形如an+1=λan+f（n）數(shù)列通項(xiàng)的求法

陳芳中

【摘要】形如an+1=λan+f（n）數(shù)列通項(xiàng)是高考命題中考查數(shù)列通項(xiàng)的一種重要題型，本文針對(duì)λ，f（n）的不同形式，給出其通項(xiàng)的不同求法.

【關(guān)鍵詞】通項(xiàng)公式;數(shù)列;等比數(shù)列

對(duì)形如an+1=λan+f（n）的數(shù)列，可根據(jù)λ，f（n）的不同形式，分為以下四類(lèi)：

類(lèi)型一an+1=an+c（此時(shí)λ=1，f（n）=c（c為常數(shù)））

解題思路由an+1=an+c可知，數(shù)列{an}是公差為c的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式可由an=a1+（n-1）c求得.

例1已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=2，3an+1=3an+4，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解由3an+1=3an+4可知數(shù)列{an}是公差為43，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，所以an=2+43（n-1），即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=43n+23.

類(lèi)型二an+1=an+f（n）（此時(shí)λ=1，f（n）通常為等差數(shù)列或等比數(shù)列等可求和數(shù)列）

解題思路由an+1=an+f（n）得

an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=f（n-1）+f（n-2）+…+f（1）+a1，通項(xiàng)公式可得.

例2已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=1，an+1=an+2n-1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解由an+1=an+2n-1得

an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1

=1+（1+…+（2n-5）+（2n-3）首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列的前n-1項(xiàng)和）

=n2-2n+2，

即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-2n+2.

例3已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=1，an+1=an+2n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解由an+1=an+2n得

an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1

=1+（2+…+2n-2+2n-1首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列的前n-1項(xiàng)和）

=2n-1，

即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.

類(lèi)型三an+1=λan+c（此時(shí)λ≠1，f（n）=c（c為常數(shù)））

解題思路假設(shè)存在實(shí)數(shù)x，使得an+1+x=λ（an+x），即an+1=λan+（λ-1）x，又因?yàn)閍n+1=λan+c，所以c=（λ-1）x，得x=cλ-1，因此，an+1+cλ-1=λan+cλ-1.令bn=an+cλ-1，則bn+1=λbn，從而可以得到等比數(shù)列{bn}的通項(xiàng)，再由bn=an+cλ-1可得數(shù)列{an}的通項(xiàng).

例4已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=1，an+1=2an+5，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解由an+1=2an+5可得an+1+5=2（an+5）.令bn=an+5，則bn+1=2bn且b1=a1+5=6，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得bn=32n，再由bn=an+5可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=32n-5.

類(lèi)型四an+1=λan+f（n）（此時(shí)λ≠1，f（n）不為常數(shù)）

解題思路構(gòu)造g（n），使an+1+g（n+1）=λ（an+g（n）），令bn=an+g（n），則bn+1=λbn，從而可以得到等比數(shù)列{bn}的通項(xiàng)，再由bn=an+g（n）可得數(shù)列{an}的通項(xiàng).其中構(gòu)造g（n）沒(méi)有通法.只能根據(jù)條件觀察構(gòu)造.

例5已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=1，an+1=2an+3n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解由an+1=2an+3n，得an+1=2an+3n+1-2·3n，

即an+1-3n+1=2（an-3n）.

令bn=an-3n，則bn+1=2bn且b1=a1-3=-2，

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得bn=-2n，

再由bn=an-3n得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=-2n+3n.

【參考文獻(xiàn)】

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