淺談幾何畫板中圓錐曲線的繪制原理

于然 趙世恩 馬雯

【摘要】圓錐曲線就其內(nèi)容本身，是平面解析幾何的核心內(nèi)容，也是連接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的橋梁，學(xué)好圓錐曲線相關(guān)知識，可以為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下堅實的基礎(chǔ).這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)主要注意以下兩點：一是掌握圓錐曲線的方程及其各個參數(shù)的含義;二是了解圓錐曲線軌跡的形成過程.對于這兩點，幾何畫板的動態(tài)性和直觀性不僅可以很好地幫助學(xué)生理解和掌握這部分知識，而且可以使學(xué)生對幾何的學(xué)習(xí)產(chǎn)生強(qiáng)烈的興趣.本文根據(jù)圓錐曲線的幾種定義，在幾何畫板中用動態(tài)效果展示了橢圓、雙曲線以及拋物線的繪制方法、相關(guān)原理以及繪制過程.

【關(guān)鍵詞】幾何畫板;橢圓;雙曲線;拋物線

中學(xué)數(shù)學(xué)分為代數(shù)、幾何兩大模塊，其中幾何模塊為大部分學(xué)生的重點和難點.而幾何中圓錐曲線所占比例較重，尤以點的軌跡問題最為抽象難懂，同時也是高考的必考知識點.如何學(xué)好和教好這個知識點，成為學(xué)生與教師共同面對的問題.

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)代技術(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用無疑是教學(xué)改革中的一個熱點，是教育現(xiàn)代化的一個重要標(biāo)志.運(yùn)用多媒體技術(shù)來進(jìn)一步補(bǔ)充和完善傳統(tǒng)教學(xué)模式，可以拓寬數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)形式，改變以往單一的教學(xué)手段，使數(shù)學(xué)問題更加形象化，更貼近生活.

幾何畫板就是一個很好的數(shù)學(xué)輔助工具，具有直觀性和動態(tài)性，可以很好地實現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合，隨時看到各種情況下的數(shù)量關(guān)系及其變化，把數(shù)和形的潛在關(guān)系及其變化動態(tài)的顯現(xiàn)出來.教師在圓錐曲線課堂教學(xué)的過程中可以挖掘教材，充分利用幾何畫板動態(tài)性、直觀性的表現(xiàn)力，在概念、公式、參數(shù)的教學(xué)中設(shè)計研究性課題，使學(xué)生了解應(yīng)用幾何畫板研究圓錐曲線問題的基本過程.

一、幾何畫板中橢圓的繪制

我們利用幾何畫板繪制橢圓的理論基礎(chǔ)就是橢圓的幾種等價定義.

方法一根據(jù)橢圓的第一定義，平面上到兩點的距離之和為定值的點的軌跡叫作橢圓.

我們知道，平面內(nèi)到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫作圓.因此，將“兩點距離之和為定值”的“兩點”分別構(gòu)造為同一個圓的圓心和圓周上任意一點，即將“定值”轉(zhuǎn)化為圓的半徑，是根據(jù)第一定義繪制橢圓軌跡的關(guān)鍵.

具體步驟如下：

1.任意做一條線段，使它的長度為2a;

2.以點F1為圓心，2a為半徑作圓，在圓上任取一點P，在圓內(nèi)任取一點F2;

3.構(gòu)造線段PF1和線段PF2;

4.構(gòu)造PF2的中點，過中點作線段PF2的垂線，與線段PF1交于點M;

5.連接線段MF2，并追蹤點M;

6.選中點P，單擊<編輯/操作類按鈕/動畫>選項，在畫板中出現(xiàn)“動畫點”按鈕;

7.單擊“動畫點”按鈕，就會逐漸顯現(xiàn)橢圓的軌跡，實現(xiàn)動態(tài)演示軌跡形成的過程（如圖1）.

其中，兩定點F1，F(xiàn)2為橢圓的焦點，兩焦點之間的距離F1F2=2c為橢圓的焦距，橢圓截與兩焦點連線重合的直線所得的弦A1A2=2a為長軸，橢圓截垂直平分兩焦點連線的直線所得弦B1B2=2b為短軸.

橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)過程中，點M的橫坐標(biāo)與點A的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)與點B的縱坐標(biāo)相同，為了建立點A和點B的坐標(biāo)之間的聯(lián)系，引進(jìn)了參數(shù)θ，參數(shù)θ的幾何意義是半徑OA的旋轉(zhuǎn)角∠AON（注意：不是OM的旋轉(zhuǎn)角）.

具體的步驟如下;

1.打開一個新畫板，建立直角坐標(biāo)系，單擊<繪圖/網(wǎng)格樣式/方形網(wǎng)格>選項，隱藏單位點;

2.以坐標(biāo)原點O為圓心，分別以a，b（a>b>0）為半徑畫兩個圓;

3.在大圓上任取一點A，構(gòu)造線段OA，與小圓交于點B，線段OA與x軸形成夾角θ，θ∈[0，2π）;

4.過點A作直線AN垂直于x軸，垂足為點N;

5.過點B作直線BM垂直于直線AN，垂足為點M，追蹤點M;

6.選中點A，單擊<編輯/操作類按鈕/動畫>選項，在畫板中出現(xiàn)“動畫點”按鈕;

7.單擊“動畫點”按鈕，就會逐漸顯現(xiàn)橢圓的軌跡（如圖2），實現(xiàn)動態(tài)演示軌跡形成的過程.

二、幾何畫板中雙曲線的繪制

根據(jù)雙曲線的第一定義，平面上到兩點的距離之差為定值的點的軌跡叫作雙曲線.雙曲線與橢圓的第一定義中都出現(xiàn)“定值”一詞，在橢圓的繪制中，我們借助圓的性質(zhì)解決了“定值”的問題，這種方法在繪制雙曲線時同樣適用，即把“兩點距離之差為定值”的“兩點”分別構(gòu)造為同一個圓的圓心和圓周上任意一點，仍然是將“定值”轉(zhuǎn)化成了圓的半徑.

具體的步驟如下：

1.打開一個新畫板，建立直角坐標(biāo)系，單擊〈繪圖/網(wǎng)格樣式/方形網(wǎng)格〉選項，隱藏單位點;

2.在x軸上取兩點F1，F(xiàn)2，使得OF1=OF2，用它們作為兩個焦點;

3.在圖形外作一條線段，使得它的長度為2a（2a<|F1F2|）;

4.以F1為圓心，2a為半徑作圓，在圓上任取一點P;

5.連接PF1，PF2，作PF2的中垂線與直線PF1交于點M，連接MF2;

6.選中點M，單擊〈顯示/追蹤交點〉選項，追蹤點M;

7.選中點P，單擊〈編輯/操作類按鈕/動畫〉選項，在畫板中出現(xiàn)“動畫點”按鈕;

8.單擊“動畫點”按鈕，就會逐漸顯現(xiàn)雙曲線軌跡（如圖4）.

其中，點O是雙曲線的中心，點F1和點F2分別為雙曲線的左、右焦點，F(xiàn)1F2之間的距離為焦距2c，點M是雙曲線上的任意一點，當(dāng)點M運(yùn)動到x軸上時，點P也在x軸上，點M與雙曲線的頂點A2重合，所以雙曲線的實軸長是A1A2=A2F1-A2F2=A2F1-A2P=PF1=2a.

三、幾何畫板中拋物線的繪制

根據(jù)拋物線的第一定義，平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的集合叫作拋物線.

不變量：到一個定點的距離和到一條定直線的距離相等.r=KA=dP1l=P1F.

具體步驟如下：

1.打開一個新畫板，選擇線段工具，在畫板上畫任意線段KF，并構(gòu)造KF的中點O;

2.過點K作線段KF的垂線l，過點K和點F作射線m;

3.在射線m上任取一點A，過點A作射線m的垂線n;

4.以點F為圓心，線段KA為半徑作圓，交垂線n于點P1和點P2，則點P1和點P2到點F和直線l的距離相等，追蹤點P1，P2;

5.選中點A，單擊〈編輯/操作類按鈕/動畫〉選項，在畫板中出現(xiàn)“動畫點”按鈕;

6.單擊“動畫點”按鈕，就會逐漸顯現(xiàn)拋物線的軌跡，實現(xiàn)動態(tài)演示軌跡形成的過程.

四、教學(xué)建議

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)代技術(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用無疑是教學(xué)改革中的一個熱點，是教育現(xiàn)代化的一個重要標(biāo)志.充分運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)輔助課堂教學(xué)，不僅能增大課堂容量、優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)，而且能增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的探究精神.運(yùn)用多媒體技術(shù)可以拓寬數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)形式，改變以往單一的教學(xué)手段，使數(shù)學(xué)問題更加形象化，更貼近生活，為數(shù)學(xué)教育開辟了更為廣闊的天地.

保持幾何關(guān)系是幾何畫板的精髓.在畫板中的幾何圖形無論如何變化，它們之間所具有的幾何關(guān)系都不變.這恰恰是幾何學(xué)的實質(zhì)，即在不斷變化的幾何圖形中研究不變的幾何規(guī)律.因此，在以學(xué)生為主體的課堂中，在幾何畫板的平臺上，學(xué)生可以任意拖動圖形，觀察圖形，猜測并驗證數(shù)學(xué)命題.在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加對各種圖形的感性認(rèn)識，形成豐厚的幾何經(jīng)驗背景，深化學(xué)生對知識的理解和掌握.幾何畫板為學(xué)生創(chuàng)造了一個進(jìn)行“幾何實驗”的環(huán)境，有助于發(fā)揮學(xué)生的主體性、積極性和創(chuàng)造性，充分體現(xiàn)了現(xiàn)代教學(xué)的思想.

通過對本專題的學(xué)習(xí)，學(xué)生將掌握極坐標(biāo)和參數(shù)方程的基本概念，了解曲線的多種表現(xiàn)形式，體會從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，培養(yǎng)探究數(shù)學(xué)問題的興趣和能力，體會數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用價值，提高應(yīng)用意識和實踐能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉勝利.幾何畫板課件制作教程[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[2]陶維林.幾何畫板實用范例教程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2013.

[3]朱俊杰，繆亮，周傳高.幾何畫板課件制作百例[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.

[4]陶丹.幾何畫板在圓錐曲線中的應(yīng)用研究[D].南昌：江西師范大學(xué)，2005.

[5]阮小燕，趙小云.一種證實“圓錐曲線的相關(guān)性”的新方法——來自幾何畫板的新思路[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2000（3）：14.

[6]張店新，梅松竹.幾何畫板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].電腦與知識，2009（5）：3550-3552.

[7]朱日華.利用幾何畫板繪制圓錐曲線的統(tǒng)一軌跡[J].中國信息技術(shù)教育，2012（12）：85-86.

[8]陳永勝.“幾何畫板”繪制橢圓的幾種典型作法[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2010（2）：13-15.

[9]劉書林.《幾何畫板》在圓錐曲線教學(xué)中的應(yīng)用[J].文理導(dǎo)航，2015（7）：29-31.

[10]甘大旺.運(yùn)用幾何畫板畫圓錐曲線的三類方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2007（8）：23-26.