特殊的數(shù)列 別樣的求和

浙江省蘭溪市第一中學(xué)(321102) 張城兵

眾所周知，數(shù)列求和常用的方法有公式法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組求和法，這是基于通項(xiàng)公式有明顯特征時(shí)采用的．當(dāng)數(shù)列沒(méi)有給出通項(xiàng)公式或通項(xiàng)公式不是常見(jiàn)的類型，求和難度驟增．筆者查閱一些文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[1-2]都側(cè)重于求具體的前幾項(xiàng)和，如求S100,S60，沒(méi)有一般性的推廣；文獻(xiàn)[3]側(cè)重于裂項(xiàng)相消法求和；文獻(xiàn)[4]著重講并項(xiàng)法(筆者在本文中稱為配對(duì)法)求和，比較單一．基于此，筆者對(duì)一部分耳熟能詳?shù)母呖碱}(上述文獻(xiàn)中也有提到)加以改編，推廣到求Sn，在此基礎(chǔ)上分析解題方法，供參加競(jìng)賽、自主招生、高考復(fù)習(xí)之用．

例1已知等比數(shù)列{an}中，a1=1,a2=3，設(shè)Tn是數(shù)列{|an-2n|}的前n項(xiàng)和，求Tn.

解析易求an=3n-1，所以|an-2n|=|3n-1-2n|=再對(duì)每個(gè)分支用分組求和，從而當(dāng)1 ≤n≤2 時(shí)，當(dāng)n≥3時(shí)，綜上：此題最容易錯(cuò)的是求第一段時(shí)，誤解為求T2，沒(méi)有領(lǐng)悟到n變量的作用，求第二段時(shí)，漏掉加上T2．

例2數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2·2n，其前項(xiàng)和為Sn，則Sn=____.

解析初看本例好似“差比數(shù)列”，實(shí)質(zhì)不是，得另辟蹊徑，變形成前半部分是“裂項(xiàng)相消”形式，后者為“差比數(shù)列”形式，令人耳目一新．a(chǎn)n=n2·2n=[(n+1)2·2n+1-n2·2n]-(4n+2)·2n，其中令bn=(4n+2)·2n，易求它的和為T(mén)n=4+(2n-1)·2n+2，故Sn=(n2-2n+3)·2n+1-6．

例3(2014年高考山東卷理科第19 題)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1,S2,S4成等比數(shù)列.

(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

解析(I)易求an=2n -1.第(II)小題從所給條件讓學(xué)生驚呆的是裂開(kāi)成與一般的裂項(xiàng)相消法裂為2 項(xiàng)相減背道而馳，但只要多寫(xiě)幾項(xiàng)就發(fā)現(xiàn)(-1)n-1“暗中相助”奧秘了，解題不能邯鄲學(xué)步，也不能淺嘗輒止．由于(-1)n-1存在，顯然要對(duì)n分奇偶討論，才能去掉(-1)的干擾．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，也可以采用如下做法：Tn=Tn-1+bn=這是一種常規(guī)又實(shí)用的策略：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有時(shí)分組不象例3 簡(jiǎn)單，得重新分組，相當(dāng)于做兩道題，所以可以“借力”來(lái)做，既快又對(duì)，這類題大都可以如此.

例4(2011年山東理20)等比數(shù)列{an} 中，a1,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1,a2,a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列．

第一列第二列第三列第一行3 2 10第二行6 4 14第三行9 8 18

(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列{bn} 滿足：bn=an+(-1)nlnan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

解析(I)易求an=2·3n-1.

(II)因?yàn)閎n=an+(-1)nlnan=2·3n-1+(-1)nln(2·3n-1)=2·3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3.

和例3 相比，此題用配對(duì)求和更有優(yōu)勢(shì)，能在相鄰兩項(xiàng)相加基礎(chǔ)上消掉很多，為后面整體求和簡(jiǎn)單化．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn+bn-1=an+lnan+an-1-lnan-1=所以Sn=(b1+b2)+(b3+b4)+···+(bn-1+bn)=此處容易犯錯(cuò)的是忘了n取偶數(shù)，公比為9，只有項(xiàng)，每一處錯(cuò)誤都是致命的．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，ln 2+ln 3-nln 3)=3n -ln 3-ln 2-1.綜上所述，

例5(2015年福建省數(shù)學(xué)競(jìng)賽題改編)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2·cosπ+1，若其前項(xiàng)和為Sn，求Sn．

解析易知y=cos的最小正周期為T(mén)=4，可以考慮先求：a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=-(4k+2)2+(4k+4)2+4=16k+16，k ∈N．顯然是一個(gè)新等差數(shù)列，并且這樣剛好四項(xiàng)一組，共有k+1 組，所以易求當(dāng)n=4k+4(k ∈N)時(shí)，再用k=-1 替換等式右邊，得在這基礎(chǔ)上，“借力”前面所做，后面“不湊數(shù)”的求和也就勢(shì)如破竹了．當(dāng)n=4k+3 (k ∈N)時(shí)，an+1=a4k+4=(4k+4)2+1=(n+1)2+1，所以Sn=Sn+1-an+1=當(dāng)n=4k+2 (k ∈N)時(shí)，an+1=a4k+3=1，an+2=a4k+4=(n+2)2+1，所以Sn=Sn+2-an+2-an+1=當(dāng)n=4k+1 (k ∈N)時(shí)，an+1=a4k+2=-(n+1)2+1，an+2=a4k+3=1，an+3=a4k+4=(n+3)2+1，所以綜上：略.

例6(2012年全國(guó)新課標(biāo)理科16 題改編)數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．

解析此題解法很多，現(xiàn)介紹一種學(xué)生比較認(rèn)可的方法．因?yàn)橛行W(xué)生喜歡用2n,2n-1 為(-1)的指數(shù)來(lái)處理，就如下做法：由已知得，a2n+1+a2n=4n-1，a2n-a2n-1=4n-3，兩式相減得a2n+1+a2n-1=2，以下分別求奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)公式，由a2n+1+a2n-1=2 得a2n+1-1=-(a2n-1-1)，所以數(shù)列{a2n-1-1}是以a1-1 為首項(xiàng)，-1 為公比的等比數(shù)列，所以求得a2n-1=(a1-1)(-1)n-1+1，n ∈N?，又因?yàn)閍2n-a2n-1=4n-3，所以a2n=(a1-1)(-1)n-1+1+4n -3=(a1-1)(-1)n-1+4n -2，n ∈N?，所以a2n+a2n-1=2(a1-1)(-1)n-1+4n-1，n ∈N?，從而S2n=2n2+n+(a1-1)[1-(-1)n]，再將2n改為n，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，至此也就不難理解高考真題中為何求前60 項(xiàng)的和，因?yàn)閚恰好是4 的倍數(shù)，能使a1沒(méi)有，也就不必知道首項(xiàng)的值了．

例7(2013年湖南理15 題改編)設(shè)Sn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，Sn=(-1)nan-n ∈N?，求S1+S2+S3+···+Sn．

解析由Sn=(-1)nan -n ∈N?得Sn-1=兩式作差整理得

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由①得

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由①得

上述求解中，極容易錯(cuò)的是n取值變化，先讓學(xué)生暴露其錯(cuò)誤，再讓他們自己發(fā)現(xiàn)糾正，多次練習(xí)才可能鞏固．所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an-1+an=0，從而Sn=a1+a2+···+an=0；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=Sn-1+an=0+(此時(shí)的Sn相當(dāng)于an).為不引起混淆的情況下，記Tn=S1+S2+S3+···+Sn(此時(shí)的Tn相當(dāng)于Sn)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，配對(duì)求和，故Tn=S1+S2+S3+···+Sn=當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn=

例8已知等比數(shù)列{an}中，a1=3，其前n項(xiàng)和為Sn滿足Sn=pan+1-(p為非零實(shí)數(shù))．

(I)求p的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè){bn}是公差為3 的等差數(shù)列，b1=1，現(xiàn)將數(shù)列{an}中ab1,ab2,ab3,··· ,abn,···抽去，余下項(xiàng)按原有順序組成一新數(shù)列{cn}，試求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．

解析易求an=3n，bn=3n -2，抽去的項(xiàng)為a1,a4,a7,··· ,a3n-2，所以數(shù)列{cn}為：a2,a3,a5,a6,a8,a9,··· ,a3n-1,a3n，共n項(xiàng)．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，配對(duì)求和，a3n-1+a3n=4·33n-1，這是一個(gè)新等比數(shù)列，公比為27，共有項(xiàng)(對(duì))．所以

Tn=(a2+a3)+(a5+a6)+···+(a3n-1+a3n)=4(32+35+···+33n-1)=當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有個(gè)括號(hào)，Tn=(a2+a3)+(a5+a6)+(a8+a9)+···+(a3n-4+a3n-3)+a3n-1=Tn-1+a3n-1=

綜觀上面8 道例題，求S2n比S60難，求Sn比S2n更難，最容易錯(cuò)的是不光對(duì)n分類討論，還有它的取值在不同場(chǎng)合有不同的要求，關(guān)鍵時(shí)可用特殊值驗(yàn)證，確保項(xiàng)數(shù)不重不漏．在用公式法求和時(shí)，還要關(guān)注分組后項(xiàng)數(shù)發(fā)生了變化和公比的改變，不能隨著公式任性用．總之，在授課時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其錯(cuò)誤，幫助其改正錯(cuò)誤，找到精準(zhǔn)的練習(xí)確保其少犯錯(cuò)誤．