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    化歸思想在初中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用

    2018-12-13 08:46:24江蘇省南通市通州區(qū)平潮實(shí)驗(yàn)初中劉惠云
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年24期
    關(guān)鍵詞:圓周角圓心習(xí)題

    ☉江蘇省南通市通州區(qū)平潮實(shí)驗(yàn)初中劉惠云

    化歸是數(shù)學(xué)的重要思想,其本質(zhì)就是一種轉(zhuǎn)化思維,將陌生場(chǎng)景轉(zhuǎn)化為人們熟悉的場(chǎng)景,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)由難到易、刪繁就簡的效果.在初中數(shù)學(xué)中,化歸思想最常見的用法主要體現(xiàn)在多元方程轉(zhuǎn)化為一元方程、高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程、代數(shù)問題和幾何問題的相互轉(zhuǎn)化、實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化等.由此可見,化歸思想在初中階段有著非常廣泛的應(yīng)用.為此,教師在初中數(shù)學(xué)課堂上要注重化歸思想的教學(xué),并且讓學(xué)生能夠運(yùn)用化歸思想處理問題.

    一、結(jié)合學(xué)科特點(diǎn)及學(xué)情特點(diǎn)實(shí)施化歸思想教學(xué)

    新修訂的課程標(biāo)準(zhǔn)將學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展納入了培養(yǎng)體系,雖然核心素養(yǎng)并沒有對(duì)應(yīng)某項(xiàng)具體的技能和方法,但是其中數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等方面的能力都和化歸思想有關(guān)聯(lián),因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,有針對(duì)性地實(shí)施化歸思想的教學(xué)是課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求.

    很多教師在教學(xué)中有這樣的認(rèn)識(shí):化歸思想是一種隱性知識(shí),這些內(nèi)容不能通過教師的口頭說教來組織,應(yīng)該讓學(xué)生在自主探索中實(shí)現(xiàn)感悟和積累經(jīng)驗(yàn),這其實(shí)不需要教師專門的指導(dǎo),只要多給學(xué)生安排一些習(xí)題,多做做就有感覺了.筆者認(rèn)為上面的觀點(diǎn)只對(duì)了前一半.的確,作為一種隱性知識(shí),如果僅靠教師的口頭說教,是沒有任何意義的,不但浪費(fèi)時(shí)間,甚至可能導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生一種逆反的心理和情緒.但是教師不能缺席學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方面的成長,畢竟數(shù)學(xué)本身就具有高度的抽象性,而數(shù)學(xué)思想的抽象程度還要更高,根本無法通過圖表進(jìn)行總結(jié),如果讓學(xué)生自己摸索,顯然是沒有意義的.

    相比于小學(xué)生,初中生在抽象思維方面已經(jīng)有一定程度的發(fā)展,這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生探索包括化歸思想在內(nèi)的數(shù)學(xué)思想正是一個(gè)很好的時(shí)機(jī).而且很多問題的分析恰好要借助化歸思想,為此我們以相關(guān)問題為素材,正好可以引導(dǎo)學(xué)生邊探索邊總結(jié),指導(dǎo)學(xué)生有效掌握這一方法的使用條件和操作要點(diǎn).比如,在學(xué)生學(xué)習(xí)七年級(jí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí),他們將接觸負(fù)數(shù)和代數(shù)式等內(nèi)容,他們對(duì)這些都是相當(dāng)陌生的,對(duì)很多學(xué)生來講,這些內(nèi)容的理解和使用是很不習(xí)慣的.為此,教師要引導(dǎo)學(xué)生采用化歸思想,將這些陌生的內(nèi)容和他們已有的認(rèn)知體系聯(lián)系起來,可以通過一根數(shù)軸,將負(fù)數(shù)和正數(shù)放在一起,還可以通過絕對(duì)值的處理將負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù).

    當(dāng)然,化歸思想不是一兩節(jié)課就能解決的,它貫穿在學(xué)生整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中,教師應(yīng)該有一個(gè)長遠(yuǎn)的計(jì)劃,將化歸思想納入整個(gè)初中數(shù)學(xué)的教學(xué)框架,讓學(xué)生在建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的同時(shí)領(lǐng)悟隱含在其中的方法和規(guī)律,進(jìn)而形成自主運(yùn)用化歸思想的意識(shí).

    二、通過典型案例揭示化歸思想的操作過程

    初中數(shù)學(xué)教師普遍存在這樣的困惑,習(xí)題講過不少,但是學(xué)生的能力始終停留在模仿的層面,相關(guān)條件略有變動(dòng),他們就手足無措,更談不上在問題分析過程中區(qū)分在哪些情況下選擇化歸思想.筆者認(rèn)為,學(xué)生出現(xiàn)這樣的問題,往往是因?yàn)榻處熢诮虒W(xué)過程中就題論題,很少通過深度挖掘來幫助學(xué)生進(jìn)行思想方法的總結(jié).因此,筆者認(rèn)為,應(yīng)該在教學(xué)中放慢節(jié)奏,引導(dǎo)學(xué)生感悟思路的探索過程,進(jìn)而讓他們了解化歸思想的方方面面,同時(shí)這能啟發(fā)學(xué)生以典型問題為范本總結(jié)化歸思想的操作特點(diǎn),進(jìn)而在遇到類似問題時(shí),學(xué)生能夠做到從容不迫,成竹在胸.

    在指導(dǎo)學(xué)生探索某些定理時(shí),教師要注意到某些證明過程本身就是一個(gè)最典型的探究素材,教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),要注意發(fā)掘隱含在其中的數(shù)學(xué)思想和方法,如化歸思想.教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞對(duì)應(yīng)的問題情境展開分析,不但可以加深學(xué)生對(duì)原理的理解,而且能提升他們的知識(shí)遷移水平.

    比如,對(duì)于圓周角定理的證明,我們就可以結(jié)合化歸思想的教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì),化歸的常見策略應(yīng)該是推動(dòng)一般問題的特殊化.所以在探索這一原理時(shí),教師可以引導(dǎo)學(xué)生先探索圓心位于圓周角一條邊上的場(chǎng)景,然后提供圓心位于圓周角外部或內(nèi)部的場(chǎng)景,并將其轉(zhuǎn)化為之前的特殊場(chǎng)景,實(shí)現(xiàn)問題的簡化處理.

    問題情境:圖1所示的⊙O中,圓弧BC所對(duì)應(yīng)的圓心角為∠BOC,圓周角為∠BAC,請(qǐng)研究這兩個(gè)角在大小上的關(guān)系.

    情境拓展1:如果圓心與圓周角的位置關(guān)系如圖2所示,圓心位于圓周角的內(nèi)部,請(qǐng)研究這兩個(gè)角在大小上的關(guān)系.

    情境拓展2:如果圓心與圓周角的位置關(guān)系如圖3所示,圓心位于圓周角的外部,請(qǐng)研究這兩個(gè)角在大小上的關(guān)系.

    圖1

    圖2

    圖3

    在最初的問題情境中,學(xué)生可以很快利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系實(shí)現(xiàn)問題的分析和處理,但是情境拓展之后的情形則相對(duì)一般,怎么處理呢?教師要引導(dǎo)學(xué)生比較問題之間的差別,同時(shí)要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生通過建構(gòu)圖2和圖3中的輔助線將其轉(zhuǎn)化為圖1所示的特殊場(chǎng)景,如此則能實(shí)現(xiàn)問題的解決.當(dāng)學(xué)生完成這個(gè)問題后,教師還要有意識(shí)地引導(dǎo)他們展開總結(jié),提煉出化歸思想的操作過程.

    三、讓學(xué)生通過有效的習(xí)題訓(xùn)練獲得提升

    化歸思想的培養(yǎng)不能依賴于習(xí)題的講練來實(shí)現(xiàn),但是沒有習(xí)題訓(xùn)練,顯然是不行的.在實(shí)際教學(xué)過程中,教師要關(guān)注習(xí)題的有效設(shè)計(jì).這些習(xí)題宜精不宜多,須知太多的題量只會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生一種應(yīng)付的心態(tài),而且題量太多,學(xué)生的時(shí)間又是有限的,他們顯然不會(huì)再花時(shí)間進(jìn)行反思和總結(jié).所以,教師要注意選擇具有代表性的習(xí)題,在條件允許的前提下,教師要適當(dāng)通過變式教學(xué)對(duì)問題進(jìn)行補(bǔ)充和延展,這樣可以讓學(xué)生的化歸思想得到更加深入的發(fā)展,他們的思維水平也將因此而獲得提升.

    (1)請(qǐng)確定A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

    (2)求解△AOB的面積.

    在處理問題(1)時(shí),可以將函數(shù)問題化歸為方程組問題.由方程組A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定為A(-2,4)和B(4,-2).

    圖4

    至于第(2)問,由圖像可知直線y=-x+2與y軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,2),因此所以S△AOB=2+4=6.

    上述問題中的交點(diǎn)坐標(biāo)既滿足第一個(gè)函數(shù),又匹配第二個(gè)函數(shù),因此可以將其轉(zhuǎn)化為方程組,這個(gè)題目也提示學(xué)生關(guān)注方程與函數(shù)之間的關(guān)聯(lián),由此為他們提供化歸的思路.

    習(xí)題練習(xí)絕不是數(shù)學(xué)研究的全部,但是能充分地將包括化歸思想在內(nèi)的各種方法和技巧有效體現(xiàn)出來.教學(xué)過程中,教師通過習(xí)題來引導(dǎo)學(xué)生探索并積累化歸處理的經(jīng)驗(yàn),有些時(shí)候,某個(gè)問題的化歸處理思路不止一個(gè),這時(shí)教師可以提示學(xué)生采用多樣化的化歸方法處理,通過一題多解來提升學(xué)生思維的靈活性.當(dāng)然,有時(shí)候?qū)W生采用一種方法進(jìn)行化歸處理時(shí),很可能陷入僵局,這時(shí)教師要注意提醒學(xué)生及時(shí)調(diào)整思路,或安排學(xué)生在合作探究中進(jìn)行更加深入的討論,以便實(shí)現(xiàn)問題的解決.

    綜上所述,作為初中數(shù)學(xué)研究的一種重要思想,化歸思想的培養(yǎng)需要教師足夠的注意,也需要教師在教學(xué)中有策略地予以推進(jìn).

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