由一個(gè)向量題談三角形四心的向量表示

江蘇省啟東市匯龍中學(xué)(226200) 朱玉華

題目若O是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)(如 圖1)，則

圖1

圖2

引理1若O是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且S△OBC=S△OAC=S△OAB，則O是三角形ABC的重心.

證明延長AO交BC于D，延長BO交AC于E，延長CO交AB于F，連接EF，如圖2．因?yàn)椤鰽BD與△ACD同高，所以S△ABD:S△ACD=BD:CD，同理S△OBD:S△OCD=BD:CD，利用分比性質(zhì)，得(S△ABD -S△OBD):(S△ACD -S△OCD)=BD:CD，即S△AOB:S△AOC=BD:CD，因?yàn)镾△OAB=S△OBC=S△OAC，所以BD=CD，所以點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，同理E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，所以O(shè)是三角形ABC的重心.

引理2在三角形ABC中，點(diǎn)G是△ABC重心的充要條件是

圖3.7

證明(必要性)如圖3，設(shè)BC、CA、AB的中點(diǎn)分別為D、E、F，連接AD、BE、CF，則AD、BE、CF相交于重心G，所以又D是BC的中點(diǎn)，所以因?yàn)樗运运?/p>

綜上，引理得證.

題目證明如下：

圖4

證明令連A′B′，B′C′，C′A′(如圖4)則S△OABS△OBCS△OAC，同理，S△OB′C′=S△OABS△OBCS△OAC，S△OA′C′=S△OABS△OBCS△OAC，所以S△OA′B′=S△OA′C′=S△OB′C′，所以O(shè)是三角形A′B′C′的重心.所以即

特別地，

結(jié)論1若O是三角形ABC的重心，則

因?yàn)?當(dāng)O是三角形ABC的重心時(shí)，S△OBC=S△OAC=S△OAB，所以

結(jié)論2若O是三角形ABC內(nèi)心，則即

因?yàn)?當(dāng)O是三角形ABC內(nèi)心時(shí)，(其中r是三角形ABC內(nèi)切圓的半徑).所以即由正弦定理得sinA-→OA+

結(jié)論3若O是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且O是三角形ABC外心，則

因?yàn)楫?dāng)O是三角形ABC外心時(shí)，OC·sin ∠BOC，S△OAC=·OA·OC·sin ∠AOC，S△OAB=·OA·OB·sin ∠AOB，所以即

結(jié)論4若O是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且O是三角形ABC垂心，則

圖5

因?yàn)楫?dāng)O是三角形ABC垂心時(shí)，延長AO交BC于D，延長BO交AC于E，延長CO交AB于F(如圖5)，OD·tanB，所以同理，所以S△OBC:S△OAC:S△OAB=tanA:tanB:tanC，即?λ＞0，使得S△OBC=λtanA，S△OAC=λtanB，S△OAB=λtanC，所以