對賦值取點確定零點個數中取點方法的探究

安徽省寧國中學(242399) 高瑩

近幾年，用賦值取點來確定函數零點個數的題型一直是高考中的熱點問題，全國卷更是接連三年都考到了此類題型.同樣這種題型也是學生在解題過程中遇到的難點問題.下面筆者就近幾年所遇此類題型來總結一下解決此類題型的一些常用方法.

方法一：直觀賦值法

題目1(2013 高考江蘇卷第20 題)f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，a ∈R.

(1)略；(2)若g(x)在(-1,+∞)上單調遞增，求f(x)的零點個數，并證明.

分析當a≤0 時略.當0＜a＜時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減.f(x)max=利用極限知識可知當x→0 時和x→+∞時，f(x)→-∞，所以f(x)在和上各有一個零點.但由于在高考的解題過程中是否可以用極限或洛必達法則解題一直未有定論，所以，以高中所學知識最嚴謹的解法即在和上各取一個值，使其所對應的函數值為負，再結合零點存在性定理和單調性，即可確定零點的個數.當時，我們采用直觀賦值法.首先試試選擇一個常數.由于ax＞0，故所取x0使得lnx0≤0且即可.故可取x0=1，f(1)=-a＜0； 當時，由于a的值的不確定性，故選擇任何常數都不能確定是否在區(qū)間內，所以我們需借助于極值點來取值.可取或或(λ＞1).又為了對數運算的方便，所以可取后兩者之一.現取其中再利用求導可確定

方法總結直觀賦值法選點時優(yōu)先選取常數點，也可借助于極值點選值，同時保證計算方便.此種方法的特點是見效快，但有時靠運氣的成分較大，例如此題若選擇則不行.

方法二：不等式放縮法

題目2f(x)=ex-x+a，當a＜-1 時，證明f(x)在[0,+∞)上有唯一零點.

分析f′(x)=ex-1 ≥0，所以f(x)在[0,+∞)上單調遞增.又f(0)=1+a＜0，故需在區(qū)間(0,+∞)上找到一個x0使得f(x0)＞0 即可.

此題可借助于超越不等式ex-1≥x進行放縮，將ex - x+a＞0 這個不可解不等式變?yōu)榭山獠坏仁?故可取

方法總結用此法的目標是利用超越不等式將題中不可解不等式放縮為可解不等式.在放縮時找出決定符號的關鍵項和對符號影響較弱的項.一般對對符號影響較弱的項進行放縮，即誰弱誰挨打.此種方法適用范圍廣，題目1 也可用此法解決.

方法三：分組定號法

同為上述題目2.

分析由于當x→+∞時ex的增長速度遠大于x和-a的增長速度，故可將ex進行拆分后分別與x和-a成組，同時保證每組均為正即可.f(x)=ex-x+a=(x≥0,a＜-1).若x滿足則f(x)＞0.因為g(1)＞0 且當x＞1 時g′(x)＞0，得g(x)單調遞增，所以當x＞1 時，g(x)＞0.h(x)＞0 可解得x＞ln(-2a)＞0.故可取x0=b(b＞1 且b＞ln(-2a)).

方法總結對項數較多的函數，可進行分組定號法.將函數分為幾組之和，各組符號均與目標符號相同時，其和必為目標符號.若決定函數符號的關鍵項項數較少但優(yōu)越性較明顯時，可進行拆項處理.

方法四：分類討論法

同為上述題目2.

分析我們通過觀察發(fā)現ex＞x是恒成立的，且隨著x的增大ex的值遠大于x的值，故只需保證ex+a＞0 之后將所選x稍許放大即可.因為ex+a=0 時x=ln(-a)，所以我們可試取x0=2 ln(-a).

f(2 ln(-a))=a2+a-2 ln(-a)(a＜-1).令g(a)=a2+a -2 ln(-a)(a＜-1).通過求導可得g(a)在上單調遞減，在上單調遞增，又g(-1)=0，所以g(a)在時的函數值必小于0，故所取點不合適.現對此法進行完善：因為且g(a)在上單調遞減，所以當a≤-2 時g(a)＞0.我們可以對a的范圍進行分類討論：當a≤-2 時，可取x0=2 ln(-a)，f(x0)＞0；當-2＜a＜-1 時，可用直觀賦值法取x0=2，f(2)=e2-2+a＞0.

方法總結此種方法一般適合用直觀賦值法賦值時，所選取的賦值點不夠好，只能保證參數在其所取范圍的一部分內適合，則需對參數的范圍進行分類討論.不同范圍可選擇不同的賦值點.其實這題若用直觀賦值法所選取的點是x0=2 ln(-a)，則不需對a的不同范圍進行討論.

方法五：待定求解法

題目3求證：當時，在R 上有兩個零點.

分析當時，在上單調遞減，在上當x ∈單調遞增.時，易用直接賦值法找到f(0)=1-a＞0；當時，試取的符號不能確定，但當x取時可化簡為常數，故可對值稍作縮小，但縮小的量必與a有關，方可產生一項與中產生的合并定號.由于縮小的量很難尋找，故可設為n，即取通過求解f(x0)＞0，從而得到n的范圍.因為2en-2n+1＞0，所以當時解得n≥故取

方法總結此方法同方法四一樣，適合用直觀賦值法不能很好地選定合適的值，則可設出所選值，利用解不等式求出該值即可.

方法六：縮小范圍法

題目4(2015年高考全國卷文科第21 題)f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f′(x)的零點個數；(2)略.

分析當a＞0 時，因為2e2x增，減，所以f′(x)在(0,+∞)上單調遞增.用直接賦值法得f′(a)=2e2a-1＞0，現只需取一x0使得f′(x0)＜0.由于當x→0 時，所以當x越接近0 其對應的函數值為負的可能性就越大，故不妨設故取x0=b(0＜b＜且

方法總結此方法一般適用于需要取點的區(qū)間與a值無關，且可確定所選取的點趨近于該范圍內的某個確定的值，則可對區(qū)間的范圍進行縮小，從而方便取值.

方法七：中間值法

同為上述題目4，我們僅討論a＞0 時如何取一x0使得f′(x0)＜0.

分析當x→0 時，要使即需取 中 間 值4又因為所以可取x0=b(0＜b＜

方法總結此方法一般適用于所需確定符號的函數在x0所取的值所在的一個小區(qū)間內為兩個單調性相反的函數之差，這樣一旦這兩個函數都取到中間值所對的值后其大小關系便已明確，從而原函數符號一定.

方法八：配對法

同為上述題目4，我們僅討論a＞0 時如何取一x0使得f′(x0)＜0.

分析且(a＞0，x＞0)，由于e2x＞0，2＞0，所以當e2x＜a且時可使不等式成立.所以可取x0=b(0＜b＜且

方法總結與方法三類似，適合不等號兩邊各項優(yōu)越等級相差明顯的例子可配對比較大小.與方法三不同之處在于此種方法轉化為多組函數的乘積，而方法三轉化為多組函數之和.