求數(shù)列極限的幾種常用方法

李金媛

【摘要】隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)思維的地位日益凸顯，極限理論也逐漸被眾人所熟知和接受.在數(shù)學(xué)分析中，極限理論是比較重要的部分，它也掌握著數(shù)學(xué)分析的命脈，運(yùn)用極限理論可解決許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問題.數(shù)學(xué)分析中所討論的極限大致可以分為兩類：一類是數(shù)列的極限;一類是函數(shù)的極限.兩類極限之間有著密切的聯(lián)系，不可分割.而極限的運(yùn)算復(fù)雜多樣，題型又千變?nèi)f化，學(xué)生不容易掌握，本文主要針對(duì)這些現(xiàn)象對(duì)求解數(shù)列極限的幾種常用方法進(jìn)行探討.

【關(guān)鍵詞】數(shù)列極限;方法

一、運(yùn)用極限的定義來求極限

定義：設(shè){an}為數(shù)列，a為常數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，有|an-a|<ε，則稱數(shù)列{an}收斂于a，常數(shù)a稱為數(shù)列{an}的極限.

二、利用極限四則運(yùn)算法則及重要公式和初等變形求極限

（1）四則運(yùn)算法則：若 limn→∞an=a， limn→∞bn=b.

limn→∞（an±bn）=a±b， limn→∞（anbn）=ab，

limn→∞anbn=ab（b≠0）.

（2）limn→∞alnl+al-1nl-1+…+a0bknk+bk-1nk-1+…+b0=limn→∞alnlbknk.

當(dāng)l=k時(shí)，原式=albk;當(dāng)lk時(shí)，原式=+∞.

（3） limn→∞qn=0（|q|=0）.

（4） limn→∞na=1（a>0）.

（5） limn→∞an=a.

則① limn→∞a1+a2+…+ann=a.

② 若an>0，limn→∞na1a2…an=a.

（6）若{an}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，公比q滿足|q|=1，則 limn→∞Sn=a11-q.

三、利用重要極限求數(shù)列的極限

（1） limn→∞sinxx=1.

變形 limn→∞sinφ（n）φ（n）=1（n→∞，φ（n）→0）.

（2）limn→∞ax-1x=lna（a>0）.

變形 limn→∞aφ（n）-1φ（n）=lna（a>0）（n→∞，φ（n）→0）.

（3） limn→∞1+1nn=e.

變形 limn→∞（1+φ（n））1φ（n）=e（n→∞，φ（n）→0）.

推廣：（1）n→∞.若φ（n）→0，f（n）→∞且φ（n）·f（n）→A，

則 limn→∞（1+φ（n））f（n）=limn→∞ef（n）ln（1+φ（n））=limn→∞ef·φ=eA.

（2）n→∞.若φ（n）→1，f（n）→∞且（φ（n）-1）f（n）→B，

則 limn→∞φ（n）f（n）=limn→∞ef（ln（φ（n））-1）=eB.

四、單調(diào)有界數(shù)列法、單調(diào)有界數(shù)列必收斂（即存在極限）

（1）利用“單調(diào)數(shù)列必收斂”證明極限存在;

（2）令 limn→∞an=a，對(duì)an+1=f（an）兩邊取極限，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程，求出a的值.

五、利用迫斂性準(zhǔn)則求數(shù)列極限

如果數(shù)列{xn}，{yn}，{zn}滿足下列條件：

（1）從某項(xiàng)起，均有yn≤xn≤zn;

（2） limn→∞yn=a，limn→∞zn=a，則limn→∞xn=a.

六、利用柯西收斂準(zhǔn)則證明極限的存在性

例證明an=b112+b222+b332+…+bnn2（|bn|≤M，n=1，2，…）收斂.

證明ε>0，N>0，使得當(dāng)n>N，P∈N+，有1n2≤1n（n-1）=1n-1-1n，|an+p-an|=M1n+p-1-1n+p+1n+p-2-1n+p-1+…+1n-1-1n≤M1n<ε.

七、利用等價(jià)無窮小代換求極限

重要的近似公式：當(dāng)x→0時(shí)

（1）sinx～x;（2）tanx～x;（3）ex-1～x;

（4）1-cosx～12x2;（5）arcsinx～x;（6）arctanx～x;

（7）ln（1+x）～x;（8）ax-1～xlna（a>0且a≠1）.

八、利用定積分求數(shù)列極限（此類方法主要是處理無限項(xiàng)求和或求積的形式）

定積分的定義的數(shù)學(xué)形式：實(shí)際使用中[a，b]→[0，1]比較常見.

∫baf（x）dx=limn→∞∑ni=1fa+i（b-a）nb-an（取右端點(diǎn)定義，x0=a），

∫baf（x）dx=limn→∞∑n-1i=0fa+i（b-a）nb-an（取左端點(diǎn)定義，xn=b）.

以上方法是數(shù)學(xué)分析中常用的求解數(shù)列極限的重要方法.除了以上的常用的方法外，還有許多求數(shù)列極限的方法等著我們不斷去探索和挖掘，每一種方法的產(chǎn)生都源于多樣的表達(dá)方式和細(xì)心地發(fā)現(xiàn)，所以在求解極限的過程中要巧妙地運(yùn)用技巧，找到合適的方法，使問題迎刃而解.

【參考文獻(xiàn)】

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