變點(diǎn)問題統(tǒng)計(jì)分析框架及應(yīng)用
——以我國財(cái)險(xiǎn)賠付支出數(shù)據(jù)為例

(天津財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，天津 300222)

一、引言

變點(diǎn)問題(Change Point Problem)自20世紀(jì)70年代以來一直是國際統(tǒng)計(jì)研究的熱點(diǎn)，始于Page于1954年在Biometrika上發(fā)表的一篇關(guān)于連續(xù)抽樣檢驗(yàn)的文章，其主要研究時(shí)間序列過程中，在某個(gè)或幾個(gè)未知時(shí)刻序列過程的統(tǒng)計(jì)特性產(chǎn)生變化，使得其不再依循于原有規(guī)律，所對應(yīng)t時(shí)刻的點(diǎn)即為變點(diǎn)，通過對于變點(diǎn)的識(shí)別、估計(jì)，分析估計(jì)量在t時(shí)刻前后的差異及性質(zhì)，對變量進(jìn)行更合理的推斷[1]。變點(diǎn)問題在風(fēng)險(xiǎn)識(shí)別和異常點(diǎn)監(jiān)控中具有重要作用，其理論已有了一系列較為成熟的成果并有著較為廣泛的應(yīng)用，早期用于質(zhì)量控制，后來擴(kuò)展到醫(yī)學(xué)、氣象學(xué)、生物學(xué)、金融保險(xiǎn)等諸多領(lǐng)域。

經(jīng)濟(jì)金融中的數(shù)據(jù)通常呈結(jié)構(gòu)性或周期性變化，顯然不能將之等量其觀，其特定時(shí)期內(nèi)的變化差異往往是研究問題的關(guān)鍵所在。隨著金融業(yè)的蓬勃發(fā)展，變點(diǎn)問題在金融領(lǐng)域的研究受到了學(xué)者的廣泛關(guān)注。在股票證券市場，變點(diǎn)分析側(cè)重于時(shí)間序列建模：Kokoszka和Leipus構(gòu)建了變點(diǎn)ARCH模型，Na等則建立了Copula-ARMA-GARCH模型測度了風(fēng)險(xiǎn)變點(diǎn)間的相依關(guān)系[2-3]。保險(xiǎn)市場中，更關(guān)注于生存分析與損失模型的構(gòu)建：Gandy等通過一組精算變點(diǎn)數(shù)據(jù)構(gòu)建了Cox風(fēng)險(xiǎn)模型[4]，Jensen和Lütkebohmert則推廣了Cox變點(diǎn)模型的應(yīng)用范圍，將其應(yīng)用在不同協(xié)變量的變點(diǎn)以及單個(gè)變點(diǎn)的多個(gè)協(xié)變量中[5]。近幾年來，金融變點(diǎn)研究側(cè)重于累加和(Cumulative Sum，CUSUM)算法等傳統(tǒng)識(shí)別方法的拓展以及貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法的綜合應(yīng)用，數(shù)據(jù)由低維數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)向高維，關(guān)注方向也由變點(diǎn)定量識(shí)別轉(zhuǎn)向變點(diǎn)的穩(wěn)健性識(shí)別。Jirak基于高維時(shí)序數(shù)據(jù)間的弱相關(guān)性，結(jié)合CUSUM與自助法(Bootstrap)構(gòu)建了一種大樣本條件下的高維數(shù)據(jù)變點(diǎn)檢驗(yàn)法，并據(jù)此識(shí)別了近一年內(nèi)美國500家上市公司標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)(S&P500)的序列變點(diǎn)[6]。Cho和Fryzlewicz則根據(jù)CUSUM提出了一個(gè)稀疏化二值分割(Sparsified Binary Segmentation，SBS)算法用于減少高維空間中的無關(guān)噪聲影響，利用該算法識(shí)別了2007—2011年中S&P500的變點(diǎn)，指出2008年美國金融危機(jī)前后該指數(shù)的結(jié)構(gòu)性變化[7]。隨后，Cho又將CUSUM應(yīng)用于面板數(shù)據(jù)中多變點(diǎn)情形下的檢測，分析了2015—2016年S&P100收益率的變化情況[8]。Nascimento和Silva提出一種多變點(diǎn)情況下的貝葉斯模型，運(yùn)用MCMC算法對每個(gè)點(diǎn)的突變概率進(jìn)行穩(wěn)健估計(jì)，以美國納斯達(dá)克(Nasdaq)數(shù)據(jù)為例識(shí)別了1996—2014年中的證券交易變點(diǎn)[9]。隨著金融數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的日趨復(fù)雜，變點(diǎn)問題在國外的金融領(lǐng)域研究中無論是從對象上還是方法上都有了大幅擴(kuò)展，具有非常廣闊的發(fā)展空間和應(yīng)用價(jià)值。

我國于上世紀(jì)90年代展開對變點(diǎn)問題的研究，陳希孺首次從國外引入提出變點(diǎn)問題[10]，此后國內(nèi)學(xué)者展開了一系列理論研究。2000年后對于變點(diǎn)問題的應(yīng)用研究增多，金融領(lǐng)域中變點(diǎn)問題在證券市場應(yīng)用較為廣泛。雷鳴等將生存分析與變點(diǎn)理論相結(jié)合，對我國上證指數(shù)進(jìn)行研究，分析股市的政策效應(yīng)變化[11]。譚常春等對至多一個(gè)變點(diǎn)的伽馬分布進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)推斷并在金融序列中進(jìn)行了應(yīng)用[12]。葉五一和繆柏其利用Copula的變點(diǎn)檢測方法來檢驗(yàn)美國次級(jí)債金融危機(jī)傳染效應(yīng)的存在性，分析了收益率間的相依關(guān)系[13]。李強(qiáng)和王黎明將變點(diǎn)估計(jì)問題轉(zhuǎn)化成變量選擇問題來處理，提出了一種基于LAD-LASSO的逐段常數(shù)時(shí)間序列變點(diǎn)估計(jì)方法[14]。在保險(xiǎn)研究中，李云霞和周杏杏考慮保險(xiǎn)精算中復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)的重要作用，建立了含有協(xié)變量的復(fù)發(fā)事件變點(diǎn)模型[15]。劉琮敏等根據(jù)Poisson分布單變點(diǎn)的思想，運(yùn)用鞅方法研究了具有變點(diǎn)理賠過程的風(fēng)險(xiǎn)模型，將變點(diǎn)模型應(yīng)用于破產(chǎn)概率分析[16]。張志強(qiáng)和楊帆利用變點(diǎn)檢測法識(shí)別了我國人口死亡率的突變點(diǎn)，用主成分分析構(gòu)建模型提高了死亡率預(yù)測模型的精度[17]。整體上看，變點(diǎn)理論在金融領(lǐng)域的實(shí)證應(yīng)用仍較為匱乏，涉及的重要風(fēng)險(xiǎn)變點(diǎn)尚未進(jìn)行系統(tǒng)性的討論，亟待學(xué)者展開相關(guān)研究來完善各類金融指標(biāo)中重大風(fēng)險(xiǎn)點(diǎn)的識(shí)別工作，健全我國的金融風(fēng)險(xiǎn)管理體系。

本文嘗試在前人研究的基礎(chǔ)上構(gòu)建一種變點(diǎn)問題的統(tǒng)計(jì)研究分析框架，從定量和定性兩個(gè)視角確定金融問題中的關(guān)鍵風(fēng)險(xiǎn)點(diǎn)，通過變點(diǎn)前后差異構(gòu)建不同的數(shù)據(jù)模型，以期揭示變點(diǎn)數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律性特征。以我國近7年來的賠付支出數(shù)據(jù)為例闡述變點(diǎn)問題的研究過程，著手從技術(shù)層面識(shí)別我國財(cái)險(xiǎn)公司一年經(jīng)營中賠付支出突變的關(guān)鍵月度風(fēng)險(xiǎn)點(diǎn)，對理賠數(shù)據(jù)選取合適的損失分布，從而更加客觀地反映真實(shí)的給付情況，為監(jiān)管機(jī)構(gòu)與公司的風(fēng)險(xiǎn)管理者提供參考依據(jù)。

二、變點(diǎn)問題研究框架

基于已有研究，本文從變點(diǎn)識(shí)別、檢驗(yàn)、建模三個(gè)步驟建立研究框架體系。在變點(diǎn)識(shí)別中，從經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)和貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)兩個(gè)視角識(shí)別突變點(diǎn)并衡量其穩(wěn)健性，進(jìn)而對初步監(jiān)測的變點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)，分析變點(diǎn)前后的差異，通過信息準(zhǔn)則及核密度圖等參考依據(jù)構(gòu)建選擇模型，具體框架如表1所示。

表1 變點(diǎn)問題研究框架

(一)變點(diǎn)識(shí)別

比較系統(tǒng)中基本統(tǒng)計(jì)量的變化是簡而有效的變點(diǎn)識(shí)別方法，若系統(tǒng)內(nèi)存在突變點(diǎn)，則突變后的統(tǒng)計(jì)特征量應(yīng)與之前存在顯著差異。本文應(yīng)用Page提出的CUSUM算法對變點(diǎn)進(jìn)行識(shí)別，這也是近幾十年來識(shí)別變點(diǎn)的經(jīng)典算法[18]。CUSUM算法主要通過研究序列均值和方差的信息判斷過程是否發(fā)生了變化，其基本思想是：給定平均水平條件θ，將每個(gè)監(jiān)測量與平均水平差的累加和(Cumulative Sum)作為觀察對象，當(dāng)監(jiān)測量的CUSUM明顯比正常平穩(wěn)運(yùn)行條件下的平均水平高或者低時(shí)，意味著系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生了變化。一般通過監(jiān)測樣本的均值、方差等統(tǒng)計(jì)量作為平均水平條件，這里采用均值進(jìn)行系統(tǒng)變點(diǎn)識(shí)別，具體的CUSUM算法為：已知觀測序列x1，x2，…，xn，給定監(jiān)測均值θ，累計(jì)加總值Sr為：

(1)

逐個(gè)計(jì)算從0到n期Sr的值，定義m為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

(2)

m為當(dāng)期Sr與此時(shí)段內(nèi)最小Sr值之差，h為閾值，給定h后，在r時(shí)刻m≥h即檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量超過閾值時(shí)，r所對應(yīng)時(shí)刻的點(diǎn)即為變點(diǎn)。

基于CUSUM算法找尋突變點(diǎn)，很大程度取決于監(jiān)測均值θ及閾值h的選取，且對于所確定變點(diǎn)沒有進(jìn)行概率測度以檢驗(yàn)選取值的可信程度，針對上述情況，統(tǒng)計(jì)學(xué)者引入貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法來解決變點(diǎn)估計(jì)不穩(wěn)健的問題，將所研究的變點(diǎn)問題視為隨機(jī)變量而非單一點(diǎn)來推斷變點(diǎn)在各個(gè)時(shí)刻的發(fā)生概率。關(guān)于貝葉斯變點(diǎn)問題已有許多學(xué)者展開相應(yīng)研究，討論不同數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特征下識(shí)別突變點(diǎn)的解決方法。Chernoff和Zacks提出的貝葉斯單一變點(diǎn)(At Most One Change，AMOC)識(shí)別法[19]。算法基于數(shù)據(jù)服從正態(tài)假設(shè)的特征，預(yù)先給出每一時(shí)刻發(fā)生突變的先驗(yàn)概率，根據(jù)序列的均值和方差關(guān)系，利用貝葉斯模型推斷出每一期變點(diǎn)發(fā)生的后驗(yàn)概率。該方法考慮了序列每一時(shí)期發(fā)生變化的特征且估計(jì)具有穩(wěn)健性，對單一變點(diǎn)的識(shí)別具有非常良好的效果。

Chernoff和Zacks對服從正態(tài)分布單一變點(diǎn)序列的均值進(jìn)行了貝葉斯估計(jì)，指出若序列前期存在有較大變化的非突變點(diǎn)，其可能掩蓋后期存在的真實(shí)變點(diǎn)使估計(jì)非有效。由此二人提出了點(diǎn)對點(diǎn)(AD-HOC)過程改進(jìn)估計(jì)量的不足，該算法不僅能識(shí)別單一變點(diǎn)，對多變點(diǎn)也能進(jìn)行有效識(shí)別且同樣具有穩(wěn)健性。AD-HOC過程從最后一期數(shù)據(jù)出發(fā)，倒序觀測到第一期對每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行后驗(yàn)概率估計(jì)，避免了早期過高的非突變點(diǎn)造成的誤判問題。設(shè)n期序列x1，x2，…，xn，每期發(fā)生突變的先驗(yàn)概率為p，初始p0=0，由最后的第n期開始觀測，觀測序列數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)由2到m(2≤m≤n)期逐期遞增，則從最后一期數(shù)據(jù)出發(fā)的后m期個(gè)觀測樣本在第k(0≤k≤m-1)時(shí)刻發(fā)生突變的后驗(yàn)概率為B(m，k)為：

(3)

k=0，1，…，m-1

X(m)=(Xn-m+1，…，Xn)

(4)

(5)

(6)

式(3)給出了每一時(shí)期發(fā)生突變的后驗(yàn)概率，其中式(4)為從最后一期到n-m+1時(shí)的序列，式(5)為通過先驗(yàn)概率計(jì)算得到的在第k期發(fā)生突變的概率，式(6)中的ψk(X(m))為貝葉斯后驗(yàn)估計(jì)算子，其中：

(7)

(8)

(9)

式(8)與式(9)為m期觀測樣本在k時(shí)刻突變前后序列的均值，σ2為序列整體的方差，通過式(4)～式(9)可計(jì)算得到式(3)的后驗(yàn)突變概率B(m，k)。

(二)變點(diǎn)檢驗(yàn)及建模

變點(diǎn)的識(shí)別需通過統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)驗(yàn)證其合理性和科學(xué)性。當(dāng)數(shù)據(jù)分布已知時(shí)，可由參數(shù)檢驗(yàn)方法來進(jìn)行變點(diǎn)的檢驗(yàn)，現(xiàn)實(shí)中的數(shù)據(jù)往往其分布是未知的，因此經(jīng)常采用經(jīng)典的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法對變點(diǎn)前后樣本進(jìn)行檢驗(yàn)。分為兩部分進(jìn)行：一是檢驗(yàn)變點(diǎn)時(shí)刻前后是否有顯著差異，二是檢驗(yàn)其統(tǒng)計(jì)分布是否相同。關(guān)于分析變點(diǎn)的差異性，非參數(shù)檢驗(yàn)的思想是，若變點(diǎn)在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)內(nèi)呈現(xiàn)相同的周期性規(guī)律，則其數(shù)值大小順序即秩統(tǒng)計(jì)量應(yīng)該相同。此外進(jìn)行建模時(shí)還需對數(shù)據(jù)的分布進(jìn)行驗(yàn)證，檢驗(yàn)變點(diǎn)前后是否服從于同一分布。通常選用Mann-Whitney-Wilcoxon檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)差異[20]，選用Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的分布差異[21]。

存在變點(diǎn)的數(shù)據(jù)分布通常呈多峰特征，其分布具有明顯差異，混合分布模型是建模的首選，其基本形式為：

f(x)=p1f1(x)+p2f2(x)+…+pnfn(x)

(10)

f(x)為概率密度函數(shù)，n為分布峰的個(gè)數(shù)，通常為變點(diǎn)個(gè)數(shù)值，p為權(quán)重，p1+p2+…+pn=1，關(guān)于概率密度函數(shù)的選取，通常以信息準(zhǔn)則為依據(jù)，利用赤池信息量準(zhǔn)則AIC對模型進(jìn)行選擇：

AIC=2k-2ln(L)

(11)

k為參數(shù)個(gè)數(shù)，n為樣本量，ln(L)為似然函數(shù)對數(shù)值，選取較小AIC值的模型確定分布。當(dāng)樣本量較小時(shí)，Hurvich和Tsai將式(11)進(jìn)行修正[22]，給出了小樣本情形下的信息準(zhǔn)則值A(chǔ)ICc：

(12)

三、實(shí)證分析

(一)數(shù)據(jù)選取、處理與描述性統(tǒng)計(jì)

自改革開放以來，我國財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)業(yè)發(fā)展迅猛，“十一五”發(fā)展期間，整體實(shí)力與經(jīng)營效益顯著提升，保費(fèi)規(guī)模不斷擴(kuò)大，2016年財(cái)險(xiǎn)業(yè)務(wù)原保費(fèi)收入達(dá)8 724.5億元，同比增長9.1%，賠付支出4 726.18億元，增長12.7%，與保費(fèi)收入增長趨同，然而在賠款支出方面卻高于保費(fèi)增長，保費(fèi)收入與賠付支出的不匹配為財(cái)險(xiǎn)公司帶來隱憂，這需要實(shí)時(shí)把握保險(xiǎn)公司的運(yùn)營情況，對損失賠付進(jìn)行動(dòng)態(tài)監(jiān)測以便及時(shí)分散經(jīng)營過程中的理賠風(fēng)險(xiǎn)。保監(jiān)會(huì)發(fā)布的經(jīng)營情況表基于《關(guān)于印發(fā)〈保險(xiǎn)合同相關(guān)會(huì)計(jì)處理規(guī)定〉的通知》(財(cái)會(huì)[2009]15號(hào))的有關(guān)內(nèi)容，根據(jù)《企業(yè)會(huì)計(jì)準(zhǔn)則(2006)》設(shè)置的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，確認(rèn)本期(年初到當(dāng)月的累計(jì)數(shù)據(jù))保險(xiǎn)企業(yè)的原保險(xiǎn)合同保費(fèi)收入及支付的原保險(xiǎn)合同賠付款項(xiàng)。按照該準(zhǔn)則及《保險(xiǎn)合同相關(guān)會(huì)計(jì)處理規(guī)定》的相關(guān)規(guī)定，保險(xiǎn)公司在確定保費(fèi)收入與賠款支出時(shí)應(yīng)考慮通貨膨脹因素，在確定通貨膨脹率假設(shè)時(shí)與采用的折現(xiàn)率假設(shè)保持一致。按該口徑，各保險(xiǎn)公司基于一定的通脹費(fèi)用假設(shè)對原保險(xiǎn)賠付支出數(shù)據(jù)加以報(bào)送[注]在通貨膨脹時(shí)期，保險(xiǎn)公司的費(fèi)用率會(huì)因?yàn)楣べY等成本的上升而提高，不及時(shí)進(jìn)行調(diào)整和控制通貨膨脹帶來的影響將使公司的利潤下降。因此在保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)過程中，精算師應(yīng)建立通貨膨脹與損失率、利率、費(fèi)用率之間的量化關(guān)系，間接的將通脹因素作為定價(jià)要素，提高定價(jià)及賠付支出對通貨膨脹的適應(yīng)性。。

使用本年累計(jì)數(shù)據(jù)有利于對經(jīng)營狀況的整體把握，但無法反映月度之間的變化情況和規(guī)律，不能識(shí)別個(gè)別月度賠付存在的支出較大的異常風(fēng)險(xiǎn)點(diǎn)和揭示賠款支付之間的異質(zhì)性特征，使得潛在的經(jīng)營風(fēng)險(xiǎn)被忽略。一年中個(gè)別月度的重大賠付導(dǎo)致月度保費(fèi)收入與賠付支出的資產(chǎn)負(fù)債不匹配，這不利于保險(xiǎn)公司的健康運(yùn)行，因此要將經(jīng)營數(shù)據(jù)按月劃分進(jìn)行更細(xì)致的分析。根據(jù)月度賠付情況的監(jiān)測結(jié)果識(shí)別重大賠付風(fēng)險(xiǎn)點(diǎn)對分散控制理賠風(fēng)險(xiǎn)具有重要作用，可以更客觀地認(rèn)識(shí)財(cái)險(xiǎn)公司一年期的經(jīng)營狀況，為監(jiān)管者提供更有針對性的經(jīng)驗(yàn)證據(jù)，以加強(qiáng)對重點(diǎn)月份的監(jiān)督管理，給公司內(nèi)部控制和風(fēng)險(xiǎn)管理提供更詳盡的參考依據(jù)，對商業(yè)車險(xiǎn)的市場化改革、科學(xué)厘定費(fèi)率和財(cái)險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金的評估也具有一定的指導(dǎo)作用。

本文采用保監(jiān)會(huì)2010—2016年度每月發(fā)布的保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)營情況表中財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)原保險(xiǎn)賠付支出數(shù)據(jù)，每月的原數(shù)據(jù)是本年累計(jì)存量數(shù)據(jù)，為更客觀反映每月的賠付情況和便于突變點(diǎn)的識(shí)別，本文整理加工拆分為逐月度的流量數(shù)據(jù)，整理后月度的時(shí)間序列如圖1所示。

圖1 2010—2016年我國財(cái)險(xiǎn)賠付支出金額圖(億元)

隨著我國財(cái)險(xiǎn)業(yè)務(wù)規(guī)模的擴(kuò)大，賠付支出近7年來也在有條不紊的增加，年累計(jì)值也由2010年的1 756.03億元提高到2016年4 726.18億元，增長達(dá)270%，月度賠付也由100多億增至400余億元，個(gè)別月份已高達(dá)500余億元。從圖1直觀來看，財(cái)險(xiǎn)賠付呈有規(guī)律的周期波動(dòng)增長，每年一至三季度平穩(wěn)變化，四季度初呈顯著突變急劇增長，大體有“年初降”“年末漲”的給付現(xiàn)象：在每年度2月份給付金額下降，10月后明顯有大幅上升，出現(xiàn)“翹尾巴”的折點(diǎn)，其余各月變化較為穩(wěn)定。對于財(cái)險(xiǎn)公司需對賠付金額增加的關(guān)鍵風(fēng)險(xiǎn)點(diǎn)加以重視。圖1的變化規(guī)律引發(fā)了對賠付支出變化的關(guān)注，即11月是否為賠付突變增長點(diǎn)，1～10月的賠款支出是否與11～12月存在顯著差異，其變化的趨勢是偶然還是階段的周期性規(guī)律，假設(shè)突變點(diǎn)存在，構(gòu)建何種損失模型更能恰當(dāng)?shù)財(cái)M合賠付數(shù)據(jù)。首先需要對假設(shè)的變點(diǎn)進(jìn)行初步的識(shí)別，根據(jù)圖1中的數(shù)據(jù)初步看出近7年來賠付的月度序列呈現(xiàn)相同的變化規(guī)律，僅從賠付金額上看，逐年上升平穩(wěn)上移。因篇幅所限，以最近2016年月度數(shù)據(jù)為例進(jìn)行分析說明。

2016年度我國財(cái)險(xiǎn)公司原保險(xiǎn)賠款給付金額共計(jì)4 726.18億元，創(chuàng)歷史最高水平，將當(dāng)期數(shù)據(jù)按月度進(jìn)行拆分，2016年12個(gè)月我國財(cái)險(xiǎn)賠款給付描述性統(tǒng)計(jì)如表2所示。

表2 2016年度財(cái)險(xiǎn)月度賠付支出描述性統(tǒng)計(jì)表 單位：億元

由表2看出，2016年1～10月與11～12月我國財(cái)險(xiǎn)賠款給付均值與標(biāo)準(zhǔn)差存在明顯不同，1～10月?lián)p失均值與11～12月均值相差161.02億元，方差波動(dòng)較大，全年極差相差達(dá)309.38億元，初步推斷11月前后賠付具有差別。

(二)賠付支出的變點(diǎn)識(shí)別

運(yùn)用CUSUM算法對賠付支出進(jìn)行定量識(shí)別，該算法的一個(gè)重要問題是監(jiān)測均值θ的選取，θ必須恰當(dāng)反映觀測對象平均水平，過低或過高都會(huì)使得算法估計(jì)失效，為了保證算法估計(jì)的準(zhǔn)確性，選取2016年全年、1～10月(排除四季度上升的時(shí)間段)、4～10月(排除一季度下降與四季度上升的時(shí)間段)的三組平均值作為監(jiān)測均值，分析其變化的敏感性，其數(shù)值分別為393.85、367.01、370.60億元，由3組均值可以看出，全年平均水平較之后兩組有顯著不同，一季度下降對整體影響不大，四季度變化對整體有很大影響。以h=80作為閾值，計(jì)算后得到3組m值的序列，用折線圖直觀表示如圖2所示。

圖2 不同監(jiān)測均值下CUSUM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量序列圖

由圖2可以看出，不同均值監(jiān)測下的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值均在11月份呈現(xiàn)明顯的突變趨勢，斜率驟然增加。1～10月份變化大體一致，在三季度后m值出現(xiàn)分層，以1～10月、4～10月均值度量下的m值在11月超過閾值h，兩者監(jiān)測均值僅相差3.584，但在7月后m值卻產(chǎn)生顯著不同。以全年均值度量的m折線圖變化趨勢在1～10月較為平緩，m值較小有8個(gè)月為0，11月并未超過h，但與前三季度相比差異明顯，平緩原因是由于監(jiān)測均值選取過大致使Sr過小影響了m的計(jì)算，但不影響從序列圖中判別其變化趨勢。從3組檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量序列折線圖的比較來看，剔除一、四季度賠付波動(dòng)較大變化月度的監(jiān)測均值來計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量較為適宜，能很好反映年度的平均水平，更有利于變點(diǎn)的識(shí)別。此外，不同h值的選取也會(huì)影響結(jié)果的判斷，當(dāng)h過小時(shí)很可能造成對變點(diǎn)的誤判，在圖2中若h小于80，按CUSUM判別方法在1～10月、4～10月可能出現(xiàn)多個(gè)突變點(diǎn)，僅從數(shù)字而不從圖形來推斷，很可能造成對變點(diǎn)的錯(cuò)誤推斷，這需要對變點(diǎn)算法進(jìn)行改進(jìn)使之更加穩(wěn)健。

利用貝葉斯AD-HOC算法檢測變點(diǎn)識(shí)別的穩(wěn)健性，為簡化計(jì)算過程，不致使得式(7)方差過大，對賠付數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，將其方差調(diào)整為1，假設(shè)每期發(fā)生突變的先驗(yàn)概率p為0.5，后驗(yàn)概率B(m，k)如表3所示。

表3表示了從12月出發(fā)，選取m個(gè)賠付數(shù)據(jù)在12-k月發(fā)生突變的后驗(yàn)概率，每一行加總后的后驗(yàn)概率之和為1。B(m，0)表示沒有突變發(fā)生，B(4，3)表示選取后四月賠付數(shù)據(jù)作為觀測對象，在第9月中發(fā)生突變的概率為0.14。由此得到了一年12個(gè)月所有賠付數(shù)據(jù)的B(m，k)。由表3看出，k=1、2時(shí)刻即10～11月之間選取任意m個(gè)觀測樣本的突變概率顯著高于其他月份，在20%～52%之間，其中最小值20%已遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其它時(shí)刻的最大值，由此可以推斷序列突變時(shí)刻在此之間。為了檢測先驗(yàn)概率p的選擇對后驗(yàn)概率結(jié)果的影響，對過程進(jìn)行敏感性分析，考慮系統(tǒng)內(nèi)突變發(fā)生較小的概率假設(shè)，設(shè)先驗(yàn)概率p=0.05，其后驗(yàn)概率B(m，k)如表4所示。

表3 突變點(diǎn)后驗(yàn)概率表(p=0.5)

表4 突變點(diǎn)后驗(yàn)概率表(p=0.05)

由表4可以看出，除k=0突變未發(fā)生外，p=0.05時(shí)k=1、2，突變點(diǎn)后驗(yàn)概率表(p=0.05)時(shí)刻后驗(yàn)概率較之其他時(shí)間依然最高，在5%～16%之間，與p=0.5得到的變化結(jié)果一致，通過表3與表4的對比可以看出B(m，k)對p取值不敏感，AD-HOC算法識(shí)別的變點(diǎn)結(jié)果與先驗(yàn)概率的選取無關(guān)，結(jié)合貝葉斯模型使得估計(jì)量具有很強(qiáng)的穩(wěn)健性，對于序列后期的單一突變以及多變點(diǎn)情況下的識(shí)別問題有著非常好的估計(jì)效果，較之CUSUM算法更加有效，是后者的改進(jìn)和進(jìn)一步補(bǔ)充。通過數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計(jì)，結(jié)合兩種算法的結(jié)果，進(jìn)一步推斷11月份為賠款給付的突變點(diǎn)。

(三)賠付支出變點(diǎn)的非參數(shù)檢驗(yàn)

識(shí)別變點(diǎn)后，分別對2010—2016年7年的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，每年中1—10月份賠付數(shù)據(jù)分為一組，11—12月兩個(gè)數(shù)據(jù)分為一組，選用Wilcoxon-Mann-Whitney非成對樣本組的秩次和檢驗(yàn)來檢驗(yàn)兩組間是否有顯著差異，檢驗(yàn)非成對樣本容量為n1的觀察值X1，X2，…，Xn1和樣本容量為n2觀察值Y1，Y2，…，Yn2的中位數(shù)是否相等，若相等則無差異，設(shè)原假設(shè)H0∶M1～10=M11～12(10月前后賠付無差異)，備擇假設(shè)H1∶M1～10

假設(shè)X1，X2，…，Xn1來自分布為F(x)總體的樣本，Y1，Y2，…，Yn2來自分布為G(x)總體的樣本，F(xiàn)(x)、G(x)均未知且均為連續(xù)分布函數(shù)，檢驗(yàn)兩者分布是否相同，即原假設(shè)為H0：F(x1，x2，…，x10)=G(x11，x12)，備擇假設(shè)為H1：F(x1，x2，…，x10)≠G(x11，x12)，采用Kolmogorov-Smirnov(K-S)雙樣本檢驗(yàn)來觀察兩組觀測值，K-S檢驗(yàn)基于累計(jì)分布函數(shù)，用以檢驗(yàn)一個(gè)經(jīng)驗(yàn)分布是否符合某種理論分布，或比較兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)分布是否有顯著差異。相比于其它檢驗(yàn)，K-S檢驗(yàn)適用范圍不僅能用于正態(tài)分布，還能應(yīng)用于分布有偏的損失賠付數(shù)據(jù)，用R軟件中的ks.test函數(shù)對各年的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行K-S檢驗(yàn)，p值均為0.030 3，對7年整體的兩組數(shù)據(jù)檢驗(yàn)p值為0.005 57，在5%的顯著性水平下接受備擇假設(shè)，即10月前后賠付數(shù)據(jù)的損失分布不同。通過W-M-W與K-S檢驗(yàn)，確定識(shí)別的每年11月份為賠款給付突變點(diǎn)，各年度月度損失大小不同，但趨勢及變化規(guī)律相同，損失分布在變點(diǎn)前后發(fā)生改變。

(四)賠付支出的變點(diǎn)模型

檢驗(yàn)確定變點(diǎn)后，需選擇合適的損失模型擬合賠付數(shù)據(jù)，給出其統(tǒng)計(jì)分布。變點(diǎn)前后數(shù)據(jù)的差異決定了需要通過不同的模型加以研究，由于保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)特點(diǎn)，賠付的損失分布往往不同于傳統(tǒng)大樣本情況下服從大數(shù)定律和中心極限定理的正態(tài)分布“鐘型”曲線，而是呈現(xiàn)“尖峰厚尾”特征，故選取正態(tài)分布、指數(shù)分布、對數(shù)正態(tài)分布、伽馬分布及帕累托分布等典型損失模型，對2010—2016年7年的變點(diǎn)前后的賠付數(shù)據(jù)分別進(jìn)行擬合，利用極大似然法(MLE)估計(jì)模型中的參數(shù)，R軟件nloptr程序包中的nloptr函數(shù)可進(jìn)行非線性模型參數(shù)的極大似然估計(jì)求解，由變點(diǎn)檢驗(yàn)可知1—10月與11—12月服從不同分布，假設(shè)1—10月服從分布F(x，θ)，11—12月服從另一分布G(x'，λ)，則整體的極大似然函數(shù)為：

L(θ，λ)=L(xi1，xi2…xi12，θ，λ)

(13)

五種損失模型的結(jié)果如表5所示。

表5 賠款給付分布及參數(shù)的極大似然估計(jì)

表5給出了變點(diǎn)前后兩個(gè)局部與整體三者模型參數(shù)的似然估計(jì)。1～12月份表示了假設(shè)無變點(diǎn)情況下，賠款給付服從同一損失分布F(x)=G(x')的值，利用赤池信息量準(zhǔn)則AIC對模型進(jìn)行選擇，本文中損失樣本數(shù)據(jù)僅為84個(gè)，因此選用小樣本情形下的信息準(zhǔn)則值A(chǔ)ICc選擇損失分布。

除指數(shù)分布外，本文擬合的損失分布模型參數(shù)個(gè)數(shù)均為2，樣本量也相同，因此影響AICc大小的決定因素為模型的似然函數(shù)值L，它反映了數(shù)據(jù)信息量的使用程度，AICc的數(shù)值結(jié)果如表6所示。

表6 5種損失模型的AICc

由表6中的AICc值可以看出，除帕累托分布外，變點(diǎn)假設(shè)下1～10月、11～12月分段擬合的同一模型不同參數(shù)下?lián)p失分布的AICc之和(3)小于無變點(diǎn)假設(shè)(4)下模型的AICc，分段模型優(yōu)于整體服從單一參數(shù)的模型，再次證明了突變點(diǎn)的存在性及變點(diǎn)前后采用不同損失分布“分而治之”擬合賠付數(shù)據(jù)的合理性。根據(jù)最小信息原則，AICc最小值組合min(1)+min(2)即為最佳的損失模型。在1～10月，應(yīng)選擇AICc數(shù)值最小的正態(tài)分布模型；而在11～12月中，正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、伽馬分布的AICc數(shù)值近似，因此三類損失分布均可作為變點(diǎn)時(shí)期的數(shù)據(jù)建模。考慮模型構(gòu)建的連續(xù)性與簡約性，最終選擇變點(diǎn)前后均為正態(tài)分布的損失模型。

圖3給出了用R軟件繪出的給付分布核密度概率圖，從7年賠付數(shù)據(jù)整體來看，可見賠款給付分布呈雙峰特征，使用單個(gè)連續(xù)模型擬合的結(jié)果往往不盡人意，在這里混合分布(Mixed Distribution)有效地解決了數(shù)據(jù)多峰問題，在常用的模型之間可以起到“取長補(bǔ)短”的作用[23]。

圖3 整體賠款給付直方圖及核密度曲線圖

根據(jù)表6中AICc(3)的結(jié)果，選擇前后均為正態(tài)分布的混合模型，圖3核密度曲線呈雙峰特性，選取n=2，構(gòu)建的混合模型即為二元混合高斯模型：

p1+p2=1

(14)

在混合模型的各種參數(shù)估計(jì)法中，常用矩方法和極大似然估計(jì)法，極大似然估計(jì)法在計(jì)算上復(fù)雜但在參數(shù)估計(jì)中具有一致性和有效性，這里采用混合高斯分布中極大似然估計(jì)的EM算法來確定模型中的待估參數(shù)，R軟件中mixdist程序包專門用來進(jìn)行混合模型的擬合和參數(shù)估計(jì)，對數(shù)據(jù)按區(qū)間進(jìn)行劃分，使用mix函數(shù)，運(yùn)用EM算法計(jì)算參數(shù)的估計(jì)值為p1=0.147，p2=0.853，μ1=152.13，μ2=293.56，σ1=37.523，σ2=88.316。p1、p2的估計(jì)值較為接近變點(diǎn)前后期間的月度權(quán)重2/12與10/12，估計(jì)出混合模型的概率密度分布與核密度曲線對比及概率分布函數(shù)如圖4、圖5所示，混合模型的擬合效果非常良好，較好地解釋了賠款給付的差異性特征，揭示了整體賠付數(shù)據(jù)的分布規(guī)律及變點(diǎn)前后損失分布的異質(zhì)性。

圖4 混合高斯模型概率密度圖

圖5 混合高斯模型概率分布圖

一年之中10月后財(cái)險(xiǎn)公司賠款給付額的增加，從投保人來看，年末是交通事故的高發(fā)期，冬季車輛安全性能降低，私家車使用頻率在歲末顯著上升，除了對道路造成擁擠外，事故發(fā)生的概率也會(huì)提高，導(dǎo)致了賠案的集中賠付。從保險(xiǎn)公司角度來看，年末賠付的增加一方面帶來了經(jīng)營壓力，不利于企業(yè)的正常運(yùn)行，同時(shí)從內(nèi)部角度分析，賠付的增加可能是財(cái)險(xiǎn)公司人為調(diào)控的結(jié)果，通過對賠案賠款給付時(shí)間的操作可以控制一年內(nèi)的經(jīng)營情況，使得一年中的大部分月度呈現(xiàn)出良好的運(yùn)營狀態(tài)，較低的經(jīng)營賠付率有利于改善渠道部門的考核指標(biāo)。公司決策者應(yīng)制定合理的內(nèi)控制度來優(yōu)化賠付系統(tǒng)，確保及時(shí)對保險(xiǎn)人的賠案進(jìn)行處理。從外部角度分析，將已報(bào)案已決賠款集中到年末給付可以增加保險(xiǎn)公司支出的費(fèi)用和營業(yè)成本，降低利潤，起到合理避稅的作用。監(jiān)管機(jī)構(gòu)對此類現(xiàn)象應(yīng)進(jìn)行嚴(yán)格監(jiān)控，確保財(cái)險(xiǎn)市場良好的競爭環(huán)境。財(cái)險(xiǎn)公司管理者在年末應(yīng)制定合理措施分散風(fēng)險(xiǎn)，加強(qiáng)核賠程序，客觀真實(shí)地反映經(jīng)營狀況，精算人員應(yīng)適當(dāng)增加未決賠款準(zhǔn)備金份額以確保集中賠付，對賠付率進(jìn)行更合理科學(xué)化的計(jì)算。

四、結(jié)論

本文構(gòu)建了一種變點(diǎn)統(tǒng)計(jì)的研究框架，運(yùn)用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究方法，從變點(diǎn)識(shí)別、檢驗(yàn)、估計(jì)三方面展開討論，通過對近7年來我國財(cái)險(xiǎn)賠付月度數(shù)據(jù)的擬合，得到如下發(fā)現(xiàn)：一年中的11月為賠款給付的突變點(diǎn)；突變前后服從不同參數(shù)的正態(tài)分布，整體賠款給付為雙峰特征的混合高斯分布；由于結(jié)構(gòu)性突變點(diǎn)的存在，數(shù)據(jù)分布通常呈現(xiàn)多峰特征，由單分布變?yōu)榛旌戏植?，通過信息準(zhǔn)則可以對混合分布模型進(jìn)行選擇，所有數(shù)值結(jié)論都可以使用R軟件相應(yīng)的程序包計(jì)算得到。本文所用變點(diǎn)分析方法也可應(yīng)用于其它問題，由單一變點(diǎn)拓展到多變點(diǎn)，由低維數(shù)據(jù)延伸到高維數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)其它關(guān)鍵性的金融風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)，在數(shù)據(jù)分布的選擇上，可以根據(jù)數(shù)據(jù)自身結(jié)構(gòu)推廣到更一般的模型。