經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)，深度建構(gòu)概念
——《因數(shù)與倍數(shù)》教材解讀及教學(xué)建議

○朱 宇

《因數(shù)與倍數(shù)》是人教版五年級下冊第二單元的教學(xué)內(nèi)容，主要包括：因數(shù)和倍數(shù)，2、5、3的倍數(shù)的特征，質(zhì)數(shù)和合數(shù)。本單元著重教學(xué)自然數(shù)之間的因數(shù)與倍數(shù)關(guān)系，求各個自然數(shù)的因數(shù)與倍數(shù)。這些知識能豐富學(xué)生對自然數(shù)的認(rèn)識，為后續(xù)分?jǐn)?shù)教學(xué)做準(zhǔn)備。

一、教材變化點

1.通過刪減、調(diào)整，精簡概念。

新教材不再出現(xiàn)“整除”的概念，著重讓學(xué)生感知因數(shù)與倍數(shù)的內(nèi)涵，領(lǐng)悟它們之間的相互依存關(guān)系。新教材還精簡了分解質(zhì)因數(shù)、互質(zhì)數(shù)等概念，安排在“你知道嗎”欄目進(jìn)行介紹。另外，新教材對公因數(shù)、最大公因數(shù)和公倍數(shù)、最小公倍數(shù)等內(nèi)容做了調(diào)整，后移到“分?jǐn)?shù)的意義與性質(zhì)”單元，作為約分、通分的知識基礎(chǔ)。這樣處理，既分散了學(xué)習(xí)難點，又突出了公因數(shù)、公倍數(shù)的應(yīng)用價值。

2.優(yōu)化思維材料，引導(dǎo)探究。

從“2、5的倍數(shù)特征”到“3的倍數(shù)特征”，再到“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”，都用百數(shù)表貫穿始終，有助于學(xué)生在整數(shù)特征的探究過程中更好地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，理解概念。教材新增了研究兩數(shù)之和奇偶性的純數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生經(jīng)歷用算式表征問題——舉例、說理、圖示——獲取結(jié)論——舉例驗證的過程，適度體現(xiàn)數(shù)學(xué)的抽象性。這樣編排，與數(shù)論知識本身具有的抽象性以及高年級適度培養(yǎng)抽象思維的要求相適應(yīng)。

3.重視拓展延伸，積淀素養(yǎng)。

內(nèi)容精簡之后，教材穿插編排了“你知道嗎”“生活中的數(shù)學(xué)”等欄目，安排較多的拓展性知識作為閱讀資料提供給學(xué)生。例如，介紹完全數(shù)的概念，奇數(shù)和偶數(shù)在日常生活中的應(yīng)用等，以豐富學(xué)生的數(shù)論知識，激發(fā)探求的欲望，培養(yǎng)學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)持久而穩(wěn)定的興趣。

二、年段銜接點

因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)以及第四單元中的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)都屬于初等數(shù)論的基本內(nèi)容。

在數(shù)論中，數(shù)的整除理論是最為基本的理論。學(xué)習(xí)本單元知識之前，學(xué)生對整數(shù)的認(rèn)識和四則運算、對乘除法的互逆關(guān)系有了一定深度的理解，對倍的認(rèn)識也比較深刻，這些都是本單元學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。但學(xué)生往往把因數(shù)和倍數(shù)割裂成孤立的運算，認(rèn)為因數(shù)存在于整數(shù)、小數(shù)乘法運算中，倍數(shù)存在于整數(shù)、小數(shù)除法中，把“倍”和“倍數(shù)”混為一談。

從整個小學(xué)學(xué)段教材看，本冊教材第四單元《分?jǐn)?shù)的意義與性質(zhì)》是本單元內(nèi)容的后續(xù)，包括最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)、通分和約分。第六單元《分?jǐn)?shù)的加法和減法》中異分母分?jǐn)?shù)加減法也是本單元學(xué)習(xí)價值的體現(xiàn)。

三、教學(xué)難點與破解策略

1.難點之一：學(xué)生已有的關(guān)于“倍”的認(rèn)知對“倍數(shù)”概念的干擾。

在實際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)倍數(shù)與因數(shù)時，學(xué)生往往聯(lián)想到二年級時就學(xué)過的“倍”的知識，并在頭腦中把這兩個相似的概念“等同”起來。

從數(shù)學(xué)意義上說，“倍”是指數(shù)量之間的關(guān)系，建立在乘法概念的基礎(chǔ)之上，在實際教學(xué)中，是從“個”和“份”逐步抽象出來的數(shù)學(xué)概念。例如甲繩長1.5米，乙繩長4.5米，如果把甲繩的長度看成1份，那么乙繩的長度就是3份，兩者的長度關(guān)系就可以說成“乙繩的長度是甲繩的3倍”。

“倍數(shù)”是指數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，它是建立在“數(shù)的整除”之上，與“因數(shù)”同時建立的概念。倍數(shù)和因數(shù)一樣，都必須是非零的自然數(shù)。而“倍”則不同，分?jǐn)?shù)、小數(shù)都可以表示。

破解策略：

（1）在“式”中追問。因數(shù)和倍數(shù)是描述自然數(shù)之間關(guān)系的概念，客觀存在于兩個具體的自然數(shù)之間，因此可以從除法算式出發(fā)，引出因數(shù)和倍數(shù)概念。教學(xué)中要注重概念與算式之間的追問，有助于強(qiáng)化倍數(shù)、因數(shù)概念建立于“式”的感知。

（2）借“圖形”表征?？梢院筒僮骰顒?、圖形描述結(jié)合起來，先形后數(shù)，逐步抽象。例如，用12個同樣大的正方形拼一個長方形，根據(jù)各個長方形中每行正方形的個數(shù)與行數(shù)，把這三個長方形用乘法算式表示出來，4×3=12，6×2=12，12×1=12。然后以“4×3=12”為例，指出4和3都是12的因數(shù)，12是4的倍數(shù)，也是3的倍數(shù)，再要求學(xué)生說出另兩道乘法算式里，誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)，初步內(nèi)化概念。

（3）應(yīng)用中深化。教師適時引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活實例進(jìn)行思辨，以層層深入的方式在現(xiàn)實情境中找到“倍”與“倍數(shù)”的聯(lián)系與區(qū)別。例如，貨場有32噸煤，現(xiàn)有載重量分別為5噸、8噸的卡車，用哪一種卡車正好可以裝完？為什么？

2.難點之二：發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征比較難。

3的倍數(shù)特征與2和5的倍數(shù)特征相比，比較隱蔽，要想找到一個合適的探究思路并不容易。學(xué)生習(xí)慣性地沿用探究2、5倍數(shù)特征的方法，提出猜想，“個位上的數(shù)是3、6、9的數(shù)是3的倍數(shù)”，很難轉(zhuǎn)變思維方式去尋找新的方法。

破解策略：

（1）“百數(shù)表”中猜想。在百數(shù)表里3的倍數(shù)上畫“○”，發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)與2或5的倍數(shù)不同，分散在表的各行各列。進(jìn)而觀察到畫“○”的數(shù)的個位上不都是3、6、9，而有些個位上是3、6、9的數(shù)上沒有畫“○”，它們不是3的倍數(shù)。由此得出“3的倍數(shù)的特征不表現(xiàn)在數(shù)的個位上”。

（2）“計數(shù)器”上轉(zhuǎn)化。把3的倍數(shù)表示到計數(shù)器上，先找些較小的數(shù)，再找些較大的數(shù)，算出表示每個數(shù)所用數(shù)珠的顆數(shù)。通過交流發(fā)現(xiàn)，在計數(shù)器上表示3的倍數(shù)，需要的數(shù)珠會是3顆、6顆、9顆、12顆……而3、6、9、12等數(shù)都是3的倍數(shù)。接下來引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)珠顆數(shù)轉(zhuǎn)化為各位上數(shù)的和，初步發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特點。

（3）反例強(qiáng)調(diào)特征。找?guī)讉€不是3的倍數(shù)，算算它們各位上數(shù)的和。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步討論“如果一個數(shù)不是3的倍數(shù)，這個數(shù)各位上數(shù)的和會是3的倍數(shù)嗎”，從正反兩個角度完善認(rèn)知，進(jìn)一步確認(rèn)3的倍數(shù)的特征。

3.難點之三：“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”理解起來存在較大難度。

“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”的概念相對來說比較抽象，與學(xué)生的生活有一定距離。尤其將奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)這四個概念放在一起，學(xué)生會產(chǎn)生思維上的混亂。

破解策略：

（1）實際問題引入。常見的隊列隊形是學(xué)習(xí)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的有效模型。例如，五年級4個班（人數(shù)分別為47、49、48、43）的學(xué)生參加表演，哪個班能排成整齊的方陣？學(xué)生在分析問題的過程中，明確了是否能排成方陣與數(shù)的奇偶性無關(guān)，與一個數(shù)因數(shù)的個數(shù)有關(guān)，初步感受質(zhì)數(shù)、合數(shù)的本質(zhì)。

（2）活動促進(jìn)理解。設(shè)計“找一找”的活動，借助“百數(shù)表”，運用“篩法”找出其中所有的質(zhì)數(shù)。學(xué)生從中能夠體會到：2、3、5、7等質(zhì)數(shù)，除了本身，它們的倍數(shù)都是合數(shù)（被畫去的數(shù)）；從2開始，不是質(zhì)數(shù)，就是合數(shù)；非0自然數(shù)按因數(shù)的個數(shù)分類，有1、質(zhì)數(shù)、合數(shù)三類。

（3）辨析明晰概念。首先從自然數(shù)的兩種不同的分類中，感受質(zhì)數(shù)和奇數(shù)、合數(shù)和偶數(shù)存在于兩種不同的集合之中；其次讓學(xué)生結(jié)合這些數(shù)的特點介紹自己的學(xué)號是什么樣的數(shù)，全面認(rèn)識一些自然數(shù)的特性；最后優(yōu)化一個數(shù)是否質(zhì)數(shù)的判斷方法，并不要把它所有因數(shù)都寫出來。如果這個數(shù)除了1和它本身，還能再找到另一個因數(shù)，就能確認(rèn)一定是合數(shù)。

資料存盤

1.“因數(shù)和倍數(shù)”課標(biāo)解讀。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》第二學(xué)段目標(biāo)提出：在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果；會獨立思考，體會一些數(shù)學(xué)的基本思想；經(jīng)歷與他人合作交流解決問題的過程，嘗試解釋自己的思考過程；能回顧解決問題的過程，初步判斷結(jié)果的合理性；在運用數(shù)學(xué)知識和方法解決問題的過程中，認(rèn)識數(shù)學(xué)的價值。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》第二學(xué)段課程內(nèi)容中提出：知道2，3，5的倍數(shù)的特征；在1～100的自然數(shù)中，能找出10以內(nèi)自然數(shù)的所有倍數(shù)；了解自然數(shù)、整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)（素）數(shù)和合數(shù)。

2.學(xué)習(xí)“因數(shù)和倍數(shù)”，為什么要把“0”排除在外？

因為整數(shù)與自然數(shù)都包括0，根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的定義，0是任何非零自然數(shù)的倍數(shù)，任何非零自然數(shù)都是0的因數(shù)。特別地，因為0是2的倍數(shù)，2是0的因數(shù)，所以0是偶數(shù)。但是，以后研究最大公因數(shù)和最大公倍數(shù)時，如果不排除0，很多問題就沒有探究的價值。例如，如果把0考慮在內(nèi)，任意兩個自然數(shù)的最小公倍數(shù)就是0，這樣的研究沒有任何價值。所以，教材指出本單元所說的數(shù)指的是自然數(shù)（一般不包括0）。

3.一些常用的數(shù)的倍數(shù)的判斷方法。

9的倍數(shù)的特征。一個數(shù)各位上數(shù)的和是9的倍數(shù)，這個數(shù)就是9的倍數(shù)。

4或25的倍數(shù)的特征。如果一個數(shù)末尾兩位數(shù)字所表示的數(shù)是4或25的倍數(shù)，那么這個數(shù)就是4或25的倍數(shù)。

8或125的倍數(shù)的特征。如果一個數(shù)末尾三位數(shù)字所表示的數(shù)是8或125的倍數(shù)，那么這個數(shù)就是4或25的倍數(shù)。