提煉基本模型，促進(jìn)能力提升

☉江蘇省如東縣茗海初級(jí)中學(xué)陳興國

以教材中的例題、習(xí)題作背景并進(jìn)行中考試題的命制是最為普遍的，這些由命題專家巧妙構(gòu)思編擬的中考試題往往具有權(quán)威性與導(dǎo)向性，教師在具體教學(xué)中應(yīng)著眼于基本幾何模型的提煉，并因此幫助學(xué)生提升學(xué)習(xí)效率與創(chuàng)造能力.

一、試題呈現(xiàn)

題目：如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是3cm，P、Q分別從B、A出發(fā)沿BC、AD方向運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度分別為1cm/秒、2cm/秒.連接AP，并過點(diǎn)Q作QE⊥AP，垂足為E.

（1）求證：△ABP∽△QEA；

（2）若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則t等于何值時(shí)，△ABP≌△QEA？

（3）設(shè)△QEA的面積為y，如何用運(yùn)動(dòng)時(shí)間t來表示△QEA的面積y呢？（不考慮t的取值范圍）

（提示：（2）、（3）兩問的解答可以不分先后）

圖1

圖2

這道梯度清晰的中考試題能很好地考查學(xué)生對(duì)三角形全等、相似及函數(shù)有關(guān)知識(shí)的掌握情況.事實(shí)上，這是一道根據(jù)課本原題變化而來的新題，原題為：如圖2，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)G是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AG，BF∥DE交AG于F，求證：AF－BF=EF.

將原題中的“BF∥DE交AG于F”去掉就變成了上述中考試題.

二、基本圖形與模型的探索

從上述課本原題與中考試題的觀察中，不難看出其中所蘊(yùn)含的基本圖形與幾何模型：如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，AE、BF交于點(diǎn)O.

圖3

圖4

性質(zhì)1：若AE⊥BF，則AE=BF（或BE=CF）.

性質(zhì)2：若AE=BF（或BE=CF），則AE⊥BF.

性質(zhì)3：若點(diǎn)O是中心對(duì)稱圖形的對(duì)稱中心，且存在AE⊥BF，則該圖形的面積被AE、BF分成了四等份.

如果把線段AE、BF分別平移至GH、EF處（如圖4），結(jié)論EF=GH仍成立.

直角與互余的性質(zhì)得到了很好的利用，由此也不難看出如果由正方形變成矩形會(huì)存在三角形相似與對(duì)應(yīng)線段成比例的結(jié)論.

如圖5，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，且DE⊥CF，則

若把線段DE、CF分別平移至NM、HQ處（如圖6），結(jié)論仍成立.

圖5

圖6

上述圖形中可提煉的模型如下：

模型1：正方形+線段垂直或相等=線段相等或垂直.

模型2：中心對(duì)稱圖形+線段垂直或面積四等分=面積四等分或線段垂直.

模型3：矩形+線段垂直或線段成比例=線段成比例或線段垂直.

三、利用模型解題以促學(xué)生能力提升

1.利用模型1解題

例1已知：如圖7，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，AQ⊥BE于點(diǎn)Q，DP⊥AQ于點(diǎn)P.

（1）求證：AP=BQ；

（2）請(qǐng)?jiān)诓惶砑尤魏屋o助線的情況下直接寫出圖中四對(duì)線段，令各對(duì)中較長(zhǎng)線段和較短線段長(zhǎng)度之差與PQ的長(zhǎng)度相等.

分析：由模型1可得AQ=DP，則可證明圖形全等并得出AP=BQ，根據(jù)全等形可得AQ-BQ=PQ或PD-AP=PQ.

圖7

圖8

例2如圖8，正方形ABCD的面積為3cm2，E為BC邊上一點(diǎn)，∠BAE=30°，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線分別與AB、DC交于M、N兩點(diǎn)，若MN=AE，則AM的長(zhǎng)為_____cm.

分析：由模型2可得MN⊥AE，由勾股定理與∠BAE=30°可求出AE=2，則AF=1，因此AM

2.利用模型2解題

例3【問題探究】

（1）在圖9中作兩條直線并將圓的面積四等分.

（2）如圖10，M為正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，在圖9中作兩條直線，并將正方形ABCD的面積四等分，請(qǐng)說明你的理由.

圖9

圖10

【問題解決】

（3）如圖11，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn).若AB=a，CD=b，且b＞a，BC邊上是否存在一點(diǎn)Q，令PQ所在直線將四邊形ABCD的面積兩等分呢？若有，PQ的長(zhǎng)為多少？若沒有，理由何在？

圖11

分析：（1）由模型2可知，作兩條經(jīng)過圓心且相互垂直的直線即可令問題得解.

（2）聯(lián)想模型2，過點(diǎn)M與正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O作直線OM并和AD、BC相交于點(diǎn)P、Q，過點(diǎn)O作OM的垂線，并與AB、CD相交于E、F，則直線OM將正方形ABCD的面積四等分，如圖10.

（3）如圖11，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，使AE=b，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)F，使DF=a，連接EF.

由BC∥CF，BC=BE=CF=a+b，可證四邊形BCFE為菱形，連接BF交AD于點(diǎn)M，則△MAB≌△MDF，則AM=DM，則點(diǎn)M與P重合，則點(diǎn)P為菱形BCEF的對(duì)角線的交點(diǎn).

在BC上截取BQ=CD=b，則CQ=AB=a.設(shè)P點(diǎn)至菱形BCFE一邊的距離為d，則

所以，當(dāng)BQ=b時(shí)，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成了兩等份.

3.利用模型3解題

例4【探究證明】

（1）班上學(xué)習(xí)小組在討論矩形內(nèi)兩條相互垂直的線段和矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系時(shí)給出了以下問題，請(qǐng)證明.

如圖12，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別與AB、CD交于點(diǎn)E、F，GH分別與AD、BC相交于點(diǎn)G、H.求證

圖12

圖13

【結(jié)論應(yīng)用】

（2）如圖13，在滿足（1）的條件下，有AM⊥BN，點(diǎn)M、N分別在BC、CD邊上的值為______.

圖14

【聯(lián)系拓展】

（3）如圖14，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點(diǎn)M、N分別在BC、AB邊上，則的值為______.

分析：（1）由模型3，過點(diǎn)A作AP∥EF交CD于P，過點(diǎn)B作BQ∥GH交AD于Q，如圖15，易證AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，由相似三角形的性質(zhì)解題.

（3）過點(diǎn)D作平行于AB的直線，與過點(diǎn)A且平行于BC的直線交于點(diǎn)R，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)S，如圖16，可證四邊形ABSR為矩形，由模型3可得

圖15

圖16

設(shè)SC=x，DS=y，則AR=BS=5+x，RD=10－y.

在Rt△CSD中，結(jié)合勾股定理，可得：

在Rt△ARD中，結(jié)合勾股定理，可得：（5+x）2+（10－y）2=100. ②由①和②，可求得x，并得出AR，問題得解.

四、反思

1.研究、開發(fā)教材需加強(qiáng)

很多中考試題都是專家在教材例題、習(xí)題的研習(xí)上精心開發(fā)、構(gòu)思而編寫出的，教師應(yīng)能看到其中思路變化上的類比遷移并進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣固剿?，改編一些例題中的原題并將題中豐富的教學(xué)價(jià)值體現(xiàn)出來，使學(xué)生能夠在此類題的變化與探索中掌握、遷移其中的思路、方法與技能，使教材和中考試題之間的聯(lián)系變得更加緊密.

2.建模教學(xué)需加強(qiáng)

幾何圖形中的每個(gè)基本圖形都可以看作幾何模型，幾何模型所具備的性質(zhì)和研究方法對(duì)很多復(fù)雜的幾何問題都具備重要的作用和意義，教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)基本模型的研究，并培養(yǎng)學(xué)生增強(qiáng)探尋基本模型的能力，使學(xué)生能夠逐步獲得利用模型解題的思維方法與能力，并積累一定的解題經(jīng)驗(yàn).

3.推理能力需強(qiáng)化

對(duì)幾何圖形性質(zhì)的探究在近年中考試題中體現(xiàn)得尤為明顯，學(xué)生在幾何問題上的思維方式與水平在幾何問題的解決中也彰顯無余，因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)有意識(shí)、有目的地變化問題的條件與結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生在圖形的結(jié)構(gòu)重組和更新中對(duì)題目的條件、結(jié)論進(jìn)行大膽嘗試與聯(lián)想，打開思維的大門，并順利建立模型，以發(fā)展猜想與創(chuàng)新能力.W