數(shù)學(xué)解題要重視挖掘“特征”

山東省泰安英雄山中學(xué)(271000) 尹承利

許多數(shù)學(xué)問(wèn)題中，無(wú)論是條件、結(jié)論，還是數(shù)值、結(jié)構(gòu)形式等等，都常常表現(xiàn)出或暗含著某些“特征”，這些“特征”是問(wèn)題的“題眼”，是解決問(wèn)題的切入點(diǎn).解題時(shí)，要重視挖掘這些“特征”，并由此進(jìn)行分析、變換、聯(lián)想、構(gòu)造，這樣可以快速獲得解決問(wèn)題的途徑或優(yōu)化問(wèn)題解決的過(guò)程.下面從幾方面闡述挖掘“特征”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

1.“數(shù)值”特征

許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，都會(huì)出現(xiàn)具有某種特征的數(shù)值[1]，會(huì)對(duì)問(wèn)題的解決起著導(dǎo)向作用.只要注意觀察、分析，重視挖掘，從數(shù)值本身的變化、數(shù)值與數(shù)值之間的聯(lián)系去尋找解題的切入點(diǎn).

例1已知sinθ·cosθ=且求sinθ,cosθ的值.

解析數(shù)字暗含了特征也暗含著由此得解.

因?yàn)閟inθ·cosθ=且1，由所以sinθ＞cosθ.故得

點(diǎn)評(píng)本題若按常規(guī)方法，由已知sinθ·與sin2θ+cos2θ=1 聯(lián)立，求出sinθ,cosθ，計(jì)算量較大.這里注意到數(shù)值特征，簡(jiǎn)捷獲解.

例2已知正實(shí)數(shù)a,b滿足2a+b=1，則的最小值是____.

解析條件式2a+b=1，而目標(biāo)分式第二項(xiàng)的分母中有“1”，這就暗示我們首先去進(jìn)行“1”的代換.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值是

點(diǎn)評(píng)“1”的代換后就將分式化為了齊次式，進(jìn)而或通分并分離常數(shù)，或換元轉(zhuǎn)化，變形出基本不等式的應(yīng)用形式求解.數(shù)值“1”起了關(guān)鍵性的作用.

2.“位置”特征

與圖形(象)有關(guān)的一些數(shù)學(xué)問(wèn)題都有它特定的位置關(guān)系，若能細(xì)致分析某些關(guān)鍵的點(diǎn)或線的位置“特征”，不僅可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，甚至可以得到不攻自破的解題效果.

例3(2018 高考全國(guó)卷III)直線x+y+2=0 分別與x軸，y軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2 上，則△ABP面積的取值范圍是( )

A.[2,6]B.[4,8]C.D.

解析由于|AB|是確定的，所以△ABP面積的取值范圍取決于點(diǎn)P到直線x+y+2=0 的距離.所以過(guò)圓心作直線x+y+2=0 的垂線，與圓的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P的位置.因?yàn)橹本€x+y+2=0 分別與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，所以A(-2,0)，B(0,-2)，設(shè)圓(x -2)2+y2=2 的圓心到直線x+y+2=0 的距離為d′，則于是，圓(x-2)2+y2=2 上的點(diǎn)到直線x+y+2=0的距離的最小值為最大值為圓的半徑)，于是，圓上的點(diǎn)到直線的距離d的取值范圍為得 到故選A.

點(diǎn)評(píng)這里若不能發(fā)現(xiàn)“過(guò)圓心作直線x+y+2=0 的垂線，與圓的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P的位置”是順利解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

例4對(duì)于函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x ∈(-∞,+∞)時(shí)，f(2- x)=f(2+x)且f(7- x)=f(7+x)，在閉區(qū)間[0,7]上f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)：x1=1,x2=3.

(I)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；

(II)試求方程f(x)=0 在閉區(qū)間[-2020,2020]上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

解析由條件無(wú)法求出f(x)的解析式，所以不能直接解方程f(x)=0 來(lái)求根的個(gè)數(shù).若通過(guò)對(duì)問(wèn)題中隱含的圖象位置特征進(jìn)行分析，即由f(2-x)=f(2+x)知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2 對(duì)稱，同樣由f(7-x)=f(7+x)知關(guān)于直線x=7 對(duì)稱.這樣函數(shù)f(x)的圖象有兩條對(duì)稱軸，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，函數(shù)f(x)一定是周期函數(shù).

從周期出發(fā)，我們可以思考兩點(diǎn)：(I)借助f(1)=f(3)=0 可以求出一些函數(shù)值，由此可以發(fā)現(xiàn)奇偶性； (II)求出一個(gè)周期上方程f(x)=0 根的個(gè)數(shù)，再由周期性得出在區(qū)間[-2020,2020]上的所有根的個(gè)數(shù).由f(4-x)=f(14-x)?f(x)=f(10+x)，即函數(shù)f(x)是以10 為周期的周期函數(shù).

(I)由于在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)=f(3)=0，所以f(-3)=f(7)0，顯然f(-3)(3)且f(-3)(3)，則f(x)是非奇非偶函數(shù).

(II)由f(1)=f(3)=0 得f(11)=f(13)=f(-9)=f(-7)=0，可知f(x)=0 在區(qū)間[0,10]及[-10,0]上各有兩個(gè)根，因此，f(x)=0 在區(qū)間[0,2020]上有403 個(gè)根，在區(qū)間[-2020,0]上有403 個(gè)根.故在[-2020,2020]上的所有根的個(gè)數(shù)為806 個(gè).

點(diǎn)評(píng)本題從函數(shù)圖象的位置特征中尋找到函數(shù)的周期規(guī)律，是迅速解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

3.“圖形”特征

有些抽象的數(shù)量關(guān)系，若轉(zhuǎn)化為具體的圖形問(wèn)題，并抓住圖形特征，則思路直觀、清晰，有利于快速解題.

例5(2017年高考全國(guó)卷I )已知向量a,b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=____.

解析利用如下圖形，可以判斷出a+2b的模長(zhǎng)是以2 為邊長(zhǎng)的菱形對(duì)角線的長(zhǎng)度，則為

圖1

點(diǎn)評(píng)向量具備代數(shù)和幾何特征，在處理涉及向量模的一類問(wèn)題時(shí)，若充分運(yùn)用“圖形特征”會(huì)加快解題速度，可使問(wèn)題得以“秒殺”.

例6若直線y=x+b與曲線有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是( )

圖2

解析如圖2，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出曲線y=3-與直線y=x，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)平移該直線，結(jié)合圖形分析可知，當(dāng)直線沿左上方平移到過(guò)點(diǎn)(0,3)的過(guò)程中的任何位置相應(yīng)的直線與曲線y=3-都有公共點(diǎn)；當(dāng)直線沿右下方平移到與以點(diǎn)C(2,3)為圓心、2 為半徑的圓相切的過(guò)程中的任何位置相應(yīng)的直線與曲線都有公共點(diǎn).注意與y=x平行且過(guò)點(diǎn)(0,3)的直線方程是y=x+3；當(dāng)直線y=x+b與以點(diǎn)C(2,3)為圓心、2 為半徑的圓相切時(shí)，有結(jié)合圖形可知，滿足題意的b的取值范圍是故選D.

點(diǎn)評(píng)本題若不運(yùn)用“圖形”，而是去聯(lián)立方程，用代數(shù)的方法求解，幾乎是不可能完成的.

4.“結(jié)構(gòu)”特征

數(shù)學(xué)問(wèn)題條件或結(jié)論中的數(shù)、式結(jié)構(gòu)常常隱含著某種特殊的關(guān)系，注意洞察并加以分析、加工和轉(zhuǎn)化，可迅速找到問(wèn)題解決的思路.

例7(2016年高考四川卷)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，且

(I)證明：sinAsinB=sinC；

解析(I)略.(II)式子b2+c2- a2=呈現(xiàn)的是邊的平方與積的結(jié)構(gòu)形式，由此我們可聯(lián)想到余弦定理.由b2+c2- a2=根據(jù)余弦定理可知，cosA=因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，A ∈(0,π)，sinA＞0，則sinA=即由(I)可知所以所以tanB=4.

點(diǎn)評(píng)本題將條件中給出的邊長(zhǎng)a,b,c的關(guān)系”式，變形利用余弦定理求出cosA后進(jìn)而利用同角的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求解的.從b2+c2-a2=的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到余弦定理是解題的關(guān)鍵.

例8已知函數(shù)y=f(x)定義在R 上，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)x ∈(-∞,0)時(shí)，不等式f(x)+xf′(x)＜0 恒成立，若a=20.2f(20.2)，b=ln 2f(ln 2)，則a,b,c的大小關(guān)系是( )

A.a＞b＞cB.c＞b＞a

C.c＞a＞bD.a＞c＞b

解析觀察不等式f(x)+xf′(x)＜0 左邊的結(jié)構(gòu)，我們聯(lián)想積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，逆用法則構(gòu)造函數(shù)求解.構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x)，則g′(x)=[xf(x)]′＜0.當(dāng)x ∈(-∞,0)時(shí)，g′(x)＜0，故函數(shù)y=g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減.由于函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，所以y=f(x)是奇函數(shù)，故函數(shù)y=g(x)是偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)y=g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，又a=g(20.2)，b=g(ln 2)，c=g(-2)=g(2).由于0＜ln 2＜lne=1，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)1=20＜20.2＜21=2，所以ln 2＜20.2＜2，故c＞b＞a.故選C.

點(diǎn)評(píng)本題通過(guò)條件中不等式的結(jié)構(gòu)，逆用了導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的乘法法則后構(gòu)造函數(shù)，綜合利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及指、對(duì)、冪運(yùn)算和函數(shù)的性質(zhì)解答的.

5.“差異”特征

許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件與結(jié)論之間、“量”與“量”之間，往往表現(xiàn)出一些“差異”關(guān)系，這些“差異”以特有的方式直接或間接地暗示著解題的方向.

例9已知函數(shù)f(x)=

(I)若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(II)在(I)的條件下，若對(duì)于?x1∈R，?x2∈(-∞,-1]，使得f(x1)＞g(x2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析(I)實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,+∞).(II)x1是任意量，x2是存在量，從這一“差異”中我們可以意識(shí)到問(wèn)題需要轉(zhuǎn)化求解才能奏效.對(duì)于?x1∈R，?x2∈(-∞,-1]，使得f(x1)＞g(x2)，等價(jià)于對(duì)于?x1∈R，?x2∈(-∞,-1]，f(x)min＞g(x)min.

因?yàn)閍＞2，所以函數(shù)

在(-∞,-1]上單調(diào)遞減，所以

由

解得a＞4.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(4,+∞).

點(diǎn)評(píng)數(shù)學(xué)中的“任意量”與“存在量”常見(jiàn)常用，變式多樣，豐富多彩，內(nèi)涵深刻[2].本題依據(jù)“量”與“量”之間的差異，將條件不等式的成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值關(guān)系求解，體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

例10設(shè)等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)與公差均為正數(shù)，Sn是其前n項(xiàng)的和；Tn是數(shù)列{a2n}的前n項(xiàng)和.若對(duì)于一切正自然數(shù)n，Sn≤n2+n-1，Tn≥試求{an}的首項(xiàng)a1和公差d.

解析條件中給出了兩個(gè)“不等量”關(guān)系，結(jié)論探求的是“等量”關(guān)系.通過(guò)對(duì)這一差異“點(diǎn)”的分析，獲知解題的切入點(diǎn)就是化“不等”為“等”.因?yàn)镾n≤n2+n-1，所以S1=a1≤12+1-1=1，即

由①、②得a1=1.又因?yàn)镾n≤n2+n -1，即所以對(duì)一切正自然數(shù)n恒成立，故

因?yàn)門n=a21+a22+a23+···+a2n=a21+(a1+d)2+(a1+2d)2+···+[a1+(n-1)d]2=na21+2[1+2+3+···+(n-1)]a1d+[12+22+32+···+(n-1)2]d2=na21+n(n-所以由得所以(2n-1)d2+6d-8(n+1)≥0，所以0.又所以d-2 ≥0，即

故由③、④可得d=2.

點(diǎn)評(píng)本題通過(guò)對(duì)“等”與“不等”的差異“點(diǎn)”的分析轉(zhuǎn)化，使得不等式中的“夾逼”法則：“如果實(shí)數(shù)x、a滿足a≤x≤a(即x≥a且x≤a)，則必有x=a”在求解本題中起了重要的作用.