數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的實(shí)踐與思考*
——以“解一元二次方程（配方法）”教學(xué)為例

☉北京匯文中學(xué)段瑩

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院李娜

一、研究背景

1.理論依據(jù)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)具備的基本素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，數(shù)學(xué)史是滲透數(shù)學(xué)文化的重要途徑［1］，因此我們要從文化的角度去理解數(shù)學(xué).在數(shù)學(xué)教育中運(yùn)用數(shù)學(xué)史，可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主動(dòng)建構(gòu)［2］.研究表明，融入數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)教學(xué)可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)科學(xué)的數(shù)學(xué)思維方法，提高美學(xué)修養(yǎng)，拓寬數(shù)學(xué)眼界，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，激勵(lì)學(xué)生等［3］.因此，作為一線教師，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，有必要參考相關(guān)數(shù)學(xué)史材料，對(duì)數(shù)學(xué)史融入教學(xué)進(jìn)行初步嘗試，以期對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)工作的有效開(kāi)展有所啟示.

2.學(xué)生情況分析

本文第一作者任教的匯文中學(xué)是北京市重點(diǎn)中學(xué)，所教的兩個(gè)班的學(xué)生學(xué)習(xí)程度較好.在進(jìn)行本節(jié)課的教學(xué)之前，已經(jīng)嘗試過(guò)將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中.同時(shí)，在課前準(zhǔn)備的過(guò)程中，發(fā)放了一個(gè)關(guān)于學(xué)生對(duì)教師利用數(shù)學(xué)史進(jìn)行教學(xué)的意愿及效果的問(wèn)卷.問(wèn)卷調(diào)查顯示：91%的學(xué)生表示愿意教師在數(shù)學(xué)課堂上介紹相關(guān)數(shù)學(xué)文化的知識(shí)，由此可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)課堂中融入數(shù)學(xué)史得到大多數(shù)學(xué)生認(rèn)可.本文以“解一元二次方程——配方法”為例，說(shuō)明有效融入數(shù)學(xué)史的課堂教學(xué).

二、課例主題的選擇和教學(xué)目標(biāo)的確定

選擇九年級(jí)上冊(cè)“解一元二次方程——配方法”這一教學(xué)內(nèi)容，先考察相關(guān)歷史，選擇適合本節(jié)課的數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的運(yùn)用方式，接著分析學(xué)生的實(shí)際需要，最終設(shè)立本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).

1.歷史材料的整合

18世紀(jì)，古巴比倫泥板書(shū)上出現(xiàn)了歷史上第一批一元二次方程，其中一個(gè)問(wèn)題為：“一塊矩形田地面積為55，長(zhǎng)邊比短邊多6，問(wèn)短邊有多長(zhǎng).”

古巴比倫人的解法如圖1所示：將一個(gè)長(zhǎng)比寬多6的長(zhǎng)方形按圖1（1）中的實(shí)線折疊，得到一個(gè)正方形，和一個(gè)寬與正方形的邊長(zhǎng)相等、長(zhǎng)為6的矩形；再將矩形沿圖1（2）中的虛線剪開(kāi)，將剪下的圖形置于正方形的另一邊；最后補(bǔ)一個(gè)面積為9的小正方形，便得到一個(gè)大正方形，其面積為55+9=64，邊長(zhǎng)為8，即求得短邊長(zhǎng)為8-3=5.

經(jīng)分析，此數(shù)學(xué)史材料滿(mǎn)足意大利學(xué)者Furinghetti提出的課堂需求，即數(shù)學(xué)史材料符合趣味性、科學(xué)性、有效性、可學(xué)性和新穎性.此處對(duì)有效性和可學(xué)性做出說(shuō)明：有效性在于此問(wèn)題的解決辦法利用了數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生以形助數(shù)的思想意識(shí)，開(kāi)拓學(xué)生的思維視野；另外，此解法賦予“配方法”解某類(lèi)一元二次方程的幾何意義，能幫助學(xué)生從不同角度理解配方法，從而達(dá)到讓學(xué)生感到“直觀、好記”的作用.

圖1

2.將史料用于教學(xué)的運(yùn)用方式選擇

對(duì)于史料的融入，我們選擇的方法是“重構(gòu)式”［4］：首先追溯配方法思想的歷史起源，即通過(guò)幾何圖形的割補(bǔ)，構(gòu)造正方形，利用面積求邊長(zhǎng)來(lái)解決部分一元二次方程的求解問(wèn)題.在介紹此歷史方法后，將幾何問(wèn)題與代數(shù)解法構(gòu)建聯(lián)系，自然地呈現(xiàn)用“配方法”解一元二次方程的過(guò)程.其目的在于通過(guò)追溯一種方法的歷史起源，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，通過(guò)呈現(xiàn)知識(shí)的自然發(fā)生過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)配方法的理解，提高數(shù)學(xué)思維能力.

3.學(xué)生的實(shí)際需要

配方法是重要的解一元二次方程的方法，通過(guò)預(yù)研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在“配方”技能上并不存在太大困難，通過(guò)讓學(xué)生解決四個(gè)有關(guān)配方法的問(wèn)題發(fā)現(xiàn)，出錯(cuò)的學(xué)生分別只占6.7%、11.1%、13.3%和18.5%.在此情況下，在完成“用直接開(kāi)平方法解一元二次方程”的教學(xué)后，直接讓學(xué)生嘗試解方程：x2+6x+4=0，有近一半的學(xué)生能自覺(jué)利用轉(zhuǎn)化思想將方程“配方”，進(jìn)而利用直接開(kāi)平方法求解.因此，若本節(jié)課僅僅把目標(biāo)定在用配方法解方程和化歸思想上，便過(guò)多強(qiáng)調(diào)了方法的總結(jié)，將不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，所以考慮數(shù)學(xué)史的滲透.

4.教學(xué)目標(biāo)

綜上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：能用配方法解一元二次方程；經(jīng)歷從用幾何方法解一元二次方程到用代數(shù)方法解一元二次方程的過(guò)渡，體會(huì)以形助數(shù)、數(shù)形結(jié)合的思想方法；體驗(yàn)從不同角度解決問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)；感受數(shù)學(xué)的悠久歷史，感悟數(shù)學(xué)文化，通過(guò)追溯配方法的歷史起源激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

5.教學(xué)設(shè)計(jì)及實(shí)施與設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明

（1）引入.

①教學(xué)設(shè)計(jì)及實(shí)施.

通過(guò)PPT展示古巴比倫的泥板書(shū)，介紹其出現(xiàn)時(shí)間和用途等.接下來(lái)提問(wèn)：“泥板書(shū)上出現(xiàn)了歷史上第一批一元二次方程，其中一個(gè)問(wèn)題如下：一塊矩形田地面積為55，長(zhǎng)邊比短邊多6，問(wèn)短邊有多長(zhǎng).”

學(xué)生想到用方程解決此問(wèn)題，設(shè)短邊長(zhǎng)為x，得到方程x（x+6）=55，即x2+6x=55.教師指出此問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了一元二次方程的求解問(wèn)題，接下來(lái)引導(dǎo)學(xué)生利用古巴比倫人的幾何方法求解.

將具體解法的操作過(guò)程展示在PPT上，注意幾個(gè)方面：引導(dǎo)學(xué)生思考什么圖形由面積可求邊長(zhǎng)，學(xué)生給出正方形這個(gè)答案，接著追問(wèn)能否把這個(gè)矩形轉(zhuǎn)化成正方形，從而引導(dǎo)學(xué)生思考，也是對(duì)接下來(lái)的操作進(jìn)行提示；在每一步操作中，提問(wèn)學(xué)生面積是否變化、如何變化；在幻燈片展示結(jié)束后讓學(xué)生動(dòng)手操作，并明確手中圖形的面積及各邊的長(zhǎng)度.

②設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明.

這一設(shè)計(jì)的意義在于讓學(xué)生體會(huì)到最原始的數(shù)學(xué)發(fā)展，不僅能開(kāi)闊學(xué)生的眼界，使其感悟數(shù)學(xué)文化，還能讓學(xué)生在追溯歷史的過(guò)程中自覺(jué)思考，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和思維能力.此外，通過(guò)以形助數(shù)，給抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題以形象化的原形，從而給人們以形象思維的啟示，產(chǎn)生更深刻的印象［5］.

（2）配方法解一元二次方程的探究.

①教學(xué)設(shè)計(jì)及實(shí)施.

提問(wèn)：你能把剛才每一步操作的幾何語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成代數(shù)語(yǔ)言嗎？

接著板書(shū)完成圖2，學(xué)生可以較為順利地得到與之對(duì)應(yīng)的方程.

圖2

提問(wèn)：“從代數(shù)角度看，這是在做什么？”學(xué)生的回答是在解一元二次方程，追問(wèn)：“此解法有什么問(wèn)題嗎？”學(xué)生可順利答出此解法“丟解”了.對(duì)于方程（x+3）2=64，根據(jù)平方根的意義，得到的是x+3=8或x+3=-8.教師完善板書(shū)并做出解釋?zhuān)孩俟虐捅葌惸喟鍟?shū)上的問(wèn)題是以面積問(wèn)題為背景出現(xiàn)的，不需考慮負(fù)根；②當(dāng)時(shí)人們根本不承認(rèn)負(fù)數(shù)的存在.緊接著，讓學(xué)生把“方程兩邊同時(shí)加9，從而配成完全平方式”和相應(yīng)的幾何操作聯(lián)系起來(lái)，學(xué)生的發(fā)言非常精彩.最后介紹什么是用配方法解一元二次方程，并給出兩道例題讓學(xué)生嘗試并初步體會(huì)此方法：x2+6x=-4，x2-4x=60.

在初步體會(huì)之后，引導(dǎo)學(xué)生思考如下三個(gè)問(wèn)題：如何用配方法解一元二次方程x2+px+q=0？一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)對(duì)配方的過(guò)程和結(jié)果有影響嗎；用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)是1的一元二次方程的具體步驟是什么？

②設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明.

歷史現(xiàn)象為我們從多角度理解用配方法解一元二次方程提供了豐富的素材，然而，歷史現(xiàn)象和教學(xué)現(xiàn)象卻不同，其差異主要體現(xiàn)在學(xué)生缺乏相關(guān)的歷史背景知識(shí)，而他們擁有了前人未知的一些知識(shí).因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師需要遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，把歷史現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為教學(xué)現(xiàn)象，采用自然的方式呈現(xiàn)所教的知識(shí).

具體體現(xiàn)在，考慮到學(xué)生利用幾何圖形的割補(bǔ)來(lái)解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)較為缺乏，本課并沒(méi)有要求學(xué)生經(jīng)歷自主探索，得到用幾何法解一元二次方程，而是主要以教師講授為主.另一方面，學(xué)生對(duì)于運(yùn)用代數(shù)符號(hào)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算有較好的基礎(chǔ)，因此教學(xué)設(shè)計(jì)注重此解法的歸納和落實(shí).對(duì)于強(qiáng)調(diào)將代數(shù)解法和幾何操作聯(lián)系起來(lái)，是想賦予用配方法解一元二次方程以幾何意義，從而能從不同角度理解用配方法解方程，讓配方法變得“直觀、好記、易理解”.

（3）鞏固新知.

①教學(xué)設(shè)計(jì)及實(shí)施.

例題：用配方法解一元二次方程：

②設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明.

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是為教學(xué)服務(wù)，而不是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)史或數(shù)學(xué)史上的一些解法，不要喧賓奪主、本末倒置.落實(shí)到“配方法”這一基本方法，是本課的重點(diǎn)，而不是用幾何法解一元二次方程，所以一定注意安排適當(dāng)?shù)木毩?xí)來(lái)強(qiáng)化此方法.

（4）歸納小結(jié).

教師與學(xué)生共同進(jìn)行小結(jié)，尤其注重對(duì)數(shù)學(xué)史滲透這一部分的強(qiáng)化.

三、總結(jié)與反饋

課堂觀察、學(xué)生總結(jié)、課后調(diào)查問(wèn)卷和課后作業(yè)表明，本節(jié)課有如下獨(dú)特優(yōu)勢(shì)：

1.站在更高層次理解數(shù)學(xué)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中突出數(shù)學(xué)思想方法很有必要，而數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)思想方法的重要載體，數(shù)學(xué)教科書(shū)僅僅記述了研究的最終結(jié)果，如本課例的教材中僅闡明了如何用配方法解方程，教師有必要把潛在于教材中的思想內(nèi)涵提煉挖掘出來(lái)，即將長(zhǎng)方形改造為正方形后，已知面積可求邊長(zhǎng)，并傳授給學(xué)生，使學(xué)生從更高的數(shù)學(xué)思想層次俯瞰數(shù)學(xué)、理解其實(shí)質(zhì)［6］.

2.提高思維能力

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生追溯用配方法解一元二次方程的歷史并將其與現(xiàn)代的代數(shù)解法聯(lián)系起來(lái)，促進(jìn)學(xué)生自覺(jué)思考，并體會(huì)其中的數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

3.培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生從不同角度認(rèn)識(shí)配方法，深刻挖掘其內(nèi)涵，從更深層次理解配方法，從而提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新能力.

4.學(xué)生的積極反饋

（1）感悟數(shù)學(xué)文化，開(kāi)闊視野.

學(xué)生在調(diào)查問(wèn)卷中寫(xiě)到：“本節(jié)課其實(shí)還是以數(shù)學(xué)知識(shí)為主，此外了解一些歷史知識(shí)，輔助學(xué)習(xí)”“很高興學(xué)到了古人的智慧”等.

（2）課堂氛圍輕松、有趣.

學(xué)生談到：“很有收獲，氛圍輕松愉快”“很有趣，并不乏味、枯燥，還學(xué)到了知識(shí)”“知道了古巴比倫人是怎么解決方程問(wèn)題的，對(duì)后面的學(xué)習(xí)挺感興趣的”“學(xué)到了許多知識(shí)，而且第一次認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是件非?？鞓?lè)與有趣的事情，這對(duì)我?guī)椭艽蟆钡?

（3）體驗(yàn)到用幾何法解方程可加深對(duì)用配方法解方程的理解.

有學(xué)生提到：“這節(jié)課通過(guò)多角度來(lái)講解，是很全面、易懂的”“用古代人的方法，使我在大腦中更深刻地記住了解一元二次方程的過(guò)程，我非常希望老師能多用這種辦法幫助我們記住較難理解的知識(shí)點(diǎn)”等.

四、小結(jié)

數(shù)學(xué)史料作為教師教學(xué)中的工具，可以用來(lái)幫助學(xué)生理解相關(guān)知識(shí).但是需要注意，不能僅僅限于有趣史料的介紹，更要充分挖掘歷史文化的底蘊(yùn)［7］，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)科的人文價(jià)值，使學(xué)生能在學(xué)習(xí)過(guò)程中不但掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，還能了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史進(jìn)程［8］，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.