近三年概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的高考特點(diǎn)及相關(guān)教學(xué)思考

龍正武 陳星春

(1.人民教育出版社課程教材研究所 100081;2.北京二中 100010)

2004年開始實(shí)施的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》，將“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”作為高中數(shù)學(xué)課程的十大基本理念之一．作為對(duì)這一理念的響應(yīng)，也為了引導(dǎo)一線師生充分重視數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，從2007年至今，依照課程標(biāo)準(zhǔn)命制出來的高考題，都體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的考查，而承擔(dān)這一考查功能的主要是概率統(tǒng)計(jì)題．事實(shí)上，課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施后的高考概率統(tǒng)計(jì)試題注重對(duì)其思想方法進(jìn)行考查，強(qiáng)調(diào)圖表、數(shù)據(jù)的計(jì)算，強(qiáng)調(diào)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，強(qiáng)調(diào)發(fā)揮考生的主體作用，對(duì)其探究精神、建模能力等等提出了新要求[1]．

新頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》，同樣重視了學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，并將“數(shù)學(xué)建?！薄皵?shù)據(jù)分析”都列在了六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之中．而且，為了深化高考內(nèi)容和形式的改革，教育部考試中心針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科研制了5種新題型，其中正式提出了數(shù)據(jù)分析題：給出一些材料背景以及相關(guān)數(shù)據(jù)，要求考生自己讀懂材料，獲取信息，根據(jù)材料給出的情境、原理以及猜測(cè)等，自主分析數(shù)據(jù)，得出結(jié)論，并解決問題[2]．無疑，數(shù)據(jù)分析題與概率統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容有關(guān)．

由此可以預(yù)見，今后的高考題中，概率統(tǒng)計(jì)題仍然會(huì)是考查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的主要載體，除了體現(xiàn)考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力之外，還可能承擔(dān)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)探究能力等功能．

1 近三年概率統(tǒng)計(jì)題的考查特點(diǎn)

最近三年數(shù)學(xué)高考全國卷的18套試卷中，概率統(tǒng)計(jì)題每年一般都是2道，共17分，但是2016年全國III卷文科、2018年全國I卷理科和2018年全國III卷文科都是3道，共22分．而且，概率統(tǒng)計(jì)題的考查具有以下特點(diǎn)：

1.1 考查面全，重點(diǎn)突出

事實(shí)上，對(duì)照近些年的考試說明可以看出，高考要求的概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容，在這三年都有考查．統(tǒng)計(jì)圖表、用統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行決策、古典概型、幾何概型、用頻率估計(jì)概率、隨機(jī)變量、二項(xiàng)分布等核心知識(shí)幾乎每年都有所涉及；抽樣方法、互斥事件的概率加法公式、正態(tài)分布、線性回歸、獨(dú)立性檢驗(yàn)、用模擬的方法估計(jì)概率等內(nèi)容也不止一次出現(xiàn)；重點(diǎn)內(nèi)容一般都出現(xiàn)在大題中．這充分體現(xiàn)了“核心知識(shí)反復(fù)考察、重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)考察”等數(shù)學(xué)高考要求．

1.2 考查體現(xiàn)基礎(chǔ)性，而且試題的綜合性強(qiáng)

縱觀這些年的概率統(tǒng)計(jì)高考題可以看出，不管是大題還是小題，考查的內(nèi)容都很好地體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，考生只要掌握了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)知識(shí)，不需要使用特殊的技巧就可以順利地得出答案．

例如，2018全國III卷文科的第14題如下．

某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)有較大差異. 為了解客戶的評(píng)價(jià)，該公司準(zhǔn)備進(jìn)行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是.

命題者為了方便學(xué)生得到正確答案，不僅給出了“評(píng)價(jià)有較大差異”的提示，而且還指明了可選擇的抽樣方法只有三種，從而也就限定了能填的內(nèi)容，完全屬于基礎(chǔ)題．

再例如，2018全國I卷理科的第20題如下．

某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品. 檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn). 設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0.

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值. 已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

(ⅰ)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求E(X)；

(ⅱ)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

可以看出，考生只要能夠根據(jù)題意得出不合格品的數(shù)量服從二項(xiàng)分布，并由此得出有關(guān)數(shù)學(xué)期望的值，就可以順利地解答此題．

不過，值得一提的是，概率統(tǒng)計(jì)題的綜合性也是比較強(qiáng)的．以上述2018年I卷理科的第20題為例，其中的第(1)問還涉及了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的內(nèi)容．事實(shí)上，概率統(tǒng)計(jì)題中涉及函數(shù)的知識(shí)，在這些年的高考中并不鮮見．另外，在考查線性回歸或獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)的同時(shí)，穿插統(tǒng)計(jì)圖表、用統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行決策等內(nèi)容，也是常見的命題方式．

1.3 概率統(tǒng)計(jì)題著重考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí)

目前高考數(shù)學(xué)中，涉及的數(shù)據(jù)處理能力要求學(xué)生會(huì)收集、整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對(duì)研究問題有用的信息，并做出判斷；而且，數(shù)據(jù)處理能力主要指針對(duì)研究對(duì)象的特殊性，選擇合理的收集數(shù)據(jù)的方法，根據(jù)問題的具體情況，選擇合適的統(tǒng)計(jì)方法整理數(shù)據(jù)，并構(gòu)建模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、推斷，獲得結(jié)論[3]．

近些年的概率統(tǒng)計(jì)大題，完全是按照上述能力要求來進(jìn)行命題的．例如，2017全國III卷理科的第18題如下．

某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完. 根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān). 如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶. 為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元). 當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位：瓶)為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？

這個(gè)題目中，為了得到第(1)問的答案，考生首先需要做的就是判斷給定的信息中，哪些是關(guān)鍵的，哪些需要進(jìn)一步整合，這體現(xiàn)了“能從大量數(shù)據(jù)中抽取對(duì)研究問題有用的信息”的要求；在解答第(2)問時(shí)，考生需要去思考進(jìn)貨量n與利潤Y的關(guān)系，并聯(lián)想到利潤與需求量X有關(guān)，進(jìn)而想到要對(duì)n進(jìn)行分類討論，這些體現(xiàn)了“根據(jù)問題的具體情況，選擇合適的統(tǒng)計(jì)方法整理數(shù)據(jù)，并構(gòu)建模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、推斷，獲得結(jié)論”的要求．順便提及的是，在完整解答該題的過程中，還需利用函數(shù)的單調(diào)性等函數(shù)知識(shí)，這再次說明了概率統(tǒng)計(jì)題的綜合性．

2 概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教學(xué)

近些年的概率統(tǒng)計(jì)高考題，背景更加貼近實(shí)際，更能體現(xiàn)使用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的作用，但是考生的得分率明顯偏低，2015年、2016年、2017年這3年的概率統(tǒng)計(jì)大題，理科的得分率分別只有0.349，0.353，0.221；文科的得分率連續(xù)三年沒有超過0.2，分別為0.140，0.159，0.197[4]. 因此，探索概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教學(xué)，是值得廣大高中數(shù)學(xué)教師等教育工作者研究的課題．從前述的考查特點(diǎn)不難看出，相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)該幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，并在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)．這可以從以下幾方面著手．

2.1 使學(xué)生了解概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)之間的聯(lián)系

與其他高中數(shù)學(xué)知識(shí)一樣，概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)彼此之間是相互聯(lián)系的．

例如，各種統(tǒng)計(jì)圖表都是為了直觀地呈現(xiàn)有關(guān)數(shù)據(jù)而引入的，不同的統(tǒng)計(jì)圖表有不同的特色：扇形圖能夠直觀地表示出各部分?jǐn)?shù)據(jù)在整體中所占的百分比，直方圖能夠展示數(shù)據(jù)的整體分布情況，折線圖可以呈現(xiàn)出數(shù)據(jù)的變化情況，莖葉圖可以在不丟失原始數(shù)據(jù)的情況下展示數(shù)據(jù)的分布情況，等等．不過，需要注意的是，有時(shí)還可以從統(tǒng)計(jì)圖表中得出數(shù)字特征的一些信息：從莖葉圖中可以方便地得到數(shù)據(jù)的極差、中位數(shù)；利用莖葉圖并通過估算，可以對(duì)兩組基本對(duì)稱的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較；利用頻率分布直方圖，可以對(duì)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差進(jìn)行比較；等等．以2008年全國III卷文科、理科所涉及的莖葉圖(如下圖所示)為例，不需要計(jì)算，從圖中可以很明顯地看出，第一種生產(chǎn)方式的平均數(shù)大于第二種生產(chǎn)方式的平均數(shù)，它們的中位數(shù)也有同樣的特征．

再例如，給定一組數(shù)據(jù)之后，可以求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；在知道一個(gè)隨機(jī)變量的分布之后，一般來說可以求出這個(gè)隨機(jī)變量的均值和方差．但是，學(xué)生需要進(jìn)一步了解的是，求得數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，或者隨機(jī)變量的均值和方差，并不是最終的目的，求得這些值是為了去說明數(shù)據(jù)或者隨機(jī)變量本身的特征，從而根據(jù)這些特征去做出合理的決策．

還例如，由于隨機(jī)變量及其分布列是高考中考查的重點(diǎn)，學(xué)生對(duì)隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)字特征都是比較熟悉的．不過，學(xué)生往往容易忽視特殊情況下兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系以及它們的數(shù)字特征之間的關(guān)系．兩個(gè)隨機(jī)變量之間的一元線性關(guān)系并沒有超出高中學(xué)生的理解能力，而且該內(nèi)容與函數(shù)知識(shí)緊密聯(lián)系．事實(shí)上，教師在課堂上必須講解以下內(nèi)容：如果Y=aX+b，其中a，b都是常數(shù)，則E(Y)=aE(X)+b，D(Y)=a2D(X)．

2.2 幫助學(xué)生初步理解統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識(shí)的區(qū)別

毫無疑問，統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)與傳統(tǒng)的幾何、代數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在較大的差異，如果學(xué)生了解了這種差異，就能提升對(duì)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)．

“統(tǒng)計(jì)學(xué)也是一門藝術(shù)．這是因?yàn)橐蕾囉跉w納推理的統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法論不是完全能變成條例或者沒有爭(zhēng)議的．不同的統(tǒng)計(jì)學(xué)者對(duì)同一組數(shù)據(jù)的分析處理可能得到不同的結(jié)論．比起由統(tǒng)計(jì)學(xué)工具所獲得的信息來說，通常實(shí)際給出的數(shù)據(jù)所含的信息量要多得多．”[5]“統(tǒng)計(jì)學(xué)關(guān)心更多的是好與不好，而中小學(xué)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)關(guān)心更多的是對(duì)與錯(cuò)．”[6]再延伸一點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)學(xué)追求的是“更好”．就像為了刻畫一組數(shù)的集中趨勢(shì)，既可以用平均數(shù)，也可以用中位數(shù)，還可以用眾數(shù)；刻畫一組數(shù)的離散程度，既可以使用極差，也可以使用方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)．到底該用什么，是與問題的實(shí)際背景息息相關(guān)的，甚至到底是利用數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)還是利用離散程度，也與實(shí)際問題和個(gè)人偏好有關(guān)．

而且，可以提醒學(xué)生的是，類似的知識(shí)在日常生活中經(jīng)?？梢砸姷剑纾磕旮呖汲煽儼l(fā)布之后，各學(xué)校的解讀方式并不完全一樣，有些強(qiáng)調(diào)最高分，有些強(qiáng)調(diào)平均分，還有些會(huì)強(qiáng)調(diào)高考成績相對(duì)于學(xué)生入學(xué)成績的增長率等，從不同的方面解讀得到的結(jié)論并不完全一樣，但這些都是合理的．

2.3 通過各種示例讓學(xué)生了解常見的概率統(tǒng)計(jì)錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)

由于概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的特殊性，不管是在日常生活中還是在數(shù)學(xué)課堂上，都存在一些常見的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)．

再例如，二項(xiàng)分布的頻率分布直方圖表示與正態(tài)曲線之間的關(guān)系，很多人會(huì)有一個(gè)錯(cuò)誤的印象：隨著頻率分布直方圖組距的不斷縮小，由此得到的頻率分布折線圖會(huì)越來越光滑，也越來越接近于正態(tài)曲線．但事實(shí)上，二項(xiàng)分布B(n,p)作為正態(tài)分布的近似，是指n越來越大時(shí)，二項(xiàng)分布的頻率折線圖將越來越趨向于正態(tài)分布的密度曲線．

另外，課堂上一般都會(huì)強(qiáng)調(diào)有放回的抽樣和無放回的抽樣之間的差別，并會(huì)給出相應(yīng)的例題讓學(xué)生加以練習(xí)．但是，很多學(xué)生其實(shí)并不了解，由于二項(xiàng)分布可以作為超幾何分布的近似，因此，當(dāng)總體的容量足夠大時(shí)，有放回的抽樣和無放回的抽樣相差很?。?/p>

“用樣本估計(jì)總體時(shí)方法是唯一的”也是現(xiàn)在一線課堂中一種常見的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)．這種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)的產(chǎn)生，固然與目前高中數(shù)學(xué)中概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的容量有關(guān)，但我們還是可以通過實(shí)例向?qū)W生進(jìn)行解釋的．例如，在用樣本的頻率分布直方圖估計(jì)總體的平均數(shù)時(shí)，雖然常用的是區(qū)間的中點(diǎn)，但如果沒有特別要求，使用區(qū)間的左端點(diǎn)或者右端點(diǎn)其實(shí)都是可以的．

總而言之，對(duì)于概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容來說，從近些年的高考考查特點(diǎn)可知，為了做好這一內(nèi)容的教學(xué)，需要幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，想方設(shè)法讓學(xué)生了解常見的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，從而使學(xué)生從整體上全面地掌握有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，提升他們對(duì)相關(guān)知識(shí)的認(rèn)識(shí)．