幾何直觀：為兒童有效表征數(shù)學(xué)知識導(dǎo)航

李加樹

摘要：《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題?！苯柚鷰缀沃庇^可以把復(fù)雜的、數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，培養(yǎng)空間觀念，發(fā)展邏輯推理能力，在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；教學(xué)價(jià)值；認(rèn)知建構(gòu)

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1672-1578（2018）33-0121-03

徐利治教授認(rèn)為，幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。換言之，通過直觀能夠建立起人對自身體驗(yàn)與外物體驗(yàn)的對應(yīng)關(guān)系。蔣文蔚教授則認(rèn)為，幾何直觀是一種思維活動(dòng)，是人腦對客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識別或猜想的心理狀態(tài)。這兩種定義主要是基于數(shù)學(xué)和心理學(xué)角度闡釋的。一般而言，幾何直觀就是指依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象，它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力。學(xué)會用圖形思考、想象問題是研究數(shù)學(xué)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力。教學(xué)中，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果，有助于學(xué)生更好地感知數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，深化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

1.借助幾何直觀，培養(yǎng)空間觀念

《課程標(biāo)準(zhǔn)》中“空間觀念”是指“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語言描述畫出圖形等”。側(cè)重于刻畫學(xué)習(xí)者對于空間的感知和把握程度，其培養(yǎng)貫穿在圖形與幾何學(xué)習(xí)的全過程中，無論是圖形的認(rèn)識，圖形的運(yùn)動(dòng)，圖形與坐標(biāo)等都承載著發(fā)展學(xué)生空間觀念的任務(wù)。重視圖形與幾何教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，發(fā)展學(xué)生的空間想象力。在日常教學(xué)中，我們應(yīng)該幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。幫助學(xué)生逐步形成初步的幾何直觀，感受幾何直觀的作用。

例如，教學(xué)人教版六年級下冊“圓柱的認(rèn)識”，我們既可以通過課件演示，引導(dǎo)學(xué)生感知圓柱體的展開后的形狀，也可以借助操作演示（剪一剪，包一包，畫一畫）幫助學(xué)生構(gòu)建空間觀念，使空間觀念的培養(yǎng)落到實(shí)處、落到細(xì)處。首先將罐頭盒的商標(biāo)紙沿接縫剪開，再展開（如下圖），

使學(xué)生認(rèn)識到商標(biāo)紙展開后的形狀是長方形，這個(gè)長方形的長等于圓柱的底面周長，寬等于圓柱的高。再把這個(gè)長方形重新包在圓柱上（如圖2），請學(xué)生指出圓柱體的底面周長和高。從把圓柱側(cè)面展開到再次包在圓柱上，可以幫助學(xué)生找到長方形的長和寬與圓柱底面周長和高的對應(yīng)關(guān)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)長方體的側(cè)面積、表面積打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

接著，再讓學(xué)生在方格紙上畫出圓柱體展開圖，由實(shí)物直觀抽象成圖形直觀，這個(gè)過程留給學(xué)生更多的空間去想象和思考，為學(xué)生提供了自主發(fā)現(xiàn)圓柱表面積計(jì)算方法的機(jī)會，而且有利于發(fā)展學(xué)生的操作能力、空間觀念和空間想象力。

因此，在學(xué)習(xí)幾何直觀，就要采用學(xué)生喜愛的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、擺一擺、量一量、畫一畫”等具體、實(shí)際的活動(dòng)方式，引導(dǎo)學(xué)生通過親自觸摸、觀察、測量、制作和實(shí)驗(yàn)，把視覺、聽覺、觸覺、動(dòng)覺等協(xié)同起來，強(qiáng)有力地促進(jìn)心理活動(dòng)的內(nèi)化，從而使學(xué)生掌握圖形特征，形成空間觀念。

2.借助幾何直觀，發(fā)展邏輯推理能力

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。幾何直觀與邏輯推理是密不可分的，幾何直觀往往靠邏輯支撐，它不僅是看到了什么，而是通過看到的圖形思考到了什么，想象到了什么。幾何直觀可以從圖中感知性質(zhì)，從圖中寫出關(guān)系。重視幾何直觀教學(xué)，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，也能發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。

如人教版五年級下冊“找次品”，教學(xué)時(shí)，隨著待測物品數(shù)量的增多，用試驗(yàn)的方法不但煩瑣，而且不容易理清解題的思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生采用圖示、列表的方法來表示找次品的過程。

2.1 把棋子當(dāng)成零件，假設(shè)其中有一個(gè)重一點(diǎn)?，F(xiàn)在，不用天平，想象用天平稱的方式，將次品找出來。也可以用數(shù)字卡片擺一擺，或用文字和畫線的方式找出次品。（課件出示）

（1）9個(gè)零件怎么分？怎么稱？稱幾次？

（2）至少稱幾次，就能保證稱出次品？

（3）將大家擺或畫的情況填入下表。

2.2 小組合作學(xué)習(xí)，探究找次品的最優(yōu)方法。

2.3 反饋交流各種情況，教師填寫下表。

2.4 尋找最優(yōu)方法。

觀察上面的表格，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（1）“分成的份數(shù)”、分的方法與找出次品所要稱的次數(shù)之間有什么關(guān)系？

（2）怎樣分找出次品需要稱的次數(shù)最少？

2.5 應(yīng)用最優(yōu)方法解決問題。探究找次品最優(yōu)方法是本節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。在探究的過程中，不再讓學(xué)生用天平稱，而是讓他們應(yīng)用畫圖、列表解決問題，進(jìn)行推理思考，從直觀到抽象，經(jīng)歷“實(shí)踐操作——抽象推理——得出策略”，發(fā)現(xiàn)“將待測物品平均分成3份是找次品的最優(yōu)方法”，經(jīng)歷由多樣化過渡到優(yōu)化的思維過程。這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)不僅發(fā)展了學(xué)生探究能力，而且情感態(tài)度與價(jià)值觀也得到進(jìn)一步的提升。

3.借助幾何直觀，滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想作為數(shù)學(xué)精神的內(nèi)核，源于知識和方法，但又高于知識和方法，是指導(dǎo)學(xué)生在未來的學(xué)習(xí)、工作中解決問題的行動(dòng)指南。重視數(shù)學(xué)思想教學(xué)，可以為學(xué)生架設(shè)通往數(shù)學(xué)巔峰的云梯。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)涵了大量的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生充分感悟數(shù)學(xué)思想的力量，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力。

例如，在教學(xué)“圓的面積”計(jì)算公式推導(dǎo)時(shí)，教材是引導(dǎo)學(xué)生把圓平均分成16份，拼成一個(gè)近似的平行四邊形，初步感受轉(zhuǎn)化的方法。再啟發(fā)學(xué)生想象：如果把圓平均分成32份、64份……還是用與上面類似的方法去拼，拼成的圖形會發(fā)生怎樣的變化？結(jié)合32等份拼圖以及省略號、虛線長方形等，使學(xué)生合乎情理地聯(lián)想到：平均分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越來越接近長方形。為了讓學(xué)生更直觀的看出圓面積公式的推導(dǎo)過程，體會“圓——近似平行四邊形——長方形”漸變過程。教學(xué)時(shí)，我設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)過程：

3.1 動(dòng)手操作。

（1）初步感知：教師演示將圓形紙片平均分成8份，拼成一個(gè)近似平行四邊形。

提問：拼成的圖形象什么圖形？

追問：為什么說它象一個(gè)平行四邊形？

（2）操作體驗(yàn)：學(xué)生用預(yù)先已經(jīng)平均分成16份的圓，仿照教師的拼法拼一拼。

（3）觀察比較：兩次拼成的圖形，有什么變化？

3.2 展開聯(lián)想。

（1）初步想象：如果把圓平均分成32份、還是用與上面類似的方法去拼，拼成的圖形與前面的圖形相比將會有怎樣的變化？

課件演示，驗(yàn)證學(xué)生想象。

（2）進(jìn)一步想象：如果把圓平均分成64份、128份……還是用與上面類似的方法拼一拼，隨著份數(shù)的增加，拼成的圖形會越來越近一個(gè)什么圖形？

（3）課件演示。

3.3 抽象概括。

（1）拼成的長方形與原來的圓有什么聯(lián)系？

追問：如果圓的半徑是r，長方形的長和寬各應(yīng)怎樣表示？

（2）根據(jù)長方形面積的計(jì)算方法，你認(rèn)為怎樣計(jì)算圓的面積？

……

這樣設(shè)計(jì)，借助幾何直觀，采取先操作、想象、驗(yàn)證、再次想象、再次驗(yàn)證的思路，有機(jī)滲透了極限思想，有利于學(xué)生突破認(rèn)識上的局限，感受把圓轉(zhuǎn)化成長方形的合理性。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中特別注重這種思想的滲透，借助幾何直觀，可以把數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想等更好地反映出來。通過圖形的直觀性質(zhì)來闡明數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化，相互滲透，不僅使解題簡捷明快，還開拓解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了條重要的途徑。

4.借助幾何直觀，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

幾何直觀能利用圖形生動(dòng)形象地描述數(shù)學(xué)問題，直觀地反映分析問題的思路，是較好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的有效渠道。教學(xué)中，如果能將一些概念、定理與幾何直觀圖形相結(jié)合，把抽象的概念情境化、具體化、簡單化，再抽象出數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，使學(xué)生更深入、透徹理解概念，體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，開發(fā)創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)。

例如，蘇教版四年級下冊“求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)”，教材先讓學(xué)生討論男性和女性人數(shù)各接近四十幾萬，聯(lián)系已有經(jīng)驗(yàn)說一說并寫出近似數(shù)。再向?qū)W生說明用“四舍五入”取近似數(shù)的方法。學(xué)生對“四舍五入”取近似數(shù)的方法不能正確理解。為了突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，我在教學(xué)“求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)”時(shí)，設(shè)計(jì)了如下兩個(gè)教學(xué)片段：

片段一：求兩位數(shù)的近似數(shù)，了解“四舍五入”。

（1）怎樣求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)呢？本學(xué)期第一單元學(xué)了除法（出示教材的6頁的例題），192÷39，你會把除數(shù)想成多少來試商？192÷32呢？

（2）39和32都是30多，為什么一個(gè)數(shù)約等于30，而另一個(gè)數(shù)約等于40呢？

（3）出示數(shù)軸，在30到40之間，還有哪些數(shù)約等于40呢？還有哪些數(shù)約等于30呢？

（4）35約等于多少呢？數(shù)軸上35—36之間有很多與35相關(guān)的小數(shù)，例如35.1、35.2等，這些數(shù)離30近些，還是離40近些呢？

（5）這種求近似數(shù)的方法叫做“四舍五入”法。

（6）如果數(shù)軸繼續(xù)向兩端延伸，還有哪些數(shù)也約等于40呢？還有哪些數(shù)約等于30呢？

片段二：求多位數(shù)的近似數(shù)。

（1）方洲小學(xué)校園占地面積大約4萬平方米。方洲小學(xué)校園占地面積可能是多少平方米？

（2）學(xué)生獨(dú)立思考，同桌互相交流想法。

（3）集體交流。出示數(shù)軸：

數(shù)學(xué)家華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”?！皵?shù)”準(zhǔn)確而抽象，“形”形象而直觀。近似數(shù)的概念是比較抽象的，學(xué)生理解起來有一定的難度。筆者在引導(dǎo)學(xué)生理解“35為什么約等于40”這一難點(diǎn)時(shí)，借助了“數(shù)軸”這一半直觀半抽象的工具，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的“數(shù)軸”聯(lián)系起來，在數(shù)軸上形象直觀地進(jìn)行解釋，幫助學(xué)生直觀理解近似數(shù)的含義和“四舍五入”法的本質(zhì)。像這樣化“數(shù)”為“形”，抓住了數(shù)與形之間的聯(lián)系，以“形”直觀地表達(dá)數(shù)，實(shí)現(xiàn)了抽象概念和具體形象、表象之間的轉(zhuǎn)化，便于學(xué)生形象地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，達(dá)到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的?？梢姡瑤缀沃庇^能幫助學(xué)生更好地認(rèn)識數(shù)，訓(xùn)練思維，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

幾何直觀是具體的，不是虛無的，它與數(shù)學(xué)的內(nèi)容緊密相連。教學(xué)中，教師要善于借助豐富的學(xué)習(xí)素材，引導(dǎo)學(xué)生通過畫、擺、圈、涂等形式，將抽象難懂的概念、定理直觀的展示在學(xué)生面前，充分表達(dá)它們的具體含義，將思考對象“圖形化”，用圖形來表達(dá)自己的數(shù)學(xué)理解；教師要“有意識地提高幾何直觀的層次和水平，使學(xué)生的思維逐步過渡到以圖形直觀、符號直觀為主的層次”，逐漸使幾何直觀內(nèi)化為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種思考方式和學(xué)習(xí)方式，進(jìn)一步提高幾何直觀的意識和能力。激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺和數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 林曉捷.數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用幾何直觀[J].福建教育（小學(xué)版），2014（5）.

[3] 孔凡哲，史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式[J].課程·教材·教法，2012（7）.