例談數(shù)學教學中慢與快的辯證法

鄭 瑄 沈吉兒

(1.浙江省寧波市江北區(qū)教育局教研室 315020 2.浙江省寧波教育學院 315000)

朱光潛先生在《人生的藝術(shù)化》中這樣寫道：

阿爾卑斯山谷中有一條大汽車路，兩旁景物極美，路上插著一個標語勸告游人說：“慢慢走，欣賞??！”許多人在這車如流水馬如龍的世界過活，恰如在阿爾卑斯山谷中乘汽車兜風，匆匆忙忙的急馳而過，無暇一回首流連風景，于是這豐富華麗的世界便成為一個了無生趣的囚牢.這是一件多么可惋惜的事?。?/p>

無獨有偶，歌手梁靜茹有一首歌，名為《慢慢來，比較快》，歌中唱到：

讓葡萄慢慢暈開，釀成芳香再醒來；讓時間慢慢暈開，釀成智慧喝起來.

有些事其實急不來.等知了蛻變歸來，等蟬聲夏夜散開.

慢慢來會比較快.

放空慢慢來，專注比較快；放心慢慢來，別驚動未來.

慢慢來，慢慢比較精彩.

前者是美學境界所在，后者是技藝睿達所致.若能悟道，都是好.

對于數(shù)學課堂教學而言，同樣有著慢與快的辯證關(guān)系.慢一點，才能使學生欣賞到數(shù)學世界的如畫風景；慢慢來，才能使學生體驗到數(shù)學思考的真諦，進而插上理性思維、創(chuàng)新思維的翅膀，更快地抵達數(shù)學學習的彼岸.

在近期的一次中考復習專題研討活動中，筆者的親身實踐再一次加深了這樣的體悟.

1 教學過程的簡要回顧

寧波市自2007年中考開啟“新定義”題型的新篇章，如今每年都以“新定義”題為中考壓軸題，但這類題目是學生失分的痛點，也是老師教學的難點.因此，筆者以“中考‘新定義’題型的解答”為題，講授了一節(jié)初三中考專題復習課，試圖通過本節(jié)研究課，引導我區(qū)教師研究“新定義”題型的數(shù)學本質(zhì)，明確其考查目的，掌握其教學方法，從而切實提高復習效果.

教學中，筆者首先闡明“新定義”題型在中考中的地位和考查目的，利用下表呈現(xiàn)了寧波市歷年來“新定義”題型的相關(guān)信息：

年份新定義2007四邊形的準等距點:四邊形一條對角線所在直線上的點,如果到這條對角線的兩端點的距離不相等,但到另一對角線的兩個端點的距離相等,則稱這點為這個四邊形的準等距點.2011奇異三角形:兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形.2012n階準菱形:鄰邊不相等的平行四邊形紙片,剪去一個菱形,余下一個四邊形,稱為第一次操作;在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形,又剩下一個四邊形,稱為第二次操作;……依此類推,若第n次操作余下的四邊形是菱形,則稱原平行四邊形為n階準菱形.2013和諧四邊形:若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線,這個四邊形叫做和諧四邊形.如菱形就是和諧四邊形.2014三角形的三分線:若兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形,我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線.2015智慧角:點P為∠MON的平分線上一點,以P為頂點的角的兩邊分別與射線OM,ON交于A,B兩點,如果∠APB繞點P旋轉(zhuǎn)時始終滿足OA·OB=OP2,我們就把∠APB叫做∠MON的智慧角.2016三角形的完美分割線:從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中有一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.2017半對角四邊形:有兩個內(nèi)角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形.2018比例三角形:若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積,我們把這個三角形叫做比例三角形.

通過例舉分析上述“新定義”的共性，幫助學生梳理出它們的結(jié)構(gòu)特征：賦予幾何圖形的元素以某種特殊關(guān)系而給出“新定義”，再從定義出發(fā)，研究這類圖形的有關(guān)性質(zhì)與判定，最后利用定義、性質(zhì)和判定解決有關(guān)問題. 這與學生初中三年幾何圖形學習和研究的途徑、方法一脈相承.因此，解答“新定義”問題，就是要調(diào)動已有的研究一個幾何對象(如相交線和平行線、三角形、平行四邊形、圓等)的經(jīng)驗，在理解“新定義”的基礎(chǔ)上明確研究對象的本質(zhì)特征，再利用已學的平面幾何知識分析和解決后續(xù)的問題.解決此類型題目的關(guān)鍵，一是要切實理解“新定義”的內(nèi)涵，把握研究對象的本質(zhì)特征；二是要靈活運用已有數(shù)學知識，特別是有關(guān)的數(shù)學思想方法，創(chuàng)造性地分析和解決問題.新定義重在理解，新研究彰顯能力.

在學生對“新定義”題型有了一個宏觀認識，建立了適當?shù)摹跋刃薪M織者”后，筆者再以天津市、北京市2017年的中考“新定義”題為載體，和他們一起展開解答“新定義”題型的探究之旅.

2 發(fā)人深省的師生對話

在教學過程中，筆者與學生們的一個對話環(huán)節(jié)，頗有意味，發(fā)人深省，值得反思與考量.

師：同學們，我們剛才完成了第(1)小題，接下來，我們怎么做？

生1：接著做第(2)題.

師：馬上做第(2)題嗎？

眾生：遲疑、環(huán)顧……

生2：(沉吟半晌)嗯，難道不是做第(2)題嗎？

生3：將第(1)題的答案寫下來.

眾生：哄笑……

師：哦哦，我這個問題沒有問好.

筆者的教學預設(shè)是在此師生有一個停頓，做一個檢審，使學生體悟具體中蘊含的一般性，為后續(xù)的解答鋪墊思路，所謂數(shù)學本質(zhì)的探究和通透是也.但是冷場和跑馬，使得筆者馬上自覺地落到塵埃反省檢點，繼而收回發(fā)問鞠躬抱歉.

章建躍博士在課后點評時說：在教師最初給出“接下來，我們怎么做？”這一問題之時，我知道教師的意圖是希望學生回顧一下思考過程，從具體中得到一些一般思路和方法，為解答下面的一般性問題做好準備，但是學生不明就里.這里，不是鄭老師的問題沒有問好，事實上，她問了一個好問題.但學生之前可能較少受到回顧解題過程、檢審思路、歸納問題本質(zhì)等方面的訓練，所以沒有養(yǎng)成“反思”的學習習慣.

許多時候，我們?yōu)榱四茏寣W生多刷幾個題目而匆匆疾行，快節(jié)奏的過程中少了思維的回旋和反省的余地，最終收獲甚微，事倍功半，特別是失卻了對數(shù)學內(nèi)在規(guī)律的回味、發(fā)現(xiàn)和品賞.

3 兩則解題教學案例的深度思考

如何讓學生感知、感悟、感動于數(shù)學教學中慢與快的辯證法？

筆者選擇重慶市、北京市2017年中考的“新定義”試題，作為給予學生體悟“慢與快”的教學載體，試圖以此說明，教學中應(yīng)如何把握思維節(jié)奏，引導學生在停頓、回望與品賞中，領(lǐng)悟解題的真諦.

3.1 重慶市2017年中考第25題的教學分析

題目：對任意一個三位數(shù)n，如果n滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”.將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為F(n).例如n=123，對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到321，對調(diào)十位與個位上的數(shù)字得到132，這三個新三位數(shù)的和為213+321+132=666，666÷111=6，所以F(123)=6.

(1)計算：F(243)，F(xiàn)(617).

3.1.1 新定義重在理解

新概念“相異數(shù)”中的“異”，即不同，顧名思義，其義自見，學生比較容易忽視的是各位數(shù)字都不能為零；而新運算“F(n)”的理解，關(guān)鍵在于對研究對象進行有序地思考. 可以考慮依次先讓個位、十位、百位上的數(shù)字不變，如此達成不重不漏.F(n)的得到，不是散漫飄忽的找尋，而是邏輯理性的求索，有利于培養(yǎng)良好的思維習慣.

題目條件中給出的“例如n=123,……求得F(123)=6”，旨在用實例來幫助學生更好地理解新定義.但是，教學中發(fā)現(xiàn)，其缺陷在于強化了范例的模仿作用，可能會阻礙學生自然探索研究對象本質(zhì)特性的有效思維.

3.1.2 新研究彰顯能力

確實，幾乎所有的學生都能模仿完成第(1)題的計算，在諸如F(243)、F(617)的重復計算中，學生們會有些許運算上的失誤.當然，也是幾乎所有的學生都迫不及待地進入第(2)題的計算.顯然，第(2)題，因為有了字母x、y的加入，同時還有s、t、k等參量進來，一時落英繽紛，分類討論時繁復了許多，學生們出現(xiàn)了更多運算上的失誤.

此時，筆者引導學生稍作停頓，再一次回過頭來仔細審視此“新定義”.同時建議從代數(shù)層面探索F(n)的性質(zhì).(事實上，已經(jīng)有一些學生在此處逗留，并自然地嘗試以代數(shù)探究.)

假設(shè)：此三位數(shù)的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個位數(shù)字為c，記作n=100a+10b+c.

于是：F(n)=(100a+10c+b+100c+10b+a+100b+10a+c)/111=111(a+b+c)/111=a+b+c.

原來，F(xiàn)(n)就是此三位數(shù)每個數(shù)位上的數(shù)字之和！

那么，(1)F(243)=2+3+4=9，F(xiàn)(617)=6+1+7=14；(2)F(s)=x+6，F(xiàn)(t)=6+y.

后續(xù)的問題解決輕捷而順暢……

等知了蛻變歸來，等蟬聲夏夜散開.讓時間慢慢暈開，釀成智慧喝起來.

有些事其實急不來.慢慢來會比較快.慢慢來，慢慢比較精彩.

當筆者讓梁靜茹的歌聲《慢慢來，比較快》在教室里蕩漾傳播開來時，師生都會心地笑靨如花了.果然，慢慢來，比較快！

3.2 北京市2017年中考第29題的教學分析

題目：對于平面直角坐標系xOy中的點P和圖形M，給出如下的定義：若在圖形M上存在一點Q，使得P、Q兩點間的距離小于或等于1，則稱點P為圖形M的關(guān)聯(lián)點.

(1)當⊙O的半徑為2時，

②點P在直線y=-x上，若P為⊙O的關(guān)聯(lián)點，求點P的橫坐標的取值范圍.

(2)⊙C的圓心在x軸上，半徑為2，直線y=-x+1與x軸、y軸分別交于點A,B.若線段AB上的所有點都是⊙C的關(guān)聯(lián)點，直接寫出圓心C的橫坐標的取值范圍.

3.2.1 新定義重在理解

筆者以為，學生對“關(guān)聯(lián)點”或有兩點疑惑：

其一，問題(1)、(2)中均未出現(xiàn)新定義中的關(guān)鍵詞“圖形M”，那么圖形M是什么？由“⊙O的關(guān)聯(lián)點”及“⊙C的關(guān)聯(lián)點”的語境可知，新定義中的圖形M，就是⊙O或⊙C.

簡單的說：圖形M就是一個圓.

其二，考量點P是否⊙O的關(guān)聯(lián)點，關(guān)鍵在于能否在⊙O上找到一點Q，使得PQ≤1.

以上兩個理解上的困難，事實上也是解題的難點所在.言必有據(jù)、算必有理，要將細節(jié)講清楚，磨刀不誤砍柴工.

圖1

圖2

3.2.2 新研究彰顯能力

問題(1)①的解題經(jīng)歷和體驗，正是學生從中可以得到諸多感悟的過程，尤其是對“關(guān)聯(lián)點”性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)和研究，將對后續(xù)的問題解決提供極大的貢獻.如若做了P1做P2，做了P2做P3，只走程序而未走心，那就無法得出“關(guān)聯(lián)點”的本質(zhì).漸行漸思、且省且悟，這也是培養(yǎng)學生良好的學習習慣、思維品質(zhì)和研究意識的契機.因此，仍然需要慢下來，等待奇觀出現(xiàn).

彼時彼刻，教師的功德，在于引導學生慢慢地、自然地、由衷地生發(fā)疑問：⊙O的關(guān)聯(lián)點都在哪里？具有何種特性？這是對研究對象本質(zhì)屬性的追問，由此才能在解題中游刃有余.

Ok！圓環(huán)！學生通過獨立思考、合作交流，終于提出：⊙O的關(guān)聯(lián)點是以原點O為圓心，1、3為半徑的圓環(huán).精彩的發(fā)現(xiàn).

仍然要將細節(jié)講清楚：圓環(huán)(what)？為什么是圓環(huán)(why)？怎么想到是圓環(huán)(how)？數(shù)學教育家傅種孫先生的“然，所以然，何由以知其所以然？”是數(shù)學教師的教學準則.

好，現(xiàn)在，混沌世界已被澄明.(1)②中的點P在直線y=-x上，若P為⊙O的關(guān)聯(lián)點，則點P必是直線y=-x落在圓環(huán)內(nèi)的部分，即為線段GH、線段KT兩端點的橫坐標范圍(見圖2).

第(2)題，雖然⊙C的圓心在x軸上運動，但是由適才得到的研究對象關(guān)聯(lián)點的性質(zhì)可知，⊙C的關(guān)聯(lián)點仍然是以點C為圓心，1、3為半徑的圓環(huán).要使定線段AB上的所有點都是⊙C的關(guān)聯(lián)點，只要讓線段AB落在圓環(huán)內(nèi)部(包括邊界)即可.

現(xiàn)在,學生清晰地看到，之前放慢解題的節(jié)奏和腳步，停頓、檢審、研究而獲得研究對象的性質(zhì)，正適用于問題各種變式的解決，所謂萬變不離其宗.看似減速，實質(zhì)提速.

不妨再作停頓，繼續(xù)思考一個值得關(guān)注的細節(jié)：當圓環(huán)沿著x軸從左往右運動時，哪些特殊位置恰好是線段AB落在圓環(huán)中的時刻呢？

直觀地確定、簡便地操作、嚴謹?shù)赜嬎闶菆A滿解決此問題的要點.

有圖有真相，無圖靠想象.想象的結(jié)果是圖3中的“相切”狀態(tài)，學生會想當然地只考慮線段兩端點的情形.因而輔之以圖形，利用數(shù)形結(jié)合，恰能使得所有的狀態(tài)清晰明了、達成精致.圖3所示的四個位置，正是滿足條件的四種特殊狀態(tài).

圖3

但是，怎樣才能簡便地操作？圓環(huán)沿著x軸從左向右運動，那是一個說法，真正操作的層面，必將有畫圖的繁瑣，怎么辦？逆向的思路和方法是，圓動不如線動.圓環(huán)不動，而將線段AB沿著x軸從右往左運動，于是四個關(guān)鍵性的狀態(tài)明晰如斯(如圖4).

不斷地回味和反思，優(yōu)化解題思路，積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗，培養(yǎng)數(shù)學思維品質(zhì).

圖4

4 感悟

通常，人們的感覺“快”總比“慢”好. 前者充滿著激情和褒義；而后者似乎是懈怠與落后的象征. 事實上，快與慢是一對矛盾的兩個方面，我們需要辯證地去看待和理解. 《論語·子路》中記載：“無欲速，無見小利. 欲速則不達，見小利則大事不成.”其中“欲速則不達”就是指：一味的性急求快，反而不能達到預期的目的. 孔子的這句話揭示了快與慢的辯證法.中國古成語中的“磨刀不誤砍柴工”，當有此意.世間之事如此，數(shù)學課堂教學亦然.

數(shù)學學習和研究、數(shù)學教育和教學，沒有解題萬萬不能，但是僅有解題遠遠不夠.

章建躍博士真誠倡導：數(shù)學教師當示以學生思維之道！以“例題講解 + 模仿練習”的方式讓學生不斷“重復著昨天的故事”， 其結(jié)果是讓學生

作了大量的無用功，不僅事倍功半，而且嚴重影響學生學習數(shù)學的興趣和自信心，挫傷他們的數(shù)學學習積極性，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)也就成了一句空話.

于教師而言，題目如何能講得完？！于學生而言，題目又如何能做得盡？！

重要的是：能在若干問題解決的歷經(jīng)、品析、反思、感悟過程中，得到靈動的習得和深刻的啟迪. 其中，反思和感悟是一個慢慢參悟、內(nèi)化、修煉、得道的過程，從而得以專于術(shù)、誠于道、游于藝，達至乘物以游心之境，領(lǐng)略欣賞數(shù)學之美.正如哲人所說：“慢些，我們就會更快.”

想起王國維《人間詞話》中有言：“詩人對宇宙人生，須入乎其內(nèi)，又須出乎其外.入乎其內(nèi)，故能寫之；出乎其外，故能觀之.入乎其內(nèi)，故有生氣；出乎其外，故有高致.”文理之間居然是如此的相通.

最后，還是引用朱光潛先生在《人生的藝術(shù)化》中的文字：朋友，在告別之前，我采用阿爾卑斯山路上的標語，在中國人告別習用語之下加上三個字奉贈：“慢慢走，欣賞啊！”