三角形中位線定理教材設(shè)計之我見

吳增生

（浙江省仙居縣教育局教研室）

一、問題的提出

在2017年舉行的第十屆初中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動中，三角形中位線定理作為初中幾何的重要定理，作為指定內(nèi)容由六位教師展示和講述了這一定理的課堂教學(xué)過程，以推動這一定理的教學(xué)研究.筆者在活動中觀察了一個分會場的兩位選手對三角形中位線定理的課堂教學(xué)及其講述，發(fā)現(xiàn)其教學(xué)中存在一些問題.進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式深深地影響著教師的教學(xué)行為，從教師的教學(xué)過程反映出教材對這一內(nèi)容的編排可以做更進(jìn)一步的優(yōu)化.

二、課例研究

1.兩個課例的教學(xué)基本思路呈現(xiàn)

兩個課例的教學(xué)思路基本相同，只有具體的問題和細(xì)節(jié)稍微不同.

（1）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題.

兩個課例都是通過提出一個測量問題來引入課題.

課例A的現(xiàn)實(shí)問題引例是：如圖1，某管線的一段AB被污染，現(xiàn)要搶修需測量出AB的長度，但有建筑物被擋，你有辦法解決嗎？

圖1

圖2

課例B的現(xiàn)實(shí)問題引例是：如圖2，一條輸電線路需跨越一個池塘，池塘兩側(cè)A，B處各立有一根電線桿，但利用現(xiàn)有皮尺無法直接量出點(diǎn)A，B間的距離，請你設(shè)計一個方案，測出A，B兩點(diǎn)間的距離，并說明理由.

兩個課例都是先引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造全等三角形來解決問題，再提出是否有更簡便的方法解決這個問題，并指出通過本節(jié)課學(xué)習(xí)三角形的中位線后，就可以簡便地解決這個實(shí)際問題，從而引出學(xué)習(xí)的主題.

（2）動手操作，探索和發(fā)現(xiàn)結(jié)論.

兩個課例中，教師都讓學(xué)生動手操作，嘗試把一張三角形紙片剪成四個全等的三角形紙片.學(xué)生通過嘗試，想到需要畫三角形兩邊中點(diǎn)的連線，于是得到三角形的中位線，提出研究中位線的問題.在給出并辨別三角形中位線概念后，教師又讓學(xué)生“剪一刀，把三角形紙片剪拼成一張平行四邊形紙片”，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形中位線的性質(zhì).

（3）演繹推理，證明性質(zhì).

兩個課例都引導(dǎo)學(xué)生先把文字命題通過畫出圖形，寫出已知、求證，具體化為直觀的線段關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生分析并證明定理的思路，讓學(xué)生獨(dú)立書寫證明過程，并通過交流提出定理的不同證明思路.課例A是按照如圖3所示的幾種方式作輔助線來證明三角形中位線定理，即已知D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，求證DE∥BC，且；課例B則介紹了如下的證明思路：（1）作平行線，證明三角形全等，證明平行四邊形；（2）旋轉(zhuǎn)三角形后，證明三角形全等，證明平行四邊形；（3）中點(diǎn)線段加倍后連續(xù)證兩次平行四邊形.

圖3

（4）應(yīng)用定理解決問題.

證明定理后，兩個課例都讓學(xué)生解決本節(jié)課開頭提出的實(shí)際問題，并進(jìn)一步研究了中點(diǎn)四邊形.課例B還讓學(xué)生研究四邊形的一組對邊中點(diǎn)及對角線中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形（如圖4）的特點(diǎn).最后，都讓學(xué)生總結(jié)了本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容、研究的方法等.

圖4

2.課例中存在的問題

（1）創(chuàng)設(shè)的情境無法引導(dǎo)學(xué)生自然合理地發(fā)現(xiàn)和提出問題.

通過創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)的、有挑戰(zhàn)性的問題引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)，這是一種引入新課的重要方法.如果僅僅從三角形中位線定理這一知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)來說，這樣引入是無可厚非的.然而，如果從知識之間的關(guān)聯(lián)，用系統(tǒng)和整體的觀點(diǎn)分析，就值得商榷了.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中，把三角形中位線的內(nèi)容放在四邊形的條目下，表明了運(yùn)用平行四邊形知識探索并證明三角形中位線定理的編寫意圖，這一意圖也在各種版本初中數(shù)學(xué)教材中得到體現(xiàn).如果從這種關(guān)聯(lián)性出發(fā)，則需要設(shè)計與平行四邊形有關(guān)的提出問題的思路，讓學(xué)生順著平行四邊形的研究，自然合理地發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題，而不是另起爐灶，創(chuàng)設(shè)新的現(xiàn)實(shí)情境.

（2）動手操作活動不自然且難以完成.

兩個課例在用現(xiàn)實(shí)問題創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突情境后，馬上都轉(zhuǎn)到讓學(xué)生操作“把一張三角形紙片分成四個全等的三角形”活動，這個活動既來得突然，學(xué)生又難以完成.首先，學(xué)生不知道為什么要做這個活動；其次，要完成這個操作，需要建立在學(xué)生知道三角形中位線定理結(jié)論的基礎(chǔ)上，否則，學(xué)生是想不到“過兩邊中點(diǎn)沿著直線剪”這種方法的，有邏輯循環(huán)之嫌.筆者用舉手方式在現(xiàn)場調(diào)查了30多位參加會議的且使用同版本教材的教師，問他們“沒有三角形中位線知識做基礎(chǔ)，學(xué)生是否能完成這個操作？”，結(jié)果有26人表示“學(xué)生想不到”，說明這一操作活動在教學(xué)中無法引起學(xué)生自然、合理的進(jìn)行數(shù)學(xué)思考.

三、教材的研究

為什么兩個課例的教學(xué)思路驚人地相似，且出現(xiàn)相同的教學(xué)問題？進(jìn)一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這兩個課例是基于同一版本的教材進(jìn)行教學(xué)的，上述教學(xué)思路正是來源于該版本教材的設(shè)計思路.這說明教材對教師教學(xué)行為具有重大影響，同時說明教材的編寫責(zé)任重大，需要不斷研究并改進(jìn)教材的建設(shè)，使之能承擔(dān)起引領(lǐng)教師的數(shù)學(xué)教學(xué)，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展現(xiàn)實(shí)的核心素養(yǎng)，落實(shí)數(shù)學(xué)育人的使命.

1.現(xiàn)行教材中三角形中位線定理內(nèi)容的基本呈現(xiàn)方式

對于三角形中位線定理，所有的教材都是放在四邊形的內(nèi)容下，體現(xiàn)應(yīng)用平行四邊形知識研究新問題的編寫意圖，大部分是放在平行四邊形的判定內(nèi)容學(xué)習(xí)后（如人教版、浙教版、北師大版等），也有放在特殊的平行四邊形學(xué)習(xí)后（如青島版）.定理內(nèi)容的呈現(xiàn)方式基本有兩種：一種是直接給出三角形中位線定理的內(nèi)容，再讓學(xué)生證明定理；另一種是設(shè)計一些操作性探索（如剪紙），體現(xiàn)定理的探索過程.現(xiàn)行各種版本教材中，對三角形中位線定理的安排，對探索過程的呈現(xiàn)并不理想，要么沒有呈現(xiàn)其探索過程，要么探索過程不自然，這是什么原因造成的呢？

2.數(shù)學(xué)史的考證與《標(biāo)準(zhǔn)》研究

為了追溯教材對某一數(shù)學(xué)內(nèi)容的編排在引領(lǐng)教學(xué)實(shí)踐中存在問題的原因，考察其形成和發(fā)展歷史是一種比較有效的方法.其實(shí)，在古代兩河流域，人類就發(fā)現(xiàn)了比三角形中位線定理更一般的結(jié)論——平行線分線段成比例定理，它來源于現(xiàn)實(shí)生活中土地與財產(chǎn)分割.古巴比倫時期（公元前1800年—公元前1600年）的數(shù)學(xué)泥版MLC1950上載有以下問題：三角形高為50，用平行于底邊的直線將其分割成高分別為30和20的小三角形和梯形，求原來的三角形及分割得到的小三角形的底邊的比.用中位線來分割三角形，只不過是其中的特例而已.在歐幾里得《幾何原本》中，也沒有找到三角形中位線定理，只有如下更一般的定理：如果一條直線平行于三角形的一邊，則它截三角形的兩邊成比例線段；又如果三角形的兩邊被截成比例線段，則截點(diǎn)的連線平行于三角形的另一邊.

這一命題其實(shí)是對泥版MLC1950上平行線分線段成比例定理內(nèi)容的一般化推廣和逆向研究的結(jié)果.

《標(biāo)準(zhǔn)》中，三角形的中位線定理是安排在四邊形內(nèi)容中的，要求探索并證明，而平行線分線段成比例定理作為相似三角形判定的基礎(chǔ)，是用基本事實(shí)（擴(kuò)大了的公理）出現(xiàn)的，要求學(xué)生掌握.《標(biāo)準(zhǔn)》中的平行線分線段成比例定理比歐幾里得《幾何原本》的命題更一般，但對逆命題沒有要求.

這種分散的安排體現(xiàn)了降低難度和夠用即可的意圖，但也給教材系統(tǒng)、有序地安排三角形中位線定理及平行線分線段成比例定理帶來了困難，難以像數(shù)學(xué)先賢一樣基于現(xiàn)實(shí)的面積分割需要，自然、合理地發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題，從而進(jìn)行系統(tǒng)的、自然合理的思考和研究.這是造成教材中探索三角形中位線定理設(shè)計不夠自然合理的重要原因.

四、對三角形中位線定理內(nèi)容設(shè)計的改進(jìn)建議

既然從數(shù)學(xué)史的角度挖掘三角形中位線定理的探索活動由于《標(biāo)準(zhǔn)》要求的變化無法進(jìn)行系統(tǒng)優(yōu)化，比較現(xiàn)實(shí)的做法應(yīng)該是基于《標(biāo)準(zhǔn)》的要求和意圖，把三角形中位線定理放到平行四邊形內(nèi)容中，作為平行四邊形研究的自然延伸是一種可選的策略.如果把三角形中位線定理的圖形基本結(jié)構(gòu)繞著中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°就可以得到?BCAF（如圖5），線段GE就是過平行四邊形對角線AB中點(diǎn)D和邊AC中點(diǎn)E的一條直線被對邊AC及BF截得的線段，而研究過平行四邊形對角線中點(diǎn)的直線被一組對邊截得的線段的性質(zhì)，則是平行四邊形對角線性質(zhì)研究的一般化，這在教材的平行四邊形內(nèi)容的例、習(xí)題中經(jīng)常出現(xiàn)，也是學(xué)生所熟悉的.把上述過程顛倒過來，就可以融合平行四邊形的研究，設(shè)計出三角形中位線定理的自然合理的探索發(fā)現(xiàn)活動，而且也能為定理的證明提供有效的啟發(fā).融合三角形中位線定理和平行四邊形研究，對定理探索活動的改進(jìn)建議方案設(shè)計如下.

圖5

課題：三角形的中位線定理.

我們知道，平行四邊形的對角線互相平分，你能探索下面更一般的問題嗎？

思考：1.如圖6，過?ABCD的對角線AC的中點(diǎn)G的直線交一組對邊BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，則線段EF與AC有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論.

2.如圖7，如果把點(diǎn)E的位置特殊化，變成邊BC的中點(diǎn)，則線段EF與邊AB有什么關(guān)系？

圖6

圖7

圖8

去掉圖7中?ABCD的對角線AC左側(cè)部分的圖形，得到如圖8所示的三角形，則GE是連接△ABC的兩邊AC，BC中點(diǎn)的線段，像這樣，連接三角形兩邊中點(diǎn)所得到的線段叫做三角形的中位線.

探究：三角形的中位線有什么性質(zhì)？

不難發(fā)現(xiàn)：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

然后，教師指導(dǎo)學(xué)生分析定理的證明思路，給出定理的證明過程.

這樣，三角形中位線定理是在深化探索平行四邊形對角線關(guān)系的活動中自然合理地發(fā)現(xiàn)的，這一發(fā)現(xiàn)過程也為學(xué)生提供了證明三角形的中位線定理的思路啟發(fā)，把線段平行且倍分問題通過延長或截取，轉(zhuǎn)化為證明線段之間的平行且相等問題，并進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為與平行四邊形相關(guān)的問題.這一探究過程，把三角形的中位線定理的發(fā)現(xiàn)、提出和證明過程融合到平行四邊形的深化研究活動中，體現(xiàn)了探索平行四邊形要研究其構(gòu)成要素（邊）和相關(guān)要素（對角線）的位置和數(shù)量關(guān)系.三角形的中位線定理是進(jìn)一步研究平行四邊形中過對角線中點(diǎn)和一邊中點(diǎn)連線與邊的位置和數(shù)量關(guān)系，是研究平行四邊形的延伸.這樣，既可以讓學(xué)生經(jīng)歷自然合理的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的過程，又是幾何圖形研究一般套路的再次運(yùn)用，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)探究發(fā)現(xiàn)和思考活動的經(jīng)驗(yàn).