數(shù)學分析課程中的抽象與直觀探討

林穗華

【摘要】本文通過探討數(shù)學分析課程中抽象與直觀的聯(lián)系，旨為培養(yǎng)和提高高校數(shù)學專業(yè)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)提供策略和思路.

【關鍵詞】數(shù)學分析；數(shù)學核心素養(yǎng)；抽象；直觀

【基金項目】2016年廣西民族師范學院廣西重點培育學科（應用數(shù)學）課程資源建設立項（數(shù)學分析）（編號：Sxkczy01）.

一、引言

20世紀末開始的數(shù)學課程改革，大力提倡培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng).所謂數(shù)學素養(yǎng)，是人們能夠用數(shù)學的眼光來觀察世界，發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的內(nèi)在素養(yǎng)，由數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想與方法、數(shù)學能力與觀念等組成.其中數(shù)學核心素養(yǎng)主要包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六個方面.

高等師范院校數(shù)學與應用數(shù)學（師范類）專業(yè)承擔著為中小學校培養(yǎng)合格數(shù)學教師的重大責任，培養(yǎng)的學生要具備良好的數(shù)學素養(yǎng).而數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開數(shù)學專業(yè)知識的學習，數(shù)學分析課程是高等師范院校數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)中的一門重要專業(yè)基礎課.它集科學性、嚴密性與連貫性于一體，包含了豐富的數(shù)學思想和數(shù)學基礎知識，是學生進一步學習后繼專業(yè)課程的階梯.因此，數(shù)學分析課程的知識和內(nèi)容對數(shù)學專業(yè)學生數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)具有重要的作用.

二、數(shù)學分析課程的抽象與直觀

數(shù)學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象的思維過程.數(shù)學抽象主要包括從數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構，并且用數(shù)學符號或者數(shù)學術語予以表征.

直觀想象主要指借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用幾何圖形理解和解決數(shù)學問題.主要包括利用圖形描述數(shù)學問題，啟迪解決問題的思路，建立形與數(shù)的聯(lián)系，加深對事物本質和發(fā)展規(guī)律的理解和認知.

抽象和直觀常常在同一個數(shù)學問題中同時存在.數(shù)學分析課程中，抽象和直觀是不可缺少的思維方法.很多初次接觸數(shù)學分析課程的高校學生常常覺得數(shù)學分析課程學習起來晦澀難懂，究其原因就是數(shù)學分析課程中有大量抽象的定義、定理、法則、公式和數(shù)學模型等.對數(shù)學分析知識和內(nèi)容的抽象性，如果機械地記憶，很難在解題過程中熟練地運用.但是數(shù)學分析的很多理論知識，又是現(xiàn)實世界中直觀現(xiàn)象的數(shù)學反映.因此，在學習數(shù)學分析課程的時候，可以采用化抽象為直觀的處理方法，利用直觀化的形式，去理解和接受新的知識，達到加深對數(shù)學分析知識的理解和掌握的目的.

（一）通過幾何直觀來理解抽象的概念

例如，數(shù)列極限的定義是極限的基本概念，也是數(shù)學分析中學習的第一個極限定義，定義內(nèi)容為：設{xn}為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么小），總存在正整數(shù)N，使得當n>N時，不等式|xn-a|<ε都成立，則稱數(shù)列{xn}以a為極限.

由于數(shù)列極限的高度抽象性，初學者對數(shù)列極限的定義可能難以理解，進而影響其運用該數(shù)列極限定義解決其他問題.如果我們從幾何直觀的角度來分析、理解數(shù)列極限的幾何意義，將抽象的數(shù)列極限定義直觀化.可以幫助我們更深入地理解這個數(shù)列極限的定義.

由圖1我們可以清晰地觀察到：任給ε>0，對于坐標平面上以x=a為中心，寬為2ε的鄰域，總可以找到N>0，使得數(shù)列中的無限項an，n>N落在鄰域內(nèi).抽象的數(shù)列極限定義經(jīng)過直觀化，更清楚簡明，易于更好地理解和把握.

（二）利用幾何直觀來掌握抽象的數(shù)學公式

多元復合函數(shù)的求導一般比較復雜，有各種各樣的情形出現(xiàn)，在求導過程中很容易混淆復合函數(shù)中的自變量和中間變量.為了便于記憶，可以按照變量間的復合關系，畫出直觀的示意圖，幫助學生進行記憶，使學生可以更好地掌握公式的本質思想.

（三）運用直觀想象加深對抽象定理的理解

數(shù)學分析是建立在極限理論基礎之上的，而極限理論的基礎是實數(shù)，實數(shù)完備性定理就成為基礎的基礎.實數(shù)的完備性定理中的區(qū)間套定理是證明和推導其他實數(shù)完備性定理的有效工具.

閉區(qū)間套定理：若閉區(qū)間列{[an，bn]}是滿足如下條件

（1）[an，bn][an+1，bn+1]，n=1，2，…；

（2）limn→∞bn-an=0.

則在實數(shù)中存在唯一的一點ξ，使得ξ∈[an，bn]，n=1，2，….

區(qū)間套定理內(nèi)容抽象，如果結合定理的幾何意義（圖2），可以理解為：區(qū)間[a1，b1]套著[a2，b2]，區(qū)間[a2，b2]套著[a3，b3]，…，以此類推，最后一定能套出一個公共的實數(shù)點.

【參考文獻】

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