“整體思想”在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

張亞峰

（江蘇省泰州中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)，江蘇泰州 225300）

引 言

整體思想是指在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，將要解決的問(wèn)題看作一個(gè)整體，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征進(jìn)行綜合考慮后得出結(jié)論的一種解題方法[1]。整體思想的主要表現(xiàn)形式有整體代入、整體換元、整體構(gòu)造，其在代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有著廣泛的應(yīng)用，正確地利用它來(lái)解題，可以達(dá)到事半功倍的效果。

一、在整式運(yùn)算中的應(yīng)用

A.7 B.18 C.12 D.9

解：因?yàn)?x2-4x+6=9，則所以

分析：如果直接代入計(jì)算，運(yùn)算量非常大，觀察已知條件的特點(diǎn)，考慮“整體代入”。

二、在方程中的應(yīng)用

分析：本題若用一般方法，即先解方程組，再代入求值，將十分煩瑣。仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，若將兩個(gè)方程直接相加，再化簡(jiǎn)，則很容易得出答案。

解：將兩個(gè)方程相加，得3x+3y=15，所以x+y=5。

例6：甲、乙、丙三人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，競(jìng)賽題目共有100道，每人都解出了60道，且每道題都至少有一人能解出。若將其中只有一個(gè)人能解出的題稱為難題，將有兩個(gè)人能解出的題稱為中等題，將三個(gè)人都能解出的題稱為容易題。試問(wèn)：難題多還是容易題多？多的比少的多幾道？

分析：設(shè)共有x道難題，y道容易題，z道中等題。

由于難題只有一個(gè)人能解出，所以三人共解難題x道；容易題有三人都能解出，所以三人共解容易題3y道；中等題有兩個(gè)人能解出，所以共解中等題2z道。而本題有兩個(gè)等量關(guān)系：（1）難題數(shù)+容易題數(shù)+中等題數(shù)=100；（2）3人共解題180道。

本題要求解出難題與容易題相差多少道，可將x-y看作一個(gè)整體，設(shè)法消去z。

解：根據(jù)題意得方程組：

①×2-②，得x-y=20

所以，難題比容易題多，多20道。

三、在幾何計(jì)算中的應(yīng)用

例7：如圖1所示，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)度至少需要_____米。

圖1 坡角為30°的樓梯

分析：由于臺(tái)階的級(jí)數(shù)以及每一級(jí)臺(tái)階的長(zhǎng)和高都未知，無(wú)法通過(guò)求每級(jí)臺(tái)階所需地毯的長(zhǎng)度來(lái)求地毯的總長(zhǎng)度。若從整體考慮：將每級(jí)臺(tái)階的高都平移到AC上，就可得知各級(jí)臺(tái)階高的和恰為AC的長(zhǎng)。同樣可得各級(jí)臺(tái)階長(zhǎng)的和恰為BC的長(zhǎng)。

例8：如圖2所示，五個(gè)半徑都是1的等圓⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外離，順次連結(jié)五個(gè)圓心得到五邊形ABCDE，則圖中陰影部分的面積和是（ ）。

A. π B. 1.5π C. 2π D. 2.5π

圖2 五個(gè)半徑為1的等圓

分析：由于無(wú)法求出每個(gè)扇形圓心角的度數(shù)，從而不能得到各個(gè)扇形的面積，因此要將五個(gè)陰影部分作為整體來(lái)考慮。注意到五邊形的內(nèi)角和為540°，即五個(gè)扇形的圓心角和為540°，而各個(gè)扇形的半徑也相等。

例9：如圖3所示，等邊△ABC中，BC=4，AD⊥BC，點(diǎn)E、F是AD上的兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（ ）。

圖3 等邊三角形ABC

分析：不難看出，EFCΔ的面積等于EFBΔ的面積，可將圖中陰影部分轉(zhuǎn)變成一個(gè)整體，即ABDΔ的面積。

結(jié) 語(yǔ)

整體思想作為初中數(shù)學(xué)一種重要的思想方法，它能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。布魯納指出，掌握基本數(shù)學(xué)思想和方法能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，只有領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)思想方法，用數(shù)學(xué)思想方法來(lái)武裝自己，才能真正成為數(shù)學(xué)的主人。