解題反思：實現(xiàn)學(xué)生自我提升的有效路徑

蔣 凱

(蘇州胥江實驗中學(xué) 215004)

我們知道，問題是數(shù)學(xué)的心臟．如何切實提升學(xué)生解決問題的能力，從而讓學(xué)生輕負(fù)高效地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，則需要培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的解題反思習(xí)慣．但是在解題之后具體反思什么，如何進(jìn)行反思，教師往往缺乏系統(tǒng)的思考，學(xué)生往往只是停留在低層次的錯題整理上．筆者認(rèn)為，在指導(dǎo)學(xué)生解題反思之時，教師有必要從以下幾個角度引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會反思，進(jìn)而促成學(xué)生自我提升與發(fā)展，幫助學(xué)生找到實現(xiàn)自我提升的有效路徑.

1 反思解題所用的基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想方法

在問題講解過程中，引導(dǎo)學(xué)生圍繞基礎(chǔ)知識進(jìn)行回顧總結(jié)，可以使學(xué)生對知識理解更加深刻．而對初中學(xué)生進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)思想方法的滲透，可以在解題實踐中切實引導(dǎo)學(xué)生體驗思想方法對解題的指導(dǎo)作用.

例1二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像如圖1所示，請根據(jù)圖像解答下列問題：

圖1

(1)寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根.

(2)寫出不等式ax2+bx+c>0的解集.

(3)若方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍.

反思求方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根，即為求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)；求不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集，即為求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像在x軸上方時自變量x的取值范圍；研究方程ax2+bx+c=k(a≠0)的根的情況，則等價于研究過點(0，k)且平行于x軸的直線y=k與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像的公共點情況．諸如此類的反思與總結(jié)，無論是對問題解決的策略概括與提升，還是對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法(數(shù)形結(jié)合)滲透意識的形成，都將大有裨益．

2 反思解題所用的基本技能、特殊解題技巧

在教學(xué)實踐中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生對問題的分析很到位，解題思路和方法也正確，但由于技能相對薄弱，或者缺少必要的解題技巧，最終導(dǎo)致解題失?。纱丝梢姡此冀忸}過程中所用的技能、技巧也很有必要.

例2(蘇州中考題) 設(shè)拋物線y=ax2+bx-2與x軸交于兩個不同的點A(一1，0)、B(m，0)，與y軸交于點C，且∠ACB=90°.

圖2

(1)求m的值和拋物線的解析式；

(2)已知點D(1，n)在拋物線上，過點A的直線y=x+1交拋物線于另一點E．若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標(biāo).

(3)在(2)的條件下，△BDP的外接圓半徑等于______.

由“y=ax2+bx-2”得到C(0，-2)，這樣的技能應(yīng)成為一種自動化反應(yīng)；由“∠ACB=90°、OC⊥AB”想到△ABC、△COB、△ACO這三個三角形兩兩相似，這樣的想法應(yīng)成為一種思維習(xí)慣；由“△ABC為直角三角形”想到分類討論(盡管符合題意的只有一種情形)，應(yīng)該成為學(xué)生的一種基本素養(yǎng)．當(dāng)技能成為自動化反應(yīng)，一定條件的組合能夠喚醒學(xué)生的知識儲藏，一定的條件特征能夠得到一定的思維呼應(yīng)，那么基本技能也就固化成內(nèi)在的數(shù)學(xué)品質(zhì)，特殊的解題技巧也就應(yīng)時而生了．

3 反思解題經(jīng)歷的探究過程，從感性解題思維進(jìn)入理性階段

先秦寓言《列子·湯問》告訴我們：學(xué)習(xí)，不僅要知其然，而且還要知其所以然．因此，我們要善于觀察和認(rèn)知事物，并掌握其規(guī)律，從而知道事物是怎么樣的，為什么是這個樣子的．也就是說，看待事物更要看到本質(zhì)．在解題教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生反思“為什么要這么想”即“從題目中的何種信息引導(dǎo)我們這么想”，從而使學(xué)生對一道難題的感性認(rèn)識上升到解題策略提升的理性思維階段.

例3有一個二次函數(shù)的圖像，三位學(xué)生分別說出了它的一些特點：

甲：對稱軸是直線x=4；

乙：與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)都是整數(shù)；

丙：與y軸交點的縱坐標(biāo)也是整數(shù)，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3.

請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數(shù)解析式：________.

4 反思解題過程中的易錯點，在突破思維定勢中對審題重要性的認(rèn)識

在解題過程中，不少學(xué)生由于對基礎(chǔ)知識理解不夠深刻，或者審題不夠仔細(xì)，從而造成解題錯誤．因此反思解題過程中的易錯點，突破固有的思維定勢，其實也是給自己提供一個對基礎(chǔ)知識重新理解的機(jī)會.

圖3

例4如圖3，A、B兩個村子在河邊CD的同側(cè)，A、B兩村到河邊的距離分別是AC=1千米，BD=3千米，且CD=3千米．現(xiàn)要在河邊CD建一水廠向A、B兩村供應(yīng)自來水，已知鋪設(shè)水管的工程費用為每千米2萬元．請你在CD上選擇水廠位置，使鋪設(shè)水管的費用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費用.

錯解如圖4，作點A關(guān)于CD的對稱點F，連接FB交CD于點E．則E點處即為所建水廠位置．過點F作FG⊥BD交BD的延長線于點G，易解得：FG=3千米，BG=4千米，在Rt△BFG中，求得FB=5 千米．故所鋪設(shè)水管的總費用至少為2×5=10 萬元.

圖4

元．該方案顯然比如圖4所示的方案來得更為合理．從本例中可以看出，由于“思維定勢”而造成的盲目“生搬硬套”，往往就是學(xué)生解題的易錯點所在．從某種意義上講，本題對促進(jìn)教師自我反省以改進(jìn)教學(xué)方法也是一個很好的案例．

圖5

結(jié)語數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題，解題反思能夠更好地加深學(xué)生對問題的理解，提升對所學(xué)知識的綜合運用能力．當(dāng)然，除了上述的幾個反思角度之外，我們還可引導(dǎo)學(xué)生去反思某類問題的解題一般規(guī)律、問題的拓展延伸方向等等．因此，在每一次解題教學(xué)之后，教師若能恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生對相關(guān)問題進(jìn)行反思，久而久之，將會促成學(xué)生的反思意識從被動到主動，帶來的是學(xué)生的解題思維從感性到理性，從模仿到自立與創(chuàng)新，學(xué)生的解題能力必將得到提高，從而實現(xiàn)陶行知先生所倡導(dǎo)的“處處是創(chuàng)造之地，天天是創(chuàng)造之時，人人是創(chuàng)造之人”之境界．