閱讀引領(lǐng)人生 智慧點(diǎn)亮課堂
——記邯鄲市涉縣新北關(guān)小學(xué)教師申武廣

課堂教學(xué)

奇妙的“剩余”——《正方形和圓之間部分的面積》教學(xué)實(shí)例

【課前思考】

《正方形和圓之間部分的面積》一課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的認(rèn)識(shí)、周長(zhǎng)和面積以及圓環(huán)的面積之后進(jìn)行教學(xué)的，是人教版六年級(jí)教材新增加的教學(xué)內(nèi)容。編排目的是通過(guò)解決圓的內(nèi)接正方形、外切正方形與圓之間部分的面積這一實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題解決的全過(guò)程，并在解決具體問(wèn)題的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)更為一般的數(shù)學(xué)規(guī)律。在實(shí)際教學(xué)中，如果僅僅將本課作為“記憶規(guī)律、熟練應(yīng)用”的教學(xué)內(nèi)容，就會(huì)違背教材編寫的初衷。作為典型的“問(wèn)題解決”類例題，如何讓本課上得更加豐滿和深刻呢？某次筆者隨意翻看例2和例3時(shí)，突然有了自己的“發(fā)現(xiàn)”：兩個(gè)例題都是對(duì)剩余部分的求解。剩余，很有意思嗎？我們以前解決問(wèn)題時(shí)是否有過(guò)求“剩余”的經(jīng)歷，將來(lái)在學(xué)習(xí)中會(huì)不會(huì)遇到“剩余”類問(wèn)題呢？筆者通過(guò)查閱資料和研究教材，對(duì)“剩余”進(jìn)行了適度拓展和深度挖掘。

【教學(xué)流程】

1.激發(fā)興趣，開(kāi)拓思路。課伊始，教師單刀直入，亮出課題，讓學(xué)生談?wù)剬?duì)“奇妙的剩余”的看法，學(xué)生頓時(shí)興趣盎然。然后出示三道“剩余”類問(wèn)題：（1）申老師本月工資3825元，到月底消費(fèi)了2000元，還余下多少元？（2）直角三角形的一個(gè)銳角是40°，另一個(gè)銳角是多少度？（3）一項(xiàng)工程，已完成，還剩下幾分之幾？學(xué)生計(jì)算思考。本環(huán)節(jié)旨在初步感知“剩余”類問(wèn)題，從“剩余”切入，打開(kāi)思路，引入本課主題。

2.逐步深入，聚焦問(wèn)題。教師課件呈現(xiàn)幾個(gè)學(xué)過(guò)的平面圖形，隨機(jī)選擇正方形來(lái)研究。然后出示兩個(gè)大小不同的正方形，學(xué)生指出把兩個(gè)正方形組合在一起，就會(huì)出現(xiàn)“剩余”問(wèn)題：大正方形和小正方形之間的部分面積是多少？老師拋出問(wèn)題：給你幾個(gè)數(shù)據(jù)，就能求出這個(gè)問(wèn)題。接下來(lái)，課件將小正方形旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而產(chǎn)生新的“剩余”問(wèn)題，從而激發(fā)學(xué)生濃厚的探究興趣。有學(xué)生說(shuō)只要知道大正方形的邊長(zhǎng)就能求出剩余面積，中間小正方形的面積分割為兩個(gè)三角形求出，這樣就為后面圓與正方形的研究奠定了基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上，課件繼續(xù)出示圓形，兩個(gè)大小不同的圓即可產(chǎn)生“剩余”問(wèn)題，學(xué)生驚訝：這不就是剛學(xué)過(guò)的圓環(huán)嗎？除了正方形和圓形各自能夠發(fā)現(xiàn)“剩余”問(wèn)題，那么正方形和圓形之間能不能發(fā)生碰撞呢？學(xué)生很快想到圓內(nèi)接正方形和圓外切正方形兩種情況，通過(guò)自主探究和小組合作，僅僅利用圓的半徑一個(gè)條件就將剩余面積問(wèn)題全部解決，也就解決了本課的主要問(wèn)題，得出結(jié)論：如果兩個(gè)圓的半徑都是r，那么外方內(nèi)圓之間部分的面積是0.86r2，外圓內(nèi)方之間部分的面積是1.14r2；不僅如此，更重要的是學(xué)生積極主動(dòng)地參與了發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的全過(guò)程。

3.拓展延伸，感悟“剩余”。

（1）課件出示：三張邊長(zhǎng)都是12厘米的正方形鐵皮，分別按下圖不同規(guī)格的圖片剪裁，哪張鐵皮剩下的廢料多？（解決完前三個(gè)圖形之后，然后猜測(cè)第四個(gè)圖形會(huì)不會(huì)剩下廢料最多）

（2）看下面的圖形，關(guān)注它的剩余部分，你發(fā)現(xiàn)了什么？（課件逐步展示）

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，剩余部分的面積越來(lái)越小，直至為0。老師課件出示：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣?！边@句話是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽說(shuō)的，他就是利用這樣分割的辦法來(lái)研究圓的周長(zhǎng)和面積的，被稱為“割圓術(shù)”。割圓術(shù)，則是以“圓內(nèi)接正多邊形的面積”，來(lái)無(wú)限逼近“圓面積”。學(xué)生看罷大為驚嘆！接下來(lái)，教師呈現(xiàn)生活中“剩余”部分的應(yīng)用。兩道拓展題，將“剩余”類問(wèn)題向深度和廣度推進(jìn)，學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)愈加增強(qiáng)。這樣的“剩余”，變中有變，變中亦有不變，真可謂奇妙無(wú)窮！

4.提出問(wèn)題，走向課外。關(guān)于“剩余”，你還想研究哪些圖形之間的關(guān)系？學(xué)生踴躍發(fā)言，有的說(shuō)三角形與圓形，有的說(shuō)長(zhǎng)方形與圓形……通過(guò)本課的研究將問(wèn)題引向課外，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)興趣和問(wèn)題探究能力的培養(yǎng)都具有極其重要的作用。從整堂課看來(lái)，“剩余”問(wèn)題表面簡(jiǎn)單，但細(xì)究下去、生發(fā)開(kāi)來(lái)，卻形成一個(gè)便于學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的問(wèn)題場(chǎng)，無(wú)論課始還是課尾，學(xué)生都在這樣的探究環(huán)境中積極主動(dòng)地思考著，分析和解決問(wèn)題的能力也在逐漸增強(qiáng)。

亦教亦思

創(chuàng)設(shè)“好吃又有營(yíng)養(yǎng)”的數(shù)學(xué)課堂

○申武廣

作為一名專業(yè)的小學(xué)數(shù)學(xué)教師，都會(huì)時(shí)不時(shí)地對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂進(jìn)行本質(zhì)性追問(wèn)：兒童需要學(xué)習(xí)什么樣的數(shù)學(xué)？?jī)和矚g以什么樣的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，兒童到底應(yīng)該從中獲取什么？為此，全國(guó)著名小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師吳正憲老師提出了“好吃又有營(yíng)養(yǎng)”的數(shù)學(xué)課堂。正是吳老師的這個(gè)觀點(diǎn)深深影響著我、激勵(lì)著我、引領(lǐng)著我。

1.閱讀引領(lǐng)，提升理論水平。當(dāng)你對(duì)教材上的知識(shí)點(diǎn)迷惑不解時(shí)，當(dāng)你對(duì)課堂中學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題無(wú)法處理時(shí)，當(dāng)你對(duì)當(dāng)下小學(xué)數(shù)學(xué)教育的某些改革困惑不已時(shí)，你會(huì)怎么做？我會(huì)毫不猶豫地選擇閱讀。在閱讀中，吳正憲老師的課堂深深吸引了我，一句話：好吃又有營(yíng)養(yǎng)！好吃，是從學(xué)生的角度來(lái)說(shuō)的，課堂只有學(xué)生喜歡才會(huì)認(rèn)真地聽(tīng)，只有喜歡才會(huì)主動(dòng)思考，所以教師必須了解學(xué)生。營(yíng)養(yǎng)，是從數(shù)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)的，課堂表面熱鬧，如果沒(méi)有“數(shù)學(xué)味”，就不是一節(jié)真正的數(shù)學(xué)課，所以教師必須理解數(shù)學(xué)?！镀婷畹摹笆Ｓ唷薄芬徽n，不僅大大激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究興趣，而且提出許多有價(jià)值的問(wèn)題，然后通過(guò)學(xué)生獨(dú)立思考、小組討論、集體交流，經(jīng)歷了一次如同數(shù)學(xué)家研究問(wèn)題的思考過(guò)程。也可以說(shuō)，本節(jié)課是我長(zhǎng)期以來(lái)不斷閱讀積累，努力創(chuàng)設(shè)“好吃又有營(yíng)養(yǎng)”的數(shù)學(xué)課堂的一次成功嘗試。

2.反思跟進(jìn)，成就夢(mèng)想課堂。坦誠(chéng)地說(shuō)，這節(jié)課在不同的班級(jí)共上了三次。第一次，按教材編排教，學(xué)生跟著老師的思路解決問(wèn)題，遇到困難處教師點(diǎn)撥。固定的方法，明確的思路，學(xué)生收獲很有限。第二次，對(duì)教材增加難度，讓學(xué)生總結(jié)出兩種情況的面積求解公式，并且練習(xí)上也進(jìn)行了拓展。學(xué)生的探究興趣依然不高，公式總結(jié)不過(guò)如此。到底哪里出了問(wèn)題？?jī)纱问∽屛彝炊ㄋ纪矗菊n的探究性比較強(qiáng)，如果按一般的課堂流程來(lái)教，勢(shì)必難以激發(fā)學(xué)生的思考欲望。閑暇之余，讀到了張景中院士的一篇文章《好的老師應(yīng)當(dāng)向?qū)W生展示數(shù)學(xué)思維的美妙》，聯(lián)想到我的課堂，為什么不“好吃”呢？就是因?yàn)闆](méi)有展現(xiàn)出探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的樂(lè)趣。接下來(lái)，我對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行了整合改編。學(xué)生先從正方形開(kāi)始思考，兩個(gè)正方形即可產(chǎn)生“剩余”，將小正方形旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的“剩余”更有趣；然后從圓形開(kāi)始，兩個(gè)圓形形成的“剩余”正好是圓環(huán)，讓學(xué)生意想不到，加深了對(duì)“剩余”的認(rèn)識(shí)；接著正方形和圓形兩個(gè)圖形組合變換形成“剩余”問(wèn)題，產(chǎn)生了這節(jié)課重點(diǎn)研究的內(nèi)容：圓中方、方中圓。最后在圓內(nèi)接圖形中“剩余”部分的越來(lái)越小，竟然與著名的“割圓術(shù)”有關(guān)，由此給學(xué)生留下了難以忘卻的印象。許多學(xué)生在課后不禁感嘆：數(shù)學(xué)中的“剩余”問(wèn)題真的好奇妙呀！

我想，這才是一節(jié)“好吃又有營(yíng)養(yǎng)”的課吧！

像這樣的反思，我從未停止過(guò)。每節(jié)課上完之后，都要把學(xué)生的課堂表現(xiàn)和教學(xué)的得失之處進(jìn)行整理、反思、總結(jié)，并且記錄下來(lái)。不論課前、課中，還是課后，我都要進(jìn)行思考。由于不斷反思課堂教學(xué)，本人在國(guó)家級(jí)、省級(jí)教育類雜志上發(fā)表文章40余篇，其中《讀懂教材：有效教學(xué)的基本保障》獲中國(guó)教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)第十五屆論文三等獎(jiǎng)，并參與編寫了小學(xué)生優(yōu)秀讀物《數(shù)學(xué)在哪里》，在河北省十佳期刊《小學(xué)生必讀》連載數(shù)學(xué)故事20多篇，深受孩子們的喜愛(ài)。

名師點(diǎn)評(píng)

精彩源于思考——我眼中的申武廣老師

○李書朝

多次聽(tīng)申武廣老師的數(shù)學(xué)課，印象最深的就是他愛(ài)思考，愛(ài)琢磨，課前慎思，課后反思。他一直堅(jiān)持，從未間斷這種優(yōu)秀的思考習(xí)慣。正因?yàn)槿绱?，在別人認(rèn)為很平常的課，經(jīng)他一設(shè)計(jì)，總能見(jiàn)到精彩之處。他的上課風(fēng)格和特點(diǎn)，從《奇妙的剩余》一課，可以略見(jiàn)一斑。

1.課因“思”而“易”?！巴鈭A內(nèi)方”和“內(nèi)圓外方”問(wèn)題，在多數(shù)教師的眼中是比較難教和難學(xué)的內(nèi)容。如何化難為易，使之便于學(xué)生理解和接受？申老師站在課程的高度，從數(shù)學(xué)的本質(zhì)入手，對(duì)教材進(jìn)行了大膽地重組和建構(gòu)，較好地突破了這一難點(diǎn)。三角形度數(shù)問(wèn)題、收支問(wèn)題、工程問(wèn)題與組合圖形問(wèn)題在我們看來(lái)關(guān)系不大，但在申老師眼里，它們都是剩余問(wèn)題，基本算法都是“減法”，而“剩余”就是這些問(wèn)題的共性和本質(zhì)?；谶@種考慮，本節(jié)課緊緊抓住“剩余”這一主線，將看似無(wú)關(guān)卻又內(nèi)在緊密的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，大大降低了學(xué)生的思維難度，使數(shù)學(xué)變得好學(xué)起來(lái)，從而給每個(gè)學(xué)生提供了平等學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)。

2.課因“思”而“深”。深刻而豐滿是申老師數(shù)學(xué)課的又一特點(diǎn)，他的課總能夠把著眼點(diǎn)和落腳點(diǎn)放在經(jīng)歷、體驗(yàn)與知識(shí)的自主建構(gòu)上，引領(lǐng)學(xué)生在積極探究和思考的同時(shí)深入體會(huì)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。本節(jié)課中申老師讓學(xué)生分別把大小兩個(gè)正方形、兩個(gè)圓、正方形和圓進(jìn)行組合，在創(chuàng)造“剩余”的過(guò)程中理解這類問(wèn)題的本質(zhì)，體驗(yàn)“變與不變”的數(shù)學(xué)思想。在啟發(fā)學(xué)生找出大小兩個(gè)圖形之間的關(guān)系，并根據(jù)關(guān)系找出條件的過(guò)程中，找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵。正是在這一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

3.課因“思”而“趣”。如何讓數(shù)學(xué)課堂變得“好玩”“有趣”，在“有營(yíng)養(yǎng)”的同時(shí)“好吃”起來(lái)？是申老師一直思考和追求的目標(biāo)。在本課拓展延伸環(huán)節(jié)，教師出示邊長(zhǎng)都是12厘米的正方形鐵皮，分別減去1個(gè)圓、4個(gè)圓、9個(gè)圓，求哪張剩下的廢料多的問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)猜測(cè)—猜錯(cuò)—糾錯(cuò)—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—推廣規(guī)律（減去16個(gè)圓）等活動(dòng)，充分感受數(shù)學(xué)之美，數(shù)學(xué)之趣！特別是數(shù)學(xué)史的拓展，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接圖形中“剩余”部分越來(lái)越小，竟然與著名的劉徽“割圓術(shù)”有關(guān)，在感受數(shù)學(xué)之趣同時(shí)受到了良好的情感態(tài)度價(jià)值觀教育。

總之，申老師的課簡(jiǎn)約而不失深刻、樸實(shí)而不乏靈動(dòng)，處處閃爍著智慧的光芒。學(xué)生喜歡他的課，老師欣賞他的課，專家肯定他的課，這也許就是“思考”的力量。每一節(jié)課下來(lái)，申老師總要認(rèn)真反思一下，這節(jié)課上得怎么樣？教學(xué)中出現(xiàn)了什么意想不到的問(wèn)題……一旦有了什么想法，他就寫到“教學(xué)反思”本上。久而久之，所思所想就逐漸多起來(lái)，對(duì)教材挖掘得更深，對(duì)學(xué)生也了解得更多了。曾記得有次申老師講公開(kāi)課，偶然間翻看了他的教學(xué)設(shè)計(jì)，在紙的空白處寫滿了密密麻麻的修改建議和思考心得，不禁讓人佩服。由此看出，反思鑄就了教學(xué)上常改常新、精彩不斷的申老師。