巧用等價無窮小代換計算極限的方法推廣

胡珍妮　王奕閏

【摘要】極限是高等數(shù)學中的基本運算工具，正確使用等價無窮小代換可簡化極限運算.本文介紹了常見等價代換及錯例分析并對含有和差項的等價代換做簡單推廣.

【關鍵詞】等價無窮??；代換；極限；推廣

極限是函數(shù)研究的重要方法，也是研究變量變化趨勢的基本工具.高等數(shù)學中的許多基本概念都是以極限思想為基石，因此，學好極限對高等數(shù)學學習舉足輕重.等價無窮小代換是極限運算的常用方法，正確使用等價代換可簡化運算.然而，此方法并非萬能，它的使用是有條件的，稍不注意就會出現(xiàn)計算錯誤[1].本文結(jié)合實例介紹了常見等價代換及錯例分析并對含有和差項的等價代換做簡單的推廣.

一、無窮小與等價無窮小

我們知道，在自變量的某種趨勢下，極限為0的一類函數(shù)稱為無窮小.可以看到無窮小在本質(zhì)上是函數(shù)，而0只是作為無窮小的唯一一個常數(shù).

α，β是自變量在同一變化過程中的無窮小量，若limαβ=1，則稱α與β是等價無窮小，記作α～β.常用的有：當x→0時，sinx～tanx～arcsinx～arctanx～（ex-1）～ln（1+x）～x；1-cosx～12x2；（1+x）-1～x（≠0）；ax-1～xlna（a>0）.[2]

二、“l(fā)imαβ”型極限中的等價無窮小的代換

定理1在同一變化過程中，若limα=0，limβ=0.α～α′，β～β′且limα′β′存在，則有l(wèi)imαβ=limα′β′.[3]

例1求極限 limx→0（1+x2）13-11-cosx.

分析此題是“00”型未定式，根據(jù)定理1，應該考慮函數(shù)的分子與分母可否用其等價無窮小代換，以簡化極限的運算.

解當x→0時，（1+x2）13-1～13x2，1-cosx～12x2，

所以， limx→0（1+x2）13-11-cosx=limx→013x212x2=23.

利用極限的變量代換法則，等價無窮小還可大大擴展應用范圍.當x→x0（或x→∞時），u（x）→0（u（x）≠0）有u（x）～sinu（x）～tanu（x）～arcsinu（x）～arctanu（x）～ln（1+u（x））～（eu（x）-1）；1-cosu（x）～u2（x）2；（1+u（x））-1～u（x）（≠0）；au（x）-1～u（x）lna（a>0）.例如，當x→0時，esinx-1～sinx～x；當x→∞時，ln1+1x～1x.

三、“l(fā)imα±βγ”型極限中的等價無窮小的代換

應用等價無窮小代換的原則是：乘除可用，加減慎用.而學生在利用等價無窮小代換計算極限時往往容易出錯，究其原因，是弄不清楚代換的原理及對象，另外就是對無窮小的等價概念不清楚[4].當出現(xiàn)兩個無窮小的和或差時，應怎樣計算呢？為了解決學生的困惑，下面結(jié)合實例對極限式中含有和或差項的等價代換做簡單推廣.

定理2設α～α′，β～β′，且limαβ=C.若C≠-1，則α+β～α′+β′；若C≠1，則α-β～α′-β′.[5]

例2求極限 limx→0tanx-sinxx3.

錯解因為，當x→0時，tanx～x，sinx～x，

所以， limx→0tanx-sinxx3=limx→0x-xx3=0.

錯誤分析當x→0時，tanx～x，sinx～x，此時 limx→0xx=1不滿足定理2的條件，故錯誤.由定理1可知，等價無窮小的代換，必須是分子或分母進行整體代換，一般情況下不能代換分子或分母中的一項.事實上，tanx-sinx～x32（x→0），即tanx-sinx與0不是等價無窮小，即使將分子代換成x-sinx也不對，因為x-sinx～x36，即tanx-sinx與x-sinx也不是等價無窮小，這一點是初學者必須重視的.

正解limx→0tanx-sinxx3=limx→0sinx（1-cosx）x3cosx

=limx→0x·12x2x3=12.

例3求極限 limx→0sin3x-tan2x1+x-1.

解當x→0時，sin3x～3x，tan2x～2x，1+x-1～12x，因為， limx→0sin3xtan2x=limx→03x2x=32≠1，

所以，sin3x-tan2x～3x-2x=x，

故 limx→0sin3x-tan2x1+x-1=limx→0x12x=2.

定理3若α～α′，β～β′且limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′存在，則當Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0且limAα±BβCα±Dβ存在時，有l(wèi)imAα±BβCα±Dβ=limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′，其中A，B，C，D為非零常數(shù).[6]

例4求極限limx→0sin3x2-2x23x2+tan2x2.

解當x→0時，sin3x2～3x2，tan2x2～2x2，

因為，limx→03x2-2x23x2+2x2=limx→0x25x2=15≠0，

所以， limx→0sin3x2-2x23x2+tan2x2=limx→03x2-2x23x2+2x2=limx→0x25x2=15.

總而言之，巧用等價無窮小的代換法求函數(shù)極限可簡化運算過程.因此，掌握以上方法，就可以達到用等價無窮小代換法簡化極限運算的目的.

【參考文獻】

[1]趙瓊.用等價無窮小代換求極限的兩個誤區(qū)[J].高等數(shù)學研究，2009（5）：17-18.

[2]王志平.高等數(shù)學（上冊）[M].上海：上海交通大學出版社，2012：47.

[3]王紹乾，趙進超.利用等價無窮小代換求函數(shù)的極限[J].成都教育學院學報，2003（6）：80.

[4]殷君芳.用等價無窮小代換求極限的誤區(qū)及一點補充[J].宜春學院學報，2011（4）：25-26.

[5]吳緯峰.對等價無窮小代換與洛必達法則求極限的探討[J].濰坊教育學院學報，2008（2）：22-23.

[6]楊文泰.等價無窮小量代換定理的推廣[J].甘肅高師學報，2005（2）：12-13.