圓錐曲線中遇到與斜率和或積有關(guān)的問(wèn)題研究

梁英凡

摘要：主要研究圓錐曲線中因直線運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生和斜率有關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題，涉及到斜率和或積有關(guān)的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)該問(wèn)題的研究，能對(duì)此類題有明確的解題方法。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；斜率；定點(diǎn)；一元二次方程

·直線l交橢圓C：x2/a2+y2/b2=1.（a>b>0）于AB兩點(diǎn).A（x1，y1）B（x2，y2）.橢圓C上任意一點(diǎn)P（x0，y0），連接PA.PB，若kpa+kpb=k（k≠0）則直線l過(guò)定點(diǎn).那么這個(gè)定點(diǎn)（x，y）該怎么求呢？

設(shè)直線l的方程為α（x-x0）+β（y-y0）=1 ①

橢圓C：（x-x0+x0）2/a2+（y-y0+y0）2/b2=1

點(diǎn)P（x0，y0）滿足x02/a2+y02/b2=1

將其代人C的方程，有

（x-x0）2+2x0（x-x0）/a2+（y-y0）2+2y0（y-y0）/b2=0

將直線方程中1代換再帶入，有

（x-x0）2+2x0（x-x0）[α（x-x0）+β（y-y0）]/a2+[（y-y0）2+2y0（y-y0）][α（x-x0）+β（y-y0）]/b2=0

將上式整理成關(guān)于（y-y0）的一元二次方程，有

（1+2yoβ/b2）（y-y0）2+[2x0β/a2+2yoα/b2]（x-x0）（y-y0）+（1+2xoα/a2）（x-x0）2=0（*）

欲得到有關(guān)斜率的表達(dá)式，將上式同時(shí)除以（x-x0）2

再將.A（x1，y1）B（x2，y2）帶入，由kpa+kpb=k，得出結(jié)論即可

經(jīng)過(guò)一番復(fù)雜的運(yùn)算，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)實(shí)際操作起來(lái)比較簡(jiǎn)潔的思路。有關(guān)于此，我們可應(yīng)用到一些題目當(dāng)中.

例題：（2017·全國(guó)I·21（2）橢圓C：x2/4+y2=1.直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P2（0，1）且與橢圓C相交于A.B兩點(diǎn).若直線P2A于直線P2B斜率和為-1，證明：l過(guò)定點(diǎn)

我們用上述思路做一下：設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2）.

直線l的方程αx+β（y-1）=1

橢圓C：x2/42+（y-1+1）2=1

展開(kāi)再將1代換，有

x2/4+（y-1）2+2（y-1）[αx+β（y-1）]=0

將上式整理成關(guān)于（y-1）的一元二次方程，有

（1+2β）（y-1）2+2αx（y-1）+ x2/4=0

齊次化，上式除以x2，得

（1+2β）（y-1/x）2+2αx（y-1/x）+M=0

（其中M=1/4）[斜率和沒(méi)必要算出來(lái)]

kP2A、kP2B為上述方程的兩根

由韋達(dá)定理及已知條件，知

kP2A+kP2B=-2α/1+2β=-1

即 α=（1+2β）/2

帶入直線l的方程，有

（1+2β）x/2+β（y-1）=1

整理成關(guān)于β的方程，得

（x+y-1）β+x/2=1

令x=2，x+y-1=0

得x=2，y=﹣1

故直線過(guò)定點(diǎn)（2，﹣1）

我們還可以將上述拓寬一下，將斜率和改為斜率積，如下

·直線l交橢圓C：x2/a2+y2/b2=1.（a>b>0）于AB兩點(diǎn).A（x1，y1）B（x2，y2）.橢圓C上任意一點(diǎn)P（x0，y0），連接PA.PB，若kpa·kpb=k（k≠0）則直線l過(guò)定點(diǎn).那么此時(shí)定點(diǎn)（x，y）該怎么求呢？

其實(shí)思路與求斜率和的本質(zhì)相同.（*）式在此同樣適用，只不過(guò)將后面代為

kpa·kpb=k

再應(yīng)用韋達(dá)定理，聯(lián)立求出即可，在此不再證明

經(jīng)過(guò)上述一番探討，我們對(duì)橢圓中斜率的加和或乘積題有了更新的方法、更深的了解，做題時(shí)我們可先在心中有一個(gè)“預(yù)判”，明確了大致方向，認(rèn)真書(shū)寫(xiě)，仔細(xì)計(jì)算，此類題應(yīng)該不成是大礙。