“庖丁解?！?意在素養(yǎng)
——“牛頓法:用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解”教學(xué)設(shè)計(jì)

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(浙江師范大學(xué)附屬中學(xué),浙江 金華 321004)

在人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書中，介紹了兩種求高次方程近似解的方法：二分法和牛頓法.“二分法”之后為何補(bǔ)充“牛頓法”？是進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)“近似計(jì)算”，抑或“牛頓法”有其不可替代的獨(dú)特作用？

1 教育價(jià)值

通過剖析牛頓法的思維方式及其操作過程，進(jìn)一步考察其數(shù)學(xué)本質(zhì)，可發(fā)現(xiàn)牛頓法確實(shí)具有重要的教育價(jià)值.

1)“近似解”與“精確解”相得益彰，可有效端正學(xué)生的數(shù)學(xué)觀.數(shù)學(xué)的確定性可培養(yǎng)學(xué)生的理性和嚴(yán)謹(jǐn)性，但不確定性給予學(xué)生更多學(xué)習(xí)的權(quán)利和機(jī)會，有益于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力[1]，這對即將進(jìn)入高校學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，是一種不可忽視的教育.

2)近似計(jì)算與智能化緊密結(jié)合，拓寬了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性.在科學(xué)與工程上常遇到求方程的解，但方程的精確解或不可利用，或求精確解的成本很高，因此我們常?？紤]其滿足一定精確度的近似解.計(jì)算機(jī)的發(fā)展為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了巨大的幫助，使得近似計(jì)算方法作為一種科學(xué)方法發(fā)展起來.

3)牛頓法“以直代曲”，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用價(jià)值的生動(dòng)體現(xiàn).著名建筑設(shè)計(jì)師高迪曾說：“直線屬于人類，而曲線屬于上帝.”牛頓法體現(xiàn)了對曲線的巧妙處理.與“二分法”相比，牛頓法具有近似指向鮮明、智能依賴更低的獨(dú)特作用.該法求方程近似解時(shí)只用到一階導(dǎo)數(shù)值，且收斂速度較快，具有易用、適應(yīng)性廣、高效的特點(diǎn)，被廣泛推廣應(yīng)用于求方程的近似解，具有很強(qiáng)的可擴(kuò)展性，是數(shù)學(xué)應(yīng)用上的一大法寶，作用無可替代.

牛頓法的核心是以切線的零點(diǎn)近似代替曲線的零點(diǎn)，需借助圖像直觀體現(xiàn)，才能更好領(lǐng)悟其蘊(yùn)涵的思想；另一方面，要領(lǐng)會牛頓法需理解其運(yùn)算思路，掌握運(yùn)算步驟，提煉算法.此課題充分滲透和發(fā)展高中生的兩大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算.

2 基于教材與學(xué)情的思考

本節(jié)課是人教A版《數(shù)學(xué)(選修2-2)》第一章第二節(jié)“導(dǎo)數(shù)的計(jì)算”中的“探究與發(fā)現(xiàn)”內(nèi)容，屬知識拓展類課程.課前學(xué)生已能理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，會用二分法求方程的近似解，會利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程.高一學(xué)生已學(xué)習(xí)信息技術(shù)，理解計(jì)算機(jī)程序運(yùn)行的一些基礎(chǔ)原理，會讀算法程序框圖，選考技術(shù)的學(xué)生能編寫簡單的算法程序.教材介紹了導(dǎo)數(shù)的概念、計(jì)算、幾何意義等，為牛頓法提供了理論和實(shí)踐的基礎(chǔ).本節(jié)課除詳細(xì)介紹牛頓法的基本思想外，還要在對比基礎(chǔ)上突出牛頓法的優(yōu)點(diǎn).

存在的困難：一是學(xué)生對近似解的接受態(tài)度，學(xué)生已習(xí)慣求精確解；二是運(yùn)算，要理解牛頓法就要體驗(yàn)該法的運(yùn)算過程，但牛頓法運(yùn)算繁瑣，易望而生畏，若運(yùn)算全依托計(jì)算機(jī)解決，學(xué)習(xí)感受單薄，不容易留下深刻印象.

3 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

根據(jù)以上分析，制定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：

1)借助信息技術(shù)手段，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，詳細(xì)探究牛頓法的基本內(nèi)涵及蘊(yùn)涵的思想方法，提升直觀想象核心素養(yǎng)；

2)了解用牛頓法求方程近似解的發(fā)生、發(fā)展過程，掌握牛頓法公式、運(yùn)算原理，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)；

3)通過對比感悟牛頓法的優(yōu)缺點(diǎn)，突出牛頓法的重要意義.

教學(xué)重點(diǎn)牛頓法的發(fā)生、發(fā)展過程，理解牛頓法的基本內(nèi)涵.

教學(xué)難點(diǎn)“以直代曲”思想的自然呈現(xiàn)、逼近思想的滲透及精確度公式的解釋.

4 教學(xué)策略分析

依據(jù)前面的分析，采用以下4種方法突破教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

1)回顧二分法求方程x2-2=0的近似解，采用學(xué)生熟知但未引起注意的問題激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.設(shè)置情境聯(lián)系由牛一律過渡到牛頓法，之所以要聯(lián)系牛一律，是因?yàn)榕ｎD法中的“切線”與牛一律有著非常緊密的聯(lián)系，滲透“以直代曲”思想.

2)幾何畫板在作圖上有著獨(dú)特的優(yōu)勢，是數(shù)形結(jié)合的有力工具.通過幾何畫板呈現(xiàn)，讓學(xué)生親歷“作切線”的過程和反復(fù)“作切線”的原因，深刻領(lǐng)會切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐步逼近函數(shù)零點(diǎn)的過程，形成算法.

3)利用Excel表展示不斷變化初始值帶來的影響，思考精確度的解決辦法.

4)通過分析、講解、對比等過程，加深對牛頓法的理解，感悟優(yōu)缺點(diǎn).

5 教學(xué)過程

5.1 相似情愫，重溫“二分法”

問題1求方程x2-2=0的解.

生2：1.414 2.

師：能多說幾位小數(shù)嗎？

師：通過什么方法可以求方程的近似解？

生3：二分法.

表1 二分法求解過程

由于ε=0.001，因此方程的近似解可取為1.414 062 5.

5.2 以直代曲，探秘“牛頓法”

師：求方程的近似解還有其他方法嗎？現(xiàn)假設(shè)有一個(gè)物體A在剛才研究的函數(shù)f(x)圖像上運(yùn)動(dòng)(切換到幾何畫板)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到某一點(diǎn)時(shí)，物體A的所有外力突然消失了，接下來物體A將做什么運(yùn)動(dòng)？

生4：勻速直線運(yùn)動(dòng).

師：物體A的運(yùn)動(dòng)軌跡將在一條直線上，這條直線與函數(shù)f(x)圖像有什么關(guān)系？

生5：相切.

設(shè)計(jì)意圖以牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律為切入點(diǎn)，自然地引出“切線”話題，目的在于實(shí)現(xiàn)“以直代曲”.

師：設(shè)這條切線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1.

問題3你能求出x1嗎？

提示：1)要求出x1，需先寫出f(x)在點(diǎn)A處的切線方程；2)要寫出切線方程，就要先知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；3)設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x0.

學(xué)生活動(dòng)1)請學(xué)生寫出函數(shù)f(x)在點(diǎn)A處切線的點(diǎn)斜式方程，并求出x1的值.2)選派學(xué)生在黑板上展示解答情況：

y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)，

不妨取x0=1，借助計(jì)算器，可得x1=1.5.

師：近似效果好像不差，但我想精確度再高一點(diǎn)，有改進(jìn)辦法嗎？

師：圖1中盡管x1的精確度不高，但與選取的初始值x0比起來，明顯更逼近r.如果要求一個(gè)精確度更高的近似解，可否把x1利用起來？

生7：求函數(shù)f(x)在x1處的切線方程，再求出切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

師：設(shè)求出的橫坐標(biāo)為x2，你能說明x2比x1更好嗎？

生8：應(yīng)該可以.

師：那我們來仔細(xì)觀察一下.

圖1

(借助幾何畫板繼續(xù)作x1處的切線，發(fā)現(xiàn)x2確實(shí)比x1好，如圖1.)

師：參照求x1的過程，請大家用x1表示x2.

(借助計(jì)算器，若x0=1，可得x1=1.5，x2≈1.416 67.)

5.3 精雕細(xì)琢，優(yōu)化“操作鏈”

師：那么x2作為r的近似解就可以了嗎？

生10：不行，x2有可能誤差還是太大.

師：那該怎么辦？

生11：繼續(xù)求f(x)在x2處的切線方程，再求出切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x3.

師：很好，也許x3還不滿足要求，但多求幾次精確度總會更好,經(jīng)多次重復(fù)，得到一列數(shù)：x0，x1，x2，x3，…，xn,從圖像上可知這一數(shù)列越來越逼近r.

問題4xn與xn-1之間是否有關(guān)系？

生12：是.

師：借助此遞推式求近似解的方法就稱為牛頓法.該遞推式的得出借助了導(dǎo)數(shù)工具，因此牛頓法實(shí)質(zhì)就是用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解.該遞推式稱為牛頓法公式，要使公式有意義，f′(xn-1)的值可否為0？

生13：不可以.

師：那f(xn-1)=0呢？

生14：精確解求出來了.

師：牛頓法可以求出準(zhǔn)確解.通過剛才的研究我們發(fā)現(xiàn)xn可能有無數(shù)多個(gè)，數(shù)不在多，夠用就行.

問題5xn滿足什么要求才能作為r的近似解？

生15：當(dāng)|f(xn)|的值小于事先給定的一個(gè)精確度時(shí)，xn可作近似解.

生16：當(dāng)|xn-xn-1|的值小于事先給定的一個(gè)精確度時(shí)，xn可作近似解.

師：現(xiàn)利用計(jì)算機(jī)技術(shù)(Excel表)，如表2，先仔細(xì)觀察數(shù)據(jù)變化，再思考如何定義更合理.

表2xn,f(xn)數(shù)據(jù)變化

操作說明x0取0.5，1，2，5，10等值，仔細(xì)觀察xn，f(xn)數(shù)據(jù)的變化，數(shù)據(jù)不夠就下拉幾行，會自動(dòng)生成.

5.4 比較對照，體悟“先進(jìn)性”

師：就算初始值x0偏離準(zhǔn)確解比較遠(yuǎn)，牛頓法也能很快求出精確度比較高的近似解.在科學(xué)與工程上常遇到求方程的解，但方程的精確解或不可利用，或求精確解的成本很高，常考慮其滿足一定精確度的近似解.通過這個(gè)例子我們發(fā)現(xiàn)利用牛頓法求方程近似解非常高效，應(yīng)用廣泛.

5.5 嘗試糾偏，聚焦“初始值”

例1利用牛頓法求方程x3+2x2+10x-20=0的近似解，精確度z=0.001.

PPT展示基本步驟，提供答題范本如下：

解令f(x)=x3+2x2+10x-20，則

f′(x)=3x2+4x+10,

第二步:____________.

師：請大家選一個(gè)x0，借助計(jì)算器，根據(jù)示范的步驟算出符合精確度要求的近似解.

從學(xué)生中選出初始值分別為1和2的解答，并在備好的計(jì)算機(jī)程序上給學(xué)生檢驗(yàn)一遍，另選定一個(gè)初始值4，得到以下表3：

表3 不同初始值的迭代次數(shù)

問題6不同的初始值對求方程的近似解有影響嗎？如果有，影響在什么地方？

結(jié)論影響在迭代次數(shù)，初始值越接近零點(diǎn)越好，因此用牛頓法求方程的近似解時(shí)要先對零點(diǎn)作估計(jì).

師：大家覺得利用牛頓法運(yùn)算有何特點(diǎn)？

生17：運(yùn)算繁瑣.

設(shè)計(jì)意圖先統(tǒng)一解答格式，避免雜亂無章的解答浪費(fèi)學(xué)生寶貴的時(shí)間.通過實(shí)例訓(xùn)練，感受牛頓法運(yùn)算的特點(diǎn)，理清基本步驟，加深對牛頓法的認(rèn)識.

5.6 提煉算法，達(dá)成“機(jī)械化”

師：既然牛頓法的運(yùn)算比較繁瑣，為何不把運(yùn)算問題交給計(jì)算機(jī)解決，剛才的小程序是怎么編出來的呢？我們不妨先提煉牛頓法的算法.

提煉牛頓法的算法并展示框圖.

1)牛頓法求方程近似解的基本步驟：

第一步,給定初始值x0和精確度z0；

2)展示框圖.

設(shè)計(jì)意圖算法精煉地表達(dá)了牛頓法，達(dá)到了化繁為簡、深入淺出、為生減負(fù)的目的.

師：運(yùn)算的問題可由計(jì)算機(jī)代勞，由于迭代次數(shù)大大減少，牛頓法運(yùn)算效率突出，優(yōu)勢明顯，在科學(xué)和工程中有著廣泛的應(yīng)用.希望同學(xué)們努力學(xué)好數(shù)學(xué)，為投身中華民族偉大復(fù)興打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)功底.

6 教學(xué)說明與反思

6.1 為何強(qiáng)調(diào)用牛頓法求近似解

因?yàn)榕ｎD法算法簡潔，運(yùn)算高效，應(yīng)用廣泛，作用無可替代，所以牛頓法是珍貴的數(shù)學(xué)方法.學(xué)習(xí)牛頓法，絕不是僅為了求近似解，此法“高端”，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在科學(xué)工程上的應(yīng)用，認(rèn)識到數(shù)學(xué)的重要性；牛頓法蘊(yùn)涵著珍貴的數(shù)學(xué)思想，有利于鍛煉學(xué)生理性的思維品格、創(chuàng)新能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

6.2 “以直代曲”關(guān)鍵問題的思考起點(diǎn)

“以直代曲”的思想早已出現(xiàn)，古代著名數(shù)學(xué)家劉徽和祖沖之“化圓為方”計(jì)算圓周率就運(yùn)用了“以直代曲”思想，意在方便求圓的面積，無需求出直線解析式.牛頓法中的直線肩負(fù)著兩個(gè)重要任務(wù)：一是把復(fù)雜的曲線轉(zhuǎn)化為簡單的直線；二是借助直線求出與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，達(dá)到求近似解的目的.

章建躍老師告訴我們：教學(xué)要返璞歸真，要讓學(xué)生參與知識的生成和發(fā)展過程，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力[2].筆者一直在思考，牛頓因何想到如此“神奇”的直線？1666年初，牛頓創(chuàng)立了三大運(yùn)動(dòng)定律，并著重從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度研究微積分，1671年完成了與牛頓法相關(guān)的《流數(shù)法》.牛一律告訴我們：一個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體，在某一時(shí)刻如果外力消失，物體將做勻速直線運(yùn)動(dòng)，這條直線就是原來曲線的一條切線.基于以上理由，牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律為發(fā)現(xiàn)牛頓法作了一些鋪墊.從學(xué)生熟知的牛一律引出“切線問題”，凝聚著我們對數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的思考，滲透了數(shù)學(xué)文化，讓課堂變得生動(dòng)有內(nèi)涵，體現(xiàn)了自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理.

6.3 迭代和精確度問題

這兩個(gè)問題也是本堂課難以突破的地方.迭代和精確度是相輔相成的，迭代是為了提高近似解的精確性，精確度是迭代的動(dòng)力和休止符.

如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)迭代？是因?yàn)闊o法保證x1滿足精確度要求，這點(diǎn)一定要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn);然后才產(chǎn)生第二個(gè)問題：如何提高近似解的精確度？這與二分法有了聯(lián)系.細(xì)究方法均具有“模式化”特點(diǎn)，有利于機(jī)械化解決數(shù)學(xué)問題[3]，算是數(shù)學(xué)中的辯證和統(tǒng)一吧.

精確度該如何定義？學(xué)生肯定很難想到教材上的答案，因?yàn)槎喾N定義都很合理，學(xué)生的認(rèn)知很難發(fā)現(xiàn)缺陷和不足.因此精確度問題不要過多糾纏，說清楚就好.

以上3點(diǎn)是筆者對這堂課幾個(gè)關(guān)鍵問題的反思.本節(jié)課知識容量大，很難顧及到教學(xué)的方方面面，但把握以上幾點(diǎn)，相信課堂教學(xué)很多難題會迎刃而解.