例談向量數(shù)量積的解題策略*

江蘇省無錫市第六高級(jí)中學(xué)(214023) 孫艷秋

江蘇省無錫市運(yùn)河實(shí)驗(yàn)中學(xué)(214023) 韓郡

向量的本身特點(diǎn)告訴我們處理向量問題可以從幾何角度和代數(shù)角度入手.

一、解題策略探究

1.從幾何角度入手

1.1 基底表示法

平面向量基本定理告訴我們：平面內(nèi)兩不共線向量可以表示平面內(nèi)任一向量.從函數(shù)中的變量個(gè)數(shù)角度考慮，也希望向量的個(gè)數(shù)越少越好，因此不共線的兩向量作為基底，表示題干中所求的向量(已知表未知思想)，可以達(dá)到化繁為簡的目的.

圖1

例1(2014年高考江蘇卷第12 題)如圖1，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8,AD=則的值是____.

分析在平行四邊形中我們一般選擇相鄰兩邊作為基底，因此本題我們選擇作為基底.

解因?yàn)樗运砸驗(yàn)樗运运?/p>

小結(jié)1基底表示法選擇基底很重要，但很多同學(xué)在選擇基底時(shí)比較混亂.通常我們以特殊圖形如平行四邊形，矩形，直角梯形，等腰、等邊三角形等的相鄰兩邊作為基底，或者以題目中已知的兩線段作為基底.

1.2 定義投影法

向量數(shù)量積定義，要求兩非零向量a,b數(shù)量積用a·b表示，即a·b=|a||b|cos〈a,b〉，其中|b|cos〈a,b〉表示向量b在向量a方向上的投影.所以a·b的幾何意義就是其中一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影長度與另一個(gè)向量模長的乘積.

例2(2018 屆無錫市高三期中第12 題)如圖2 所示，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，P為垂足，且AP=1，則=____.

圖2

分析設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，因?yàn)锳P⊥BD，所以在方向上的投影長度就等于AP，所以又因?yàn)镺為AC中點(diǎn)，所以

小結(jié)2根據(jù)投影法的定義，當(dāng)我們要求的數(shù)量積的兩向量為直角三角形的斜邊與直角邊，或者等腰三角形的腰與底邊時(shí)，或者求范圍時(shí)其中一向量模長為定值時(shí)，我們常常考慮采用投影法求.

圖3

1.3 極化恒等式法

初中代數(shù)中有一個(gè)常用的恒等式：4ab=(a+b)2-(a-b)2，它由兩個(gè)完全平方公式相減而成.而今在高中向量中有一個(gè)類似的恒等式：4ab=(a+b)2-(a-b)2，稱之為極化恒等式.它有如下幾何意義：如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則

圖4

例3(鎮(zhèn)江市2017 屆高三上學(xué)期期末)已知橢圓1(m＞n＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，P是以橢圓短軸為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則

分析如圖4，利用極化恒等式，OF21=b2-c2，a2=m，b2=n，所以c2=m-n，所以

小結(jié)3極化恒等式法是解決共起點(diǎn)數(shù)量積的強(qiáng)有力的手段，能夠把共起點(diǎn)的兩向量轉(zhuǎn)化成第三邊與第三邊中線長的代數(shù)關(guān)系，快速簡化問題.因此，當(dāng)我們看到題目中已知或能求出第三邊的長，或者第三邊中線長時(shí)，可以考慮采用極化恒等式快速解決問題.

2.從代數(shù)角度入手

2.1 建系法有人說建系法是萬能的，建系法是將幾何問題代數(shù)化的有力手段，可以把復(fù)雜的幾何關(guān)系代數(shù)化，轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算，大大降低試題的難度，是數(shù)形結(jié)合思想的最直接體現(xiàn).

例4(2017年高考江蘇卷第12 題)如圖5，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量的模分別為與的夾角為α，且tanα=7，與的夾角為45°.若則m+n=_____.

圖5

圖6

分析因?yàn)橄蛄康哪７謩e為與的夾角為45°是特殊角，所以考慮 以O(shè)為原點(diǎn)，OC方向?yàn)閤軸正半軸，垂直于OC為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖6.因?yàn)閠anα=7，所以所以所以m+n=3.

小結(jié)4一般當(dāng)我們遇到特殊角如30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°等特殊角，以及一些特殊圖形如直角、等腰、等邊三角形，矩形、菱形，正方形時(shí)考慮建系法.

二、高考運(yùn)用

真題(2016年高考江蘇卷第13題)如圖7，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E,F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則的值是____.

圖7

分析此題作為江蘇高考的一道填空壓軸題，但是得分率卻不高，主要還是很多學(xué)生不知道如何下手.因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，題目中涉及到的向量的終點(diǎn)A,E,F均在AD上，因此可以選擇作為基底，采用基底法處理.因?yàn)榫枪财瘘c(diǎn)數(shù)量積問題，而且出現(xiàn)了第三邊中點(diǎn)，因此也可以利用極化恒等式法解決.從題干信息中看出，本題沒有對(duì)△ABC形狀做出特殊限定，因此我們可以假設(shè)△ABC為等腰三角形，所以可以采用特殊化建系法.

法1(基底表示法)因?yàn)榍宜运酝硭?/p>

法2(極化恒等式法)因?yàn)樗运?/p>

法3 (建系法)假定△ABC為等腰三角形，以底邊BC為x軸，BC邊上的高為y軸，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A(0,b)，B(-a,0)，C(a,0)，D(0,0)，則所以所以所以所以

三、結(jié)束語

數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，唯有抓住問題的本質(zhì)，才可以以不變應(yīng)萬變.在我們學(xué)習(xí)與教學(xué)中，只有學(xué)會(huì)從問題的次數(shù)、系數(shù)、結(jié)構(gòu)形式、位置特征等方面觀察問題，總結(jié)對(duì)應(yīng)方法，才可能避免題海戰(zhàn)術(shù)，體會(huì)到數(shù)學(xué)解題的樂趣.