解析幾何問題的創(chuàng)新解法從哪里來

王成杰 劉新春

(1.江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué) 212200；2.揚(yáng)中市教師發(fā)展中心 212200)

我們常常驚嘆于各種數(shù)學(xué)雜志資料上介紹的數(shù)學(xué)問題的精妙解法，我們也偶爾對(duì)自己靈光閃現(xiàn)發(fā)現(xiàn)的優(yōu)美解法洋洋得意，我們更為教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)造的層出不窮的奇妙解法所吸引,感嘆數(shù)學(xué)解題方法真是沒有最好只有更好.冷靜下來，我們不禁要問：創(chuàng)新解法你從哪里來？構(gòu)建充滿聯(lián)系的知識(shí)結(jié)構(gòu)，探究問題背后的本質(zhì)規(guī)律，掌握解決問題的基本策略，反思解題方法的缺陷不足，堅(jiān)持策略方法的不斷改進(jìn)，捕捉奇思妙想的靈感閃現(xiàn)，創(chuàng)新解法往往會(huì)不期而遇.以下以解析幾何問題的求解為例，探究如何發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新解法.

1 顯現(xiàn)隱含條件

在許多解題實(shí)踐中，我們常常被多種題設(shè)條件的表面含義所遮蔽，而發(fā)現(xiàn)不了這些條件背后的隱含條件，更發(fā)現(xiàn)不了隱含條件背后的最核心的原理，只能就事論事.“直譯”條件造成解法繁瑣，運(yùn)算復(fù)雜.甚至無法求解.破譯隱含條件，打通條件與結(jié)論的最簡(jiǎn)通道，則優(yōu)美解法就會(huì)水到渠成.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線l1，l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

分析本題主要考察直線方程，直線與直線的位置關(guān)系，橢圓方程，橢圓的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考察分析問題、解決問題能力和運(yùn)算求解能力.常規(guī)解法如下：

解析1(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，

①

直線l2的方程：

②

從這一分析過程可知，本題中發(fā)現(xiàn)優(yōu)美解法的關(guān)鍵隱含條件就是P,Q是經(jīng)過橢圓焦點(diǎn)的圓與橢圓的交點(diǎn)，且是圓M的直徑端點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)了這一隱含條件，簡(jiǎn)捷解法躍然紙上.

2 優(yōu)化圖形結(jié)構(gòu)

解析幾何的源泉是幾何，圖形是直觀表現(xiàn)形式，是問題的起點(diǎn)和歸宿，而代數(shù)方法僅僅是工具，看穿圖形的整體結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征就能大道至簡(jiǎn)，“一招封喉”，化繁為簡(jiǎn)，發(fā)現(xiàn)隱含圖形之中的簡(jiǎn)單方法.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N，問：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

分析(1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程易得x2+3y2=4,(x≠±1)，解題過程略.

=x0+y0,

以上解法著眼于從兩個(gè)三角形的邊與高的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，表示兩個(gè)三角形的面積.如若抓住兩個(gè)三角形的一對(duì)對(duì)頂角，則可另辟蹊徑表示三角形面積，獲得解法2.

解法2由S△ABP=S△PMN，可得S△APB=

(xP-xA)(xP-xB)=(xN-xP)(xM-xP),

即(xP+1)(xP-1)=(3-xP)(3-xP),

上述兩種解法瞄準(zhǔn)了幾何圖形的局部和細(xì)節(jié)(邊或角)獲得解法.如能跳出細(xì)節(jié)，著眼于從幾何圖形的整體結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過等積變換，發(fā)現(xiàn)幾何圖形更進(jìn)一步的幾何特征——點(diǎn)P是△ADN的重心，由于點(diǎn)A,D,N的橫坐標(biāo)已知，因而能便捷地求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

在上述解法3中，我們從圖形的整體結(jié)構(gòu)出發(fā)，在△ADN中，從△PAB與△PMN的面積相等、B為AD中點(diǎn)、M為ND中點(diǎn)，結(jié)合分析得到P是△ADN的重心，獲得運(yùn)算量很小的解題方法.

3 妙用曲線性質(zhì)

解析幾何的兩大任務(wù)就是建立曲線的方程和運(yùn)用曲線方程研究曲線性質(zhì). 如若借助已經(jīng)獲得的曲線性質(zhì)探究解題思路，則往往會(huì)發(fā)現(xiàn)意料之外的驚喜.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線PA的斜率為k1，直線MA的斜率為k2，求k1·k2的取值范圍．

分析破解本題的關(guān)鍵是表示出兩直線PA，MA斜率的乘積k1·k2，首先確定選哪個(gè)參數(shù)作為變量，一般可選擇點(diǎn)的坐標(biāo)作為參數(shù)，或者斜率作為參數(shù)，以下方法一就是以點(diǎn)P的坐標(biāo)作為變量，從而分別得出直線PA，MA的斜率，進(jìn)而表示出k1·k2．

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，

解法2記橢圓的左頂點(diǎn)為B，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H,連接PB,PH.設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，則-2

將①,②,③的左右兩邊分別相乘即得

比較上述兩種解法可知，正確運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，既能迅速發(fā)現(xiàn)解題思路，又能簡(jiǎn)化解題步驟，減少運(yùn)算量.

4 多元表征條件

在同一個(gè)問題中往往會(huì)出現(xiàn)多個(gè)條件，而同一個(gè)條件又可以有多種表征方式，用不同的表征方式表達(dá)條件往往影響解題思路的發(fā)現(xiàn)，決定解題方法的優(yōu)劣，一個(gè)條件的不同表征方式與其它條件連結(jié)時(shí)，連結(jié)方式往往不同，難易繁簡(jiǎn)差異也很大，如果一個(gè)問題中的各個(gè)條件能用恰當(dāng)?shù)谋碚鞣绞絻?yōu)化組合，就能獲得更佳解法.

(1)求橢圓C的方程；

對(duì)比兩式相差2x1y2x2y1，故將前式變形為

(x1x2+2y1y2)2+2(x1y2-x2y1)2=4,把三角形的面值代入即有x1x2+2y1y2=±1,

整理得t2(x1x2+2y1y2)=4-2t2,意外的驚喜出現(xiàn)了.

因?yàn)锳,B點(diǎn)在橢圓上，

兩式相乘得

配方變形得

(x1x2+2y1y2)2+2(x1y2-x2y1)2=4,

x1x2+2y1y2=±1，

又因?yàn)辄c(diǎn)E是A,B的中點(diǎn)，

由x1x2+2y1y2=-1,得t2=4,t=2,

5 妙用逆向代換

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，過點(diǎn)C(0,1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1=2k2，求直線l斜率的值．

分析第(1)問略，對(duì)于第(2)小問，一種基本思路是：先設(shè)出直線AM的方程，與橢圓方程聯(lián)立，由于兩交點(diǎn)中點(diǎn)A已知，根據(jù)韋達(dá)定理得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，由于直線MN經(jīng)過定點(diǎn)C(0,1)，由三點(diǎn)共線可求出k1，k2之間的一個(gè)等量關(guān)系式，再與條件k1=2k2聯(lián)立方程組，可解出k1(或k2)的值，從而求出直線MN的斜率.

消去y可得：

點(diǎn)評(píng)這一思路的獲得很自然，但其過程運(yùn)算量非常大，容易出錯(cuò).能否不求M,N點(diǎn)的坐標(biāo)，減少一些復(fù)雜的運(yùn)算？由于直線AM和BN與橢圓的交點(diǎn)也是直線MN和x軸與橢圓的交點(diǎn)，因此可以直接由直線AM和BN的方程與橢圓方程聯(lián)立得到直線MN的方程，從而減少運(yùn)算量.

解法2由題意得：AM直線方程為y=k1(x+2)，即k1(x+2)-y=0①，

BN直線方程為y=k2(x-2)，

即k2(x-2)-y=0②.

將①與②左右兩邊分別相乘有k1k2(x2-4)-y[(k1+k2)x+2(k1-k2)]+y2=0③，

由于直線MN經(jīng)過定點(diǎn)C(0,1)，

幾點(diǎn)啟示

1.從以上幾例可以發(fā)現(xiàn)，如果我們對(duì)數(shù)學(xué)問題的條件進(jìn)行橫向、縱向、遞進(jìn)式、螺旋式、多角度的轉(zhuǎn)化，就像剝竹筍一樣，層層剝?nèi)ネ鈿?，就?huì)越來越接近問題的內(nèi)核——本質(zhì)規(guī)律和最簡(jiǎn)單明了的結(jié)論，從而快速發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)捷的方法.

2.圖形直觀是發(fā)現(xiàn)優(yōu)美解法的又一法寶，因?yàn)閳D形具有整體性、對(duì)稱性、簡(jiǎn)約性和美感等特點(diǎn)，能夠快速激活人的直覺思維、簡(jiǎn)縮思維、形象思維和聯(lián)想思維，從整體上迅速連接題目中的各個(gè)條件并加以優(yōu)化，更容易選擇優(yōu)化的解題思路，甚至獲得創(chuàng)新解法.

3.“揚(yáng)長(zhǎng)補(bǔ)短，消滅短腿”.在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)成績(jī)差的學(xué)生經(jīng)常也會(huì)提出創(chuàng)新的解法，分析原因是因?yàn)檫@些學(xué)生往往在某一方面的知識(shí)方法思維比其他學(xué)生強(qiáng)，當(dāng)題目的條件結(jié)論與他們的強(qiáng)項(xiàng)結(jié)合時(shí)就容易產(chǎn)生優(yōu)美的解法.因此在實(shí)際教學(xué)中，我們既要不斷地對(duì)學(xué)生進(jìn)行“補(bǔ)短”教育，更要進(jìn)行“揚(yáng)長(zhǎng)”教育，只有揚(yáng)長(zhǎng)才能激活創(chuàng)造潛能.