn)思考的探索過程，從而逐步掌握分析問題、解決問題的方法.

3.注重數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)

學(xué)生學(xué)完數(shù)學(xué)知識后能夠做什么，這是我們數(shù)學(xué)教師思考關(guān)注的重要內(nèi)容.教學(xué)中，不僅要學(xué)生理解和掌握定理，重要的是讓學(xué)生領(lǐng)悟隱含于數(shù)學(xué)問題探索中的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生從中掌握關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法方面的知識，獲得和應(yīng)用策略性知識，使之學(xué)會高效學(xué)習(xí).教學(xué)中從多角度探索，問題解決是經(jīng)過學(xué)生思考理解后完成的，學(xué)生是學(xué)會的，而不是教會的.這使得學(xué)生在學(xué)會知識的同時更發(fā)展了能力.

數(shù)學(xué)是思維的體操，實踐操作活動是培養(yǎng)學(xué)生思維的重要手段；探索多種解法是鍛煉學(xué)生思維的最佳途徑.在活動操作中，抓住問題的本質(zhì)和規(guī)律，給學(xué)生留有思考和探索的余地，通過追根究底，讓學(xué)生不僅“知其然”更“知其所以然”；在定理證明中，抓住問題的關(guān)鍵點，給學(xué)生留有思考的時間和空間，通過探索多種證明方法，讓學(xué)生在解決問題中，不僅學(xué)到了知識更發(fā)展了解題能力.正如數(shù)學(xué)家波利亞所說：教師講了什么并非不重要，但更重要千萬倍的是學(xué)生想了些什么，學(xué)生的思路應(yīng)該在學(xué)生自己的頭腦中產(chǎn)生，教師的作用在于“系統(tǒng)地給學(xué)生發(fā)現(xiàn)事物的機會”.F