從“對(duì)話”的視角設(shè)計(jì)高三數(shù)學(xué)解題教學(xué)

李金蛟

(江蘇省常州市第一中學(xué) 常州市李金蛟名師工作室 213003)

解題教學(xué)是高三數(shù)學(xué)教學(xué)的主要形式之一，師生都為此花費(fèi)了不少精力，但現(xiàn)實(shí)中的教學(xué)效果卻不盡如人意，不少學(xué)生的反映是上課聽得懂但自己課后不會(huì)做，以致高考命題人員對(duì)高考的預(yù)期成績與考生的實(shí)際表現(xiàn)經(jīng)常存在較大的落差，問題的癥結(jié)在哪里呢？在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：學(xué)生在解題中不能有效整合題目的信息，對(duì)題意的理解支離破碎，走不進(jìn)題目描繪的“ 世界”中去，進(jìn)入不了解題的“角色”，也就不能快速尋找到解題的思路.基于這樣的認(rèn)識(shí)，我嘗試以心理學(xué)理論為指導(dǎo)，從“對(duì)話”的視角來設(shè)計(jì)解題教學(xué)的“話劇”，讓學(xué)生分別“客串”不同角色(每個(gè)人也可以同時(shí)扮演多個(gè)角色)，和題目的相關(guān)元素進(jìn)行“對(duì)話”，并為扮演的角色搜尋有價(jià)值的信息并展開換位思考，破譯解題的“通關(guān)密語”，為解題進(jìn)程尋找路線圖，為角色設(shè)計(jì)辯護(hù)的“臺(tái)詞”，確定解題的最佳路徑,讓學(xué)生火熱的思考去不斷融化數(shù)學(xué)冰冷的美麗，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生解題后反思的習(xí)慣，提升了他們的思維能力，取得了理想的效果.下面結(jié)合自己平時(shí)教學(xué)中的幾個(gè)案例，與大家分享自己的心得并請(qǐng)指正！

1 與命題者本人進(jìn)行對(duì)話

數(shù)學(xué)題是人命制的，因此題目里不可避免地留下命題者的印記，或明或暗地體現(xiàn)了命題者的意圖與設(shè)想，尋找命題者留下的編制“痕跡”與“破綻”，接收命題者傳遞給我們的信息暗示或指引，如有時(shí)為了控制題目的難度與得分，常在前面人為增加一問(實(shí)質(zhì)是命題者為減少難度而設(shè)置的“臺(tái)階”)，如果你感受到命題者內(nèi)心的思維活動(dòng)與釋放出來的“善意”，與其進(jìn)行隔空“對(duì)話”，并進(jìn)行判斷、加工，你將露出會(huì)心的微笑：我翻譯了命題者的思維密碼，一切都明白了！

案例1設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[-1，1]上，

“解題者”：對(duì)于周期函數(shù)，必須要給出在一個(gè)周期長度區(qū)間上的解析式才能確定函數(shù).本題中函數(shù)的周期為2，它僅告訴函數(shù)在[-1,1]上的解析式，好像是得不到新的方程啊.

“命題者”：f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，給出在一個(gè)周期長度區(qū)間上的解析式，這個(gè)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)只要給出其中一個(gè)，就能確定函數(shù)！

“解題者”：題目的條件設(shè)置應(yīng)該是恰到好處，不應(yīng)多余！周期函數(shù)給出的解析式在一個(gè)周期長度上，且只要包含兩端點(diǎn)中任一個(gè)就能確定函數(shù)了，如兩端點(diǎn)都包含其中，實(shí)際上就是告訴了我們一個(gè)等量關(guān)系，我也會(huì)命題了！

學(xué)生了解數(shù)學(xué)命題的一些基本方式與規(guī)律，掌握數(shù)學(xué)題改編的常見方法，不但有助于他們把握數(shù)學(xué)題的結(jié)構(gòu)與特征，“看穿”命題者的意圖，快速找到解題的鑰匙，更可以自己編題練習(xí)，從一道題洞悉一類題的思想方法，提高分析問題、解決問題的能力.

2 與題目的條件(或結(jié)論)進(jìn)行對(duì)話

題目的條件與結(jié)論是信息源，題目的條件(或結(jié)論)是觀察題目的窗口，分析問題的突破口，解決問題的入口，與題目進(jìn)行“對(duì)話”就是在理解題意的基礎(chǔ)上展開聯(lián)想，接納同伴與自己內(nèi)心的“質(zhì)疑”，善于捕捉“異類信息”，如“吉祥”數(shù)字、特殊的無理數(shù)等蘊(yùn)藏的信息，挖掘題目的內(nèi)涵與“弦外之音”，繞過暗流險(xiǎn)礁，尋找解決問題的突破口與綠色通道.

分析f(x)=aex+x2-2x，f′(x)=aex+2x-2，

假設(shè)存在一個(gè)定點(diǎn)(m，n)(m，n∈R)，

“條件”：題目的條件中為什么加上“x0≠m”？

“條件”：如何證明？

學(xué)生：將x0=m代入方程得到一個(gè)恒等式即可.

學(xué)生：說明f(x0)-f(m)也應(yīng)含有因式(x0-m) .

“條件”：現(xiàn)在要研究的是當(dāng)x0≠m時(shí)等式成立的問題，如何處理？

至此，學(xué)生明確了解題方向：

俗話說“無巧不成書”，許多數(shù)學(xué)題的條件(或結(jié)論)有其區(qū)別于其它題目的內(nèi)部特殊結(jié)構(gòu)或特征，我們找到它的特殊性，就能有助于我們發(fā)現(xiàn)珍藏解題思路寶庫的窗戶.

3 讓題目的條件與結(jié)論進(jìn)行對(duì)話

解題是一種認(rèn)識(shí)活動(dòng)，是對(duì)概念、定理的繼續(xù)學(xué)習(xí)，是對(duì)方法技巧繼續(xù)熟練的過程，而不僅僅是“規(guī)則的簡單重復(fù)”或“操作的生硬執(zhí)行”．每個(gè)數(shù)學(xué)題都是一首愛情小詩，條件與結(jié)論就象“ 一對(duì)戀愛中的男女”，我們就是“紅娘”，要傾聽他們各自表白的“心聲”，在條件與結(jié)論之間架起聯(lián)通的橋梁，讓他們相互吸引、相互靠近、相互轉(zhuǎn)化，最終實(shí)現(xiàn)相互融合．

案例3對(duì)于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對(duì)任意正整數(shù)n(n>k) 總成立，則稱數(shù)列{an}是“p(k)數(shù)列”.(2)若數(shù)列{an}既是“p(2)數(shù)列”，又是“p(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列. (江蘇省2017年高考第19題第(2)問)

“條件”：由數(shù)列{an}是“p(2)數(shù)列”得，an-2+an-1+an+1+an+2=4an(n>2,n∈Z)①；由數(shù)列{an}是“p(3)數(shù)列”得，

an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an(n>3,n∈Z)②.

“結(jié)論”：要證{an}是等差數(shù)列，即要證an-1+an+1=2an(n>1,n∈Z).

“條件”：因?yàn)棰诒娶購?fù)雜，所以化簡②比較方便，即將①代入消元，但如何消元呢？

“結(jié)論”：對(duì)照要證的結(jié)論，應(yīng)有an-3+an-2+an+2+an+3=4an(n>3,n∈Z)，即需要消去an-3+an-2+an+2+an+3.

“條件”：由①要得到an-3+an-2+an+2+an+3=4an(n>3,n∈Z)，顯然不能一次性完成.由①得an-2+an-1=4an-(an+1+an+2).

“結(jié)論”：要證{an}是等差數(shù)列，應(yīng)消去an-3+an-2+an+2+an+3(重要的話重復(fù)一遍).

“條件”：由an-2+an-1=4an-(an+1+an+2)得an-3+an-2=4an-1-(an+an+1)(n>3,n∈Z);同理an+2+an+3=4an+1-(an-1+an)(n>3,n∈Z)

“結(jié)論”：要證{an}是等差數(shù)列，要證an-1+an+1=2an(n>1.n∈Z)(重要的話說三遍).

“條件”：還要對(duì)n=1與n=2進(jìn)行認(rèn)證.(下略)

尋找解題思路的過程本質(zhì)上就是尋找條件知識(shí)與結(jié)論知識(shí)之間邏輯聯(lián)系或轉(zhuǎn)化軌跡的過程，在這個(gè)過程中，學(xué)生的解題與發(fā)展能力同行，經(jīng)歷了激活知識(shí)、檢索知識(shí)、提取知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)的化學(xué)變化.

4 與題目的背景進(jìn)行對(duì)話

數(shù)學(xué)來源于生活，更是人類的一種文化，數(shù)學(xué)題的背后隱含著豐富的文化內(nèi)涵與資源，我們?nèi)ンw會(huì)、感悟、挖掘它們的內(nèi)涵與意境，不僅可以更全面理解題意，體會(huì)數(shù)學(xué)在各方面的作用，而且將幫助我們快速找到解題的鑰匙，提高分析問題的能力，更清晰地認(rèn)識(shí)隱藏在題目背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)；而數(shù)學(xué)題的背景是多元的，甚至是混合的，限于篇幅，僅舉以下幾種類型進(jìn)行說明.

4.1 與題目的幾何背景進(jìn)行對(duì)話

學(xué)生：由于f(x1)+f(x2)=0，所以f(x1)+f(x2)+f(x3)=f(x3)，目標(biāo)明確了，有信心了，結(jié)果知道了，目標(biāo)明確了，想算錯(cuò)都不可能了！

教師：但上述結(jié)論不是定理，因此不能直接用！

學(xué)生：這個(gè)可用韋達(dá)定理證明，與幾何背景對(duì)話后知道有f(x1)+f(x2)=0，就象黑暗中射來一束光，我們可以看清方向和目標(biāo)了！

4.2 與題目的物理背景進(jìn)行對(duì)話

教師：此高考題有比較內(nèi)隱的物理背景，當(dāng)年的考生由于進(jìn)入射擊的情境而讀不懂題意.因而不能進(jìn)行正確的“數(shù)學(xué)化”，產(chǎn)生各種各樣的錯(cuò)誤.

學(xué)生：炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)是什么意思？求最大射程中對(duì)應(yīng)的變量是誰？

學(xué)生：“炮彈可以擊中它”是什么意思？

學(xué)生：“它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它”又是什么意思？

4.3 與題目的生活背景進(jìn)行對(duì)話

案例6水管或煤氣管的外部經(jīng)常需要包扎，以便對(duì)管道起保護(hù)作用，包扎時(shí)用很長的帶子纏繞在管道外部.若需要使帶子全部包住管道且沒有重疊的部分(不考慮管子兩端的情況，如圖1所示)，這就要精確計(jì)算帶子的“纏繞角度α”(α指纏繞中將部分帶子拉成圖1中所示的平面ABCD時(shí)的α，其中AB為管道側(cè)面母線的一部分).若帶子寬度為1，水管直徑為2，則“纏繞角度α”的余弦值為.(2008年蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江第一次模擬考試第14題)

學(xué)生：“使帶子全部包住管道”是什么意思？

“生活背景”：就是管道被帶子完全覆蓋.

學(xué)生：“沒有重疊的部分”是什么意思？

圖1

圖2

“生活背景”：相鄰的兩個(gè)帶子邊界所在直線重合.

學(xué)生：“帶子全部包住管道且沒有重疊的部分”表示相鄰的兩個(gè)帶子既不重疊，又緊緊相連，沒有縫隙.

“生活背景”：說明相鄰的帶子的重合點(diǎn)A與C展開后是在同一水平線上.

從對(duì)話的視角設(shè)計(jì)高三數(shù)學(xué)的“解題舞臺(tái)劇”，其本質(zhì)是根據(jù)學(xué)生的心理特征，打造激發(fā)學(xué)生思維火花高速碰撞的“正負(fù)電子對(duì)撞機(jī)”，讓他們以不同角色進(jìn)行相互“對(duì)話”，推動(dòng)他們以不同身份去觀察、思考問題，對(duì)題目的各種信息進(jìn)行加工、挖掘，多角度地對(duì)同一個(gè)問題進(jìn)行不同方式的思考，引導(dǎo)他們交流思想，認(rèn)清數(shù)學(xué)題目的本質(zhì)，“走進(jìn)”題目的“內(nèi)心”，追求對(duì)題意更高層次的理解，在對(duì)話過程中體驗(yàn)尋找解題思路的心理歷程，培養(yǎng)學(xué)生解題的“題感”，最終實(shí)現(xiàn)一個(gè)人獨(dú)自承擔(dān)多種角色與題目“對(duì)話”，親身感受到數(shù)學(xué)的文化魅力，全面提升他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)！