點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的螺旋式推導(dǎo)*

●

(上海南匯中學(xué),上海 201399)

利用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題是解析幾何的基本思想.通過(guò)對(duì)直線(xiàn)與二元一次方程的關(guān)系的分析，初步認(rèn)識(shí)直線(xiàn)與方程的關(guān)系，從中認(rèn)識(shí)向量知識(shí)的應(yīng)用和坐標(biāo)法的含義.《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出讓學(xué)生經(jīng)歷探求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的過(guò)程，掌握點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式[1].作為解析幾何學(xué)習(xí)中的重要載體，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的推導(dǎo)不僅需要向量的“密切配合”，也需要“數(shù)形結(jié)合”思想的“積極參與”，可是課后經(jīng)常會(huì)聽(tīng)到學(xué)生直呼“利用向量推導(dǎo)公式想不到，太難啦”.筆者認(rèn)為教師平鋪直敘的公式推導(dǎo)固然可以解決問(wèn)題，但是效果可想而知.前蘇聯(lián)教育家維果茨基認(rèn)為學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，指獨(dú)立活動(dòng)時(shí)所能達(dá)到的解決問(wèn)題的水平；另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，也就是通過(guò)教學(xué)所獲得的潛力,兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū)[2].教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生提供帶有難度的內(nèi)容，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，發(fā)揮其潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)而達(dá)到下一發(fā)展階段的水平，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行下一個(gè)發(fā)展區(qū)的發(fā)展.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式推導(dǎo)中如何找準(zhǔn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)非常重要，利用學(xué)生兩種水平之間的差異實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)研究的螺旋式上升非常關(guān)鍵.

將“求解點(diǎn)P(1,1)到直線(xiàn)l:2x-y+2=0的距離”這種具體問(wèn)題作為引入，由于其簡(jiǎn)單易操作，再加上課時(shí)緊張，很多教師會(huì)“忍痛割?lèi)?ài)”，殊不知就是如此簡(jiǎn)單的問(wèn)題就是至關(guān)重要的“臺(tái)階”，輕松幫助學(xué)生“拾級(jí)而上”，在熟悉的問(wèn)題和方法引領(lǐng)下實(shí)現(xiàn)螺旋式成長(zhǎng)的目標(biāo).

圖1

分析1(定義法找垂足)直線(xiàn)外一點(diǎn)到這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.根據(jù)定義學(xué)生馬上考慮到點(diǎn)P和它在直線(xiàn)l的垂足Q的距離就是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，求垂足就是首選.

解法1如圖1，過(guò)點(diǎn)P(1,1)與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)方程為x+2y-3=0，聯(lián)立方程組

圖2

分析2(幾何法算面積)考慮到點(diǎn)到直線(xiàn)距離存在垂直關(guān)系，學(xué)生容易聯(lián)想到高，既然有高就會(huì)考慮面積，那么如何構(gòu)造三角形求面積呢？構(gòu)造怎樣的三角形比較容易操作？構(gòu)造直角三角形是首選.

解法2如圖2，過(guò)點(diǎn)P(1,1)分別作與x軸、y

過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為Q，設(shè)d=|PQ|,利用等面積得到

則

故

分析3(函數(shù)法求最值)分析點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的定義，結(jié)合幾何特征不難發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)P到直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離，于是將點(diǎn)P到直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)的距離表示成某個(gè)變量的函數(shù)，利用函數(shù)求最值即可得到所求距離.

解法3在直線(xiàn)l上任取點(diǎn)M(x,y)，滿(mǎn)足y=2x+2，從而

圖3

分析4(向量法尋射影)既然可以利用直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)M與點(diǎn)P距離的最值使問(wèn)題得解，不妨大膽假設(shè)若點(diǎn)P,M確定，那么點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離也可以確定.

解法4如圖3，在直線(xiàn)l上任取點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P引直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為Q.在Rt△PQM中，

d=|PQ|=|PM|·cos∠MPQ,

(1)

代入式(1),得

不妨取M(1,4)，n=(2,-1),代入公式得到

從一個(gè)具體問(wèn)題出發(fā)利用幾種常見(jiàn)的方法使問(wèn)題全方位解決，形成問(wèn)題解決的方法鏈，經(jīng)過(guò)教師適當(dāng)總結(jié)提煉，此時(shí)將問(wèn)題一般化就顯得順理成章.

研究點(diǎn)P(x0,y0)到直線(xiàn)l:ax+by+c=0(其中a,b不全為0)的距離，按照學(xué)生的思維習(xí)慣，很多學(xué)生會(huì)沿用具體問(wèn)題的方法解決一般化問(wèn)題.

學(xué)生從已有水平出發(fā)，將問(wèn)題進(jìn)行了從特殊到一般的推廣，面對(duì)多個(gè)字母、繁雜運(yùn)算等情況的出現(xiàn)，傳統(tǒng)方法的使用遇到了困難，有些方法堅(jiān)持一下還可以解決，有些根本難以繼續(xù)，那么選擇哪種方法解決比較簡(jiǎn)單、比較容易操作呢？有了前面基礎(chǔ)的鋪墊，找到學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的能力水平，學(xué)生經(jīng)過(guò)自我比較斟酌，認(rèn)為向量法比較合適.雖然在具體問(wèn)題解決中向量法并不占優(yōu)勢(shì)，但是在點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的推導(dǎo)過(guò)程中,該方法不僅具有一般性，而且推導(dǎo)過(guò)程非常簡(jiǎn)便.教師針對(duì)學(xué)生的具體情況選擇不同的教學(xué)方式和策略，并花時(shí)間讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)方法形成的完整歷程，從短時(shí)效益考慮可能會(huì)影響一定的教學(xué)進(jìn)度，但是就長(zhǎng)遠(yuǎn)意義而言將會(huì)產(chǎn)生巨大的影響.找準(zhǔn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)發(fā)展的全過(guò)程，實(shí)現(xiàn)螺旋式發(fā)展的目標(biāo)，為今后發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題提供了可操作的途徑和方法.