數(shù)形結(jié)合，引領(lǐng)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的應(yīng)然追尋

張莉

【摘要】數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩個基本屬性，數(shù)學(xué)是研究“數(shù)”與“形”的科學(xué)。通過數(shù)形結(jié)合，可以把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系，與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合，有助于促使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，更好地建構(gòu)知識。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)水平出發(fā)，直面學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)，基于數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生參與認(rèn)知的全過程，在自主建構(gòu)中不斷發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)思考；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年修訂版）》指出：“教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)?！睌?shù)學(xué)教學(xué)，不僅僅是知識與技能的教學(xué)，更重要的是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的過程中，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想和方法，引領(lǐng)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩個基本屬性。通過數(shù)形結(jié)合，可以把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系，與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合，有助于促使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，更好地建構(gòu)知識。

一、從數(shù)到形，以數(shù)激趣

數(shù)與形，一直是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要關(guān)注的對象，數(shù)學(xué)是研究“數(shù)”與“形”的學(xué)科。數(shù)與形的結(jié)合，一方面激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，另一方面利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的認(rèn)知上來展開探索的欲望，為后續(xù)知識的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

如蘇教版數(shù)學(xué)三年級下冊“識識一個整體的幾分之一”的教學(xué)，是從數(shù)的認(rèn)識開始引入，以數(shù)激趣，與圖形結(jié)合，不斷引導(dǎo)學(xué)生的認(rèn)知走向深處。

課的開始，師引導(dǎo)學(xué)生回憶：大家對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識不陌生，你能說出一個幾分之一的分?jǐn)?shù)嗎？

生：二分之一，三分之一，五分之一……

師：能說一說這些分?jǐn)?shù)的意思嗎？

結(jié)合學(xué)生說出的分?jǐn)?shù)，引導(dǎo)學(xué)生說出這幾個分?jǐn)?shù)的意思。

教師出示一個長方形，引導(dǎo)學(xué)生思考：如何表示出這個長方形的四分之一？

學(xué)生交流：把這個長方形平均分成4份，表示其中的一份是長方形的四分之一。

教師出示一根線段，引導(dǎo)學(xué)生思考：如何表示出這根線段的四分之一？

學(xué)生交流：把這根線段平均分成4段，表示其中的一段是全長的四分之一。

教師指出：把一個物體平均分成幾份，其中的一份就是它的幾分之一。

在教學(xué)中，教師先引導(dǎo)學(xué)生回憶分?jǐn)?shù)幾分之一，在喚醒學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)上，結(jié)合圖形表示分?jǐn)?shù)的幾分之一，進(jìn)一步讓學(xué)生體會分?jǐn)?shù)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

二、由動到靜，借圖用數(shù)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對于學(xué)生來說，重在理解知識的過程。一些抽象的數(shù)學(xué)知識，可以通過簡單的圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，便于學(xué)生更好地理解。把數(shù)學(xué)知識由數(shù)到形進(jìn)行變化，由復(fù)雜的數(shù)的知識轉(zhuǎn)化成簡單的形，讓學(xué)生更好地把握問題的本質(zhì)特征，充分地利用圖形來解決數(shù)的問題，讓學(xué)生以圖來建構(gòu)數(shù)學(xué)知識。

如蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”的教學(xué)，教師就是結(jié)合圖形，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)變得簡單化，讓學(xué)生在解決問題的過程中，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法，在應(yīng)用轉(zhuǎn)化中感受轉(zhuǎn)化的思想方法，積累數(shù)學(xué)活動的基本經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性和敏捷性。

教師先引導(dǎo)學(xué)生觀察算式中分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)，結(jié)合特點(diǎn)，思考：如何求出這4個分?jǐn)?shù)的和？

學(xué)生交流：可以把4個異分母分?jǐn)?shù)運(yùn)用通分的方法轉(zhuǎn)化成同分母的分?jǐn)?shù)計(jì)算出得數(shù)。

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合分?jǐn)?shù)的意義，用圖來表示4個加數(shù)。

師：把正方形看作單位“1”，怎樣涂色表示二分之一，四分之一，八分之一，十六分之一這4個加數(shù)？

引導(dǎo)學(xué)生思考：要求這4個分?jǐn)?shù)相加的和，是求正方形中什么部分的面積？

學(xué)生交流1：要求這4個分?jǐn)?shù)相加的和，就是求正方形中涂色面積的大小是多少。

學(xué)生交流2：涂色面積的大小，也可以用整個正方形的面積減掉空白部分的面積。

在這里，教師依據(jù)加數(shù)的特點(diǎn)和規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖表示，發(fā)現(xiàn)算式的結(jié)果。除了通過求和表示，也可以通過用單位1來減去空白部分的面積。利用圖形與數(shù)的結(jié)合，把動態(tài)的求和過程轉(zhuǎn)化為簡單的以圖求解的過程，把枯燥的數(shù)學(xué)知識的理解，通過具體的幾何圖形，變成易于學(xué)生學(xué)習(xí)的生長點(diǎn)與延伸點(diǎn)，注重了知識的結(jié)構(gòu)與體系，使學(xué)生感受了知識之間的聯(lián)系，由抽象到直觀，讓學(xué)生感受了轉(zhuǎn)化的策略，積累了數(shù)學(xué)活動的基本經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生依據(jù)問題的特點(diǎn)，及時把數(shù)轉(zhuǎn)化成圖形來解決問題。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得生動的同時，又不失數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，讓學(xué)生觸摸到了數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)。

三、以圖推數(shù)，依圖明理

史寧中教授曾說過：“數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)不能是終極目標(biāo)，數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界?！?/p>

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中基本的數(shù)學(xué)思想方法。它是對客觀世界中的空間形式和感性表象進(jìn)行加工、提煉，找出知識的本質(zhì)屬性，形成易于學(xué)生理解的數(shù)學(xué)結(jié)論的過程。在這個過程中，學(xué)生能夠體會知識的形成過程，抽象思維的能力得以進(jìn)一步發(fā)展。因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，教師要引領(lǐng)學(xué)生參與知識學(xué)習(xí)的全過程，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程，通過數(shù)學(xué)化的方式，及時培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力。

如蘇教版數(shù)學(xué)六年級下冊“圓錐的體積計(jì)算”的教學(xué)，教師結(jié)合圖形，在圓柱和等底等高的圓錐體積關(guān)系的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理，進(jìn)一步探究數(shù)學(xué)的規(guī)律，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知。

出示：一個圓柱和一個圓錐等底等高，圓錐的體積是圓柱體積的三分之一。

思考： 一個圓柱和一個圓錐底面積相等體積也相等，圓錐的高與圓柱高的關(guān)系？

通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，變封閉、被動的學(xué)習(xí)為開放、主動、動態(tài)的探究，不斷引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行自覺的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

四、從思及用，用圖解題

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。在數(shù)學(xué)活動中，教師應(yīng)從學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，不斷地引導(dǎo)學(xué)生從抽象的數(shù)學(xué)語言開始，結(jié)合具體的數(shù)學(xué)圖形，培養(yǎng)學(xué)生不斷分析問題的能力，巧妙地催化解決問題的能力，啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，推動學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

如蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊“解決問題的策略”的教學(xué)，教師就是充分利用線段圖，數(shù)形結(jié)合，從不同角度展開問題思考的。

教師出示：“小寧和小春一共有72枚郵票，小春比小寧多12枚，兩人各有多少枚？”引導(dǎo)學(xué)生畫出線段圖，思考并求出兩人各有多少枚？結(jié)合原有的解決問題的經(jīng)驗(yàn)，把條件中兩個不相等的數(shù)量轉(zhuǎn)化成相等的數(shù)量即可。學(xué)生自己解答，集體交流。

生1：把總數(shù)看成兩個小寧的郵票數(shù)，總數(shù)就需要去掉12枚是60枚，小寧是60除以2等于30枚，小春就是30枚加12枚等于42枚。

生2：把總數(shù)看成兩個小春的郵票數(shù)，總數(shù)就需要加上12枚是84枚，小春是84除以2等于42枚，小寧就是42枚減12枚等于30枚。

生3：把72枚總數(shù)平均分成兩份，小寧和小春各取一份是36枚，再把小春比小寧多的12枚平均分成兩份，每份是6枚，小寧的36枚去掉6枚等于30枚，小春的36枚加6枚等于42枚。

這個教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度獨(dú)立思考，確定解題思路，數(shù)形結(jié)合，不斷生成不同的解決問題的策略，形成靈活而靈動的思維品質(zhì)。

總之，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)水平出發(fā)，直面學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)，基于數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生參與認(rèn)知的全過程，在自主建構(gòu)中不斷發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.