一則數(shù)學(xué)趣題中的思維

☉山東省萊蕪市雪野旅游區(qū)雪野鎮(zhèn)中心中學(xué)張秀玲

圖1表示一個(gè)4×4的正方形網(wǎng)格，你能數(shù)出圖1中一共有多少個(gè)正方形嗎？

圖1

這個(gè)問題看似不難，如果不假思索，貿(mào)然去數(shù)，極易出錯(cuò).要么多數(shù)，要么漏數(shù).那么，怎樣才能既不重復(fù)也不遺漏地?cái)?shù)出圖1中所有正方形的個(gè)數(shù)呢？一個(gè)好的辦法是分類.可以從正方形的邊長入手對(duì)正方形進(jìn)行分類，將正方形分成四類：（1）邊長為1的正方形（16）；（2）邊長為2的正方形（3+3+3=9）；（3）邊長為3的正方形（2+2=4）；（4）邊長為4的正方形（1）.所以圖1中所有正方形的個(gè)數(shù)為16+9+4+1=30.

在解決上面趣題的過程中，我們從正方形的邊長入手（當(dāng)然也可從正方形的面積入手），對(duì)所有的正方形進(jìn)行分類，最后將各種情況下得到的正方形個(gè)數(shù)相加，圓滿求得正方形的總數(shù).這里滲透了一種重要的數(shù)學(xué)思維方式：分類.這種將某種對(duì)象的全體，按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干部分或多種情況，稱為分類.日常生活中分類的例子是很多的，比如，班上的學(xué)生如按性別劃分，可以分為男生和女生兩大類；按出生年月劃分，又可以分為一月份生的、二月份生的、…、十二月份生的這十二類.對(duì)于一個(gè)較為復(fù)雜的問題，通過分類，將其分為若干較為簡單的問題，然后對(duì)每個(gè)較為簡單的問題各個(gè)擊破，從而使整個(gè)問題最終獲解.下面以例說明分類思想在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.

一、當(dāng)代數(shù)式中的字母具有不確定性時(shí)，需要對(duì)字母進(jìn)行分類討論

一般情況下，代數(shù)式中的字母既可表示正數(shù)，也可表示負(fù)數(shù)，還可表示0；既可表示有理數(shù)，也可表示無理數(shù).很多含有字母的問題，大都需要對(duì)字母進(jìn)行討論.至于該按什么情況分類，應(yīng)根據(jù)問題的需要而定.如在求|2a|=____時(shí)，就需要對(duì)字母a按照正數(shù)、負(fù)數(shù)和零進(jìn)行分類討論.再如化簡+|a-3|時(shí)，需要分a≤-2、-2＜a＜3和a≥3三種情況進(jìn)行分類討論.

例1已知|a|=3，|b|=2，且a+b＞0，求a-b的值.

分析：由|a|=3，|b|=2，得a=±3，b=±2.由于字母a、b的值具有不確定性，因此需要分類討論.

解：由|a|=3，|b|=2，得a=±3，b=±2.

當(dāng)字母a、b同號(hào)時(shí)：

（1）當(dāng)a=3，b=2時(shí)，a+b=3+2=5，符合題意，此時(shí)a-b=3-2=1；

（2）當(dāng)a=-3，b=-2時(shí)，a+b=（-3）+（-2）=-5，不合題意.

當(dāng)字母a、b異號(hào)時(shí)：

（1）當(dāng)a=3，b=-2時(shí)，a+b=3+（-2）=1，符合題意，此時(shí)a-b=3-（-2）=5；

（2）當(dāng)a=-3，b=2時(shí)，a+b=（-3）+2=-1，不合題意.

綜上所述，a-b的值為5或1.

評(píng)注：在進(jìn)行分類討論時(shí)，應(yīng)按照一定的標(biāo)準(zhǔn)將所有的情況全部羅列出來，并且注意根據(jù)題目的條件排除不符合題意的情況，如本例中應(yīng)排除不符合“a+b＞0”這個(gè)條件下得出的a-b之值.

二、當(dāng)幾何圖形的形狀（線或點(diǎn)的位置等）具有不確定性時(shí)，需要進(jìn)行分類討論

在平面幾何教學(xué)中，經(jīng)常要對(duì)幾何圖形進(jìn)行分類.例如，對(duì)三角形進(jìn)行分類，既可按邊分，也可按角分.

按邊的相等關(guān)系分類如下：

再如推導(dǎo)圓周角定理時(shí)，根據(jù)圓心與圓周角的位置關(guān)系，可將圖形分為三類：（1）圓心在圓周角內(nèi)；（2）圓心在圓周角上；（3）圓心在圓周角外.當(dāng)幾何圖形的形狀（線或點(diǎn)的位置等）具有不確定性時(shí)，需要對(duì)幾何圖形的形狀（線或點(diǎn)的位置等）進(jìn)行分類，這樣得出的結(jié)論才全面，得到的定理才無懈可擊.同樣在解決與幾何圖形有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，也要注意分類討論，以免出現(xiàn)由于考慮問題不全面而得到片面甚至錯(cuò)誤的結(jié)論.

例2已知坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)A（2，-1），O為原點(diǎn)，P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果以點(diǎn)P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，那么符合條件的動(dòng)點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）.

A.2B.3C.4D.5

圖2

解析：OA可能為底邊，也可能是腰，因此需要分情況討論.

（1）當(dāng)OA為底邊時(shí)，作OA的垂直平分線l交x軸于點(diǎn)P1，則△OP1A是以點(diǎn)P1為頂點(diǎn)的等腰三角形.

（2）當(dāng)OA為腰時(shí)：以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑畫圓，交x軸于點(diǎn)P2、P3，則△P2OA和P3、OA是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的等腰三角形，以點(diǎn)A為圓心，以O(shè)A為半徑畫圓，交x軸于點(diǎn)O和點(diǎn)P4，則△P4OA是以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的等腰三角形.

所以符合條件的動(dòng)點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4，答案為C.

點(diǎn)評(píng)：涉及等腰三角形的問題經(jīng)常需要分類討論，討論時(shí)既可按照底邊和腰進(jìn)行討論，也可按照底角和頂角進(jìn)行討論，一切要視實(shí)際情況而定.另外，從本例不難發(fā)現(xiàn)已知一條線段求符合條件的等腰三角形的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)的方法：作已知線段的垂直平分線，或以已知線段的一個(gè)端點(diǎn)為圓心、已知線段長為半徑畫圓，垂直平分線或圓與相關(guān)直線的交點(diǎn)即為符合條件的等腰三角形的頂點(diǎn).

三、當(dāng)實(shí)際問題中的函數(shù)解析式具有不確定性時(shí)，需要進(jìn)行分類討論

在解決有關(guān)函數(shù)的實(shí)際問題時(shí)，自變量的取值范圍有時(shí)要分成幾段，在不同的范圍內(nèi)函數(shù)表達(dá)式往往不同.如在不同的時(shí)間段內(nèi)，或者某一動(dòng)點(diǎn)在不同的位置時(shí)等，得到的函數(shù)表達(dá)式就不同.這時(shí)我們?cè)谇蠛瘮?shù)表達(dá)式時(shí)，就要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行分類討論.

例3襄陽市精準(zhǔn)扶貧工作已進(jìn)入攻堅(jiān)階段.貧困戶張大爺在某單位的幫扶下，把一片坡地改造后種植了優(yōu)質(zhì)水果藍(lán)莓，今年正式上市銷售.在銷售的30天中，第一天賣出20千克，為了擴(kuò)大銷量，采取了降價(jià)措施，以后每天比前一天多賣出4千克.第x天的售價(jià)為y元/千克，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為且第12天的售價(jià)為32元/千克，第26天的售價(jià)為25元/千克.已知種植銷售藍(lán)莓的成木是18元/千克，每天的利潤是W（利潤=銷售收入-成本）.

（1）m=_______，n=_______；

（2）銷售藍(lán)莓第幾天時(shí)，當(dāng)天的利潤最大？最大利潤是多少？

（3）在銷售藍(lán)莓的30天中，當(dāng)天利潤不低于870元的共有多少天？

分析：問題（1）比較簡單，可根據(jù)第12天的售價(jià)和第26天的售價(jià)快速求解.對(duì)于問題（2），首先要求出利潤的函數(shù)表達(dá)式.在求利潤的函數(shù)表達(dá)式時(shí)，由于售價(jià)的函數(shù)表達(dá)式分1≤x＜20和20≤x≤30兩種情況，因此利潤的函數(shù)表達(dá)式也應(yīng)分兩種情況.解答問題（3）時(shí)，仍然要根據(jù)兩種不同的函數(shù)表達(dá)式借助二次函數(shù)的圖像求解.

解：（1）由12m-76m=32，得m=-0.5.顯然n=25.

（2）第x天的銷售量為20+4（x-1）=4x+16.

當(dāng)1≤x＜20時(shí)，W=（4x+16）（-0.5x+38-18）=-2x2+72x+320=-2（x-18）2+968.

則當(dāng)x=18時(shí)，W最大值=968.

當(dāng)20≤x≤30時(shí)，W=（4x+16）（25-18）=28x+112.

由28＞0，得W隨x的增大而增大.

則當(dāng)x=30時(shí)，W最大值=952.

968＞952，則W最大值=968.

令-2x2+72x+320=870，解得x1=25，x2=11.

由拋物線W=-2x2+72x+320的開口向下，得當(dāng)11≤x＜25時(shí)，W≥870.則11≤x＜20.

又x為正整數(shù)，則9天利潤不低于870元.

又x為正整數(shù)，則有3天利潤不低于870元.

綜上所述，當(dāng)天利潤不低于870元的共有12天.

點(diǎn)評(píng)：解答本題的重點(diǎn)是求利潤W的函數(shù)表達(dá)式，難點(diǎn)是求當(dāng)天利潤不低于870元的天數(shù).無論是求利潤W的函數(shù)表達(dá)式，還是求當(dāng)天利潤不低于870元的天數(shù)，都需要分兩種情況討論.另外，需要說明的是，在求W的最大值時(shí)，需要將兩種情況下求出的最大值進(jìn)行比較，將其中較大的值作為W的最大值；在求當(dāng)天利潤不低于870元的天數(shù)時(shí)，需要將兩種情況下求出的天數(shù)相加，結(jié)果才是當(dāng)天利潤不低于870元的天數(shù).

以上我們僅從三個(gè)方面談?wù)摿朔诸愑懻撍枷朐诮獯鸪踔袛?shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.事實(shí)上，分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，可以說分類討論思想貫穿初中數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程.在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要多加留意，多總結(jié)分類討論思想的應(yīng)用，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維品質(zhì)大有裨益.W